張繼德

摘 要：求三角形面積以及利用三角形面積解決初中數(shù)學(xué)問題，是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一項(xiàng)技能.運(yùn)用得好能事半功倍.本文探討了求三角形面積的方法，以及如何解決初中數(shù)學(xué)中有關(guān)三角形問題.

關(guān)鍵詞：三角形; 面積;問題

在平面幾何中，多邊形的面積都可以轉(zhuǎn)化成若干個(gè)三角形面積的和與差.因此，研究多邊形的面積，必須研究三角形的面積.在小學(xué)數(shù)學(xué)求三角形面積的基礎(chǔ)上，初中數(shù)學(xué)對(duì)三角形面積進(jìn)行了拓展和延伸，增加了一些方法，多了一些應(yīng)用.

1 運(yùn)用公式解決三角形面積的有關(guān)問題

三角形的面積公式是S=12ah，a是三角形的一邊，h是這邊上的高.初中數(shù)學(xué)中，直接求三角形的面積已經(jīng)沒有思維價(jià)值.更多的是已知面積和底，求高;或者已知面積和高，求底.

例1 一次函數(shù)y=2x+b與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是9，求b的值.

分析 解決這個(gè)問題，先求出一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，b），（-12b，0），利用三角形面積公式列出方程，12 ·|-12b |·|b|=9，解得b=±6.

2 巧用數(shù)學(xué)技能解決三角形面積的有關(guān)問題

2.1 利用三角形中線

三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，利用這一結(jié)論可以解決一些有關(guān)三角形面積的問題.

例2 如圖1，已知AD，BE是△ABC的中線，且AD與BE交于點(diǎn)G，四邊形CDGE的面積是7cm2，求△ABC的面積.

分析 初看上去，四邊形CDGE與△ABC好像沒有什么關(guān)系，但仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)：正是通過中線把它們的面積聯(lián)系起來.

如圖2，連接GC，四邊形CDGE被分成了兩個(gè)三角形：△CDG，△CEG.由于點(diǎn)D，E分別是線段BC，AC的中點(diǎn)，所以S△BDG=S△CDG， S△AEG = S△CEG.可以求出S△BDG+ S△AEG =S△CDG+ S△CEG= S四邊形CDGE=7cm2，再利用S△ABG+ S△AEG =S四邊形CDGE+ S△AEG=12S△ABC，可以求出S△ABG=S四邊形CDGE=7cm2.至此，可求出△ABC的面積是21cm2.

2.2 利用平行線

等底等高的三角形面積相等，利用平行線構(gòu)造一個(gè)與原三角形面積相等的三角形，從而使問題得以解決.

例3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的C，D兩點(diǎn)都在x軸上.BD的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E，反比例函數(shù)y=kx經(jīng)過點(diǎn)A，△CDE的面積是5，求k的值.

分析 反比例函數(shù)中的k，其幾何意義是：過反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，兩條垂線及坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就是|k|;若過反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)只作一條坐標(biāo)軸的垂線，連接原點(diǎn)和該點(diǎn)，所圍成的三角形面積是12|k|.

本題中，若連接OB，OA，則根據(jù)等底等高的三角形面積相等，有S△OBC=S△EBC，S△ODA=S△ODB.所以S△OBC-S△DBC=S△EBC-S△DBC.即S△ODB=S△CDE=5.所以S△ODA =5.從而得到k=10.

2.3 利用割補(bǔ)法

割補(bǔ)法是求三角形面積常用的方法，特別是在網(wǎng)格圖和由網(wǎng)格圖引申的平面直角坐標(biāo)系中.用一個(gè)較大的長(zhǎng)方形去覆蓋整個(gè)三角形，求出該長(zhǎng)方形的面積，減去長(zhǎng)方形以內(nèi)三角形以外的部分，就可以求出三角形的面積.這種方法也適用于求其他多邊形的面積.

還可以利用平移、旋轉(zhuǎn)、相似等圖形的變換解決三角形面積的有關(guān)問題.

例4 如圖5，拋物線C1∶y=12x2經(jīng)過平移得到拋物線C2∶y=12x2+2x，拋物線C2的對(duì)稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積是.

分析 這是一個(gè)不規(guī)則圖形.如圖6，連接OA，將線段OA與拋物線圍成的封閉圖形“割下”，旋轉(zhuǎn)一下，補(bǔ)到OB的位置，則原不規(guī)則的圖形的面積與△OBC的面積是相等的.本題中先根據(jù)C2的解析式求出其對(duì)稱軸x=-2，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（-2，-2），（-2，2）.從而求出陰影部分面積=S△OAB=4.

3 在動(dòng)態(tài)幾何中求三角形面積

動(dòng)態(tài)幾何中，三角形的面積實(shí)際是自變量的函數(shù).解決這類問題，應(yīng)進(jìn)行分類討論.

例5 如圖7，等腰Rt△ABC和正方形DEFG都在直線MN上，且點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，AB=DE=10cm.△ABC以2cm/s的速度向右移動(dòng)，直到AB與EF重合為止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，△ABC與正方形DEFG重合部分的面積為y，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

分析 如圖8和9，分兩種情況進(jìn)行討論：AB與DG重合前（含重合），即0≤x≤5;AB與DG重合后至結(jié)束，即5

第一種情況下，重疊部分是等腰Rt△CGH，其中CG=HG=2x，因此y=2x2;

第二種情況下，重疊部分是梯形ABFK，其中AB=10，KF=CF=2x-10， y=50-12（2x-10）2.

綜上所述，y=2x-10，0≤x≤5，50-12（2x-10）2，5

4 在函數(shù)中求三角形面積的最大值

三角形的底一定時(shí)，高越大面積越大;三角形的高一定時(shí)，底越大面積越大.三角形的底和高都不確定，只存在一種函數(shù)關(guān)系，那么就要用函數(shù)解決.解決這類問題，通常用二次函數(shù)的最大（或?。┲祦砜紤].

例6 如圖10，對(duì)稱軸為直線x=12的拋物線經(jīng)過B（2，0），C（0，4）兩點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△CBP的面積為S，求S的最大值.

分析 根據(jù)已知條件，可得拋物線的解析式為y=-2x2+2x+4;直線BC的解析式為y=-2x+4.

點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，所以△CBP的面積是關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的函數(shù).如圖11作PD⊥x軸，交BC于點(diǎn)Q，則S=

S△CBP=S△CQP+S△QBP=12PQ·OD+12PQ·DB=12PQ·OB=PQ.

可見，求S的最大值就等于求PQ的最大值.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，-2t2+2t+4），點(diǎn)Q坐標(biāo)為（t，-2t+4）.PQ=（-2t2+2t+4）-（-2t+4）=-2t2+4t.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出PQ的最大值為2.因此S的最大值也為2.

（收稿日期：2019-08-30）