王會(huì)菊

(西北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,西安 710129)

變分不等式和自由邊界研究中出現(xiàn)的障礙問題受到很多學(xué)者的關(guān)注,例如一些學(xué)者在歐氏空間,H?rmander向量場(chǎng)等空間結(jié)構(gòu)下對(duì)障礙問題展開了深入的探討[1-3]。

度量測(cè)度空間(X,d,μ)包括了歐氏空間以及H?rmander向量場(chǎng)[4-6],X為集合,d為度量,μ為滿足二重性條件的Borel正則測(cè)度。由于度量測(cè)度空間中的分析有助于建立更一般的理論和方法,因此度量情形下的凸積分泛函及障礙問題得到了廣泛研究[7-9]。

本文在度量情形下研究Orlicz-Sobolev空間N1,Φ(Ω)中的障礙問題,其容許集形如

ω1≤v≤ω2a.e.}

(1)

(2)

則稱u為Κω1,ω2,β(Ω)-障礙問題的解,式(2)中g(shù)u和gv分別為u和v的最小Φ-弱上梯度。

本文擬應(yīng)用 “填洞法”,證明Κω1,ω2,β(Ω)-障礙問題的解滿足Caccioppoli型不等式

(3)

1 預(yù)備知識(shí)和引理

N-函數(shù)Φ(t)是定義在[0，+)上的嚴(yán)格單調(diào)增加的凸函數(shù)。若存在常數(shù)C1>1使得對(duì)任意的t≥0,

Φ(2t)≤C1Φ(t),

(4)

則稱Φ(t)滿足Δ2條件。

設(shè)u是定義在度量測(cè)度空間X上的實(shí)值可測(cè)函數(shù),如果非負(fù)Borel函數(shù)g對(duì)任意的可求長(zhǎng)曲線γ:[0,Iγ]→X，都有

(5)

則稱g是u的上梯度。若存在非負(fù)可測(cè)函數(shù)g使得式(5)對(duì)一個(gè)Φ-模長(zhǎng)為0的曲線族之外的可求長(zhǎng)曲線都成立,則稱g是u的Φ-弱上梯度．

由文獻(xiàn)[10] 可知,當(dāng)Φ滿足Δ2條件時(shí),對(duì)于u∈N1,Φ(Ω),存在u的最小Φ-弱上梯度gu∈LΦ(Ω)，使得對(duì)u的任一Φ-弱上梯度g,g∈LΦ(Ω),在Ω上幾乎處處成立

gu≤g

(6)

下面給出最小Φ-弱上梯度的三個(gè)性質(zhì),詳見文獻(xiàn)[8]。

性質(zhì)1 若u1,u2∈N1,Φ(Ω),則在Ω上幾乎處處成立

gu1+u2≤gu1+gu2

(7)

性質(zhì)2 ① 若u∈N1,Φ(Ω),c是常數(shù),則gu在集合{x:u(x)=c}上幾乎處處為0。

② 若u1,u2∈N1,Φ(Ω),則gu1和gu2在集合{x:u1(x)=u2(x)}上幾乎處處相等。

性質(zhì)3 若u1,u2∈N1,Φ(Ω),則|u1|gu2+|u2|gu1是u1u2的Φ-弱上梯度。

2 定理1的證明

證明設(shè)B(z,R)??Ω,0<ρk}，在ΩA(k,R)上有g(shù)v=gua.e.于是

(8)

(9)

結(jié)合式(8)和式(9)得到

(10)

(11)

因?yàn)棣凳菄?yán)格單調(diào)增加的凸函數(shù),所以由式(10)和式(11)可得

(12)

又因?yàn)樵贐(z,ρ)上η=1,所以由式(12)可得

(13)

(14)

其中λ0滿足

(15)

對(duì)任意的t≥0都成立。由文獻(xiàn)[8]中的引理 2.1可知,這樣的λ0是可以找到的。于是由式(13) (將ρ換為ρj，R換為ρj+1) 直接計(jì)算得到

(16)

可斷定對(duì)任意的自然數(shù)N,

(17)

事實(shí)上,當(dāng)N=1時(shí),由式(16)可知式(17)成立。假設(shè)式(17)對(duì)N-1成立,即

(18)

令式(16)中的j=N-1并代入式(18)右端最后一項(xiàng)即得到

因此式(17)成立。

結(jié)合式(15)和式(17),以及cθ/(c+1)<1,可得

又因?yàn)樵贐(z,ρ)上g(u-k)+=guχA(k,ρ)幾乎處處成立,可得

(19)

同理可證

(20)

結(jié)合式(19)和式(20)，即得式(3)，定理1得證。

3 結(jié) 論

本文在度量情形下利用 “填洞法” 得到了Orlicz-Sobolev空間中的障礙問題解的 Caccioppoli 型不等式。該定理推廣了文獻(xiàn) [7] 中的引理 4.1和引理4.2，并表明在討論Κω1,ω2,β(Ω)-障礙問題解的有界性時(shí),由ω1的有界性考察解的上界,由ω2的有界性考察解的下界。結(jié)論豐富了度量測(cè)度空間中的非線性位勢(shì)理論,并為進(jìn)一步研究障礙問題解的有界性奠定了基礎(chǔ)。