亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        半環(huán)上的素同余和同余的根

        2019-12-26 09:51:28吳亞楠任苗苗
        關(guān)鍵詞:定義

        吳亞楠,任苗苗

        (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

        1 引言

        眾所周知,同余在代數(shù)的研究過程中扮演著非常重要的角色.文獻(xiàn)[1]通過類比交換環(huán)上的理想,引入了可換加法冪等元半環(huán)的素同余的概念,且完整地描述了tropical半域T,半域Zmax和二元半域B上的多項(xiàng)式半環(huán)和Laurent多項(xiàng)式半環(huán)的素同余.

        定義 1.1設(shè)(S,+,·,0,1)是(2,2,0,0)型代數(shù).若S滿足下列條件:

        (1)(S,+,0)是可換幺半群;

        (2)(S,·,1) 是幺半群;

        (3)(?a,b,c∈S)a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc;

        (4)(?a∈S)a·0=0·a=0;

        則稱S是半環(huán)[2].進(jìn)一步,若(S,·)是交換半群,則稱S是交換半環(huán).接下來給出交換半環(huán)上同余的概念.

        定義 1.2設(shè)S是交換半環(huán),ρ是S×S的子集.若對于任意a,b,c,d∈S,

        (1)(a,a)∈ρ;

        (2)(a,b)∈ρ蘊(yùn)含著 (b,a)∈ρ;

        (3)(a,b),(b,c)∈ρ蘊(yùn)含著 (a,c)∈ρ;

        (4)(a,b),(c,d)∈ρ蘊(yùn)含著 (a+c,b+d)∈ρ;

        (5)(a,b),(c,d)∈ρ蘊(yùn)含著 (ac,bd)∈ρ,

        則稱ρ是S上的同余.

        容易驗(yàn)證,{(a,a)|a∈S}是S上最小的同余.稱其為平凡同余,記為?.另一方面,S×S是S上最大的同余,稱其為S上的泛同余,記為?.若同余ρ是?的真子集,則稱ρ是S上的真同余.

        定義 1.3設(shè)S是交換半環(huán).若(S,+)是冪等元半群,則稱S為可換的加法冪等元半環(huán).

        分配格和max-plus代數(shù)都是可換的加法冪等元半環(huán)的例子.以下總假設(shè)S為可換的加法冪等元半環(huán).

        定義 1.4設(shè)S為可換的冪等元半環(huán).在S×S上定義二元運(yùn)算如下:

        (a1,a2)(b1,b2)=(a1b1+a2b2,a1b2+a2b1),

        稱上述運(yùn)算為扭積運(yùn)算[1].

        定義 1.5設(shè)ρ,σ是S上的同余.稱{αβ|α∈ρ,β∈σ}生成的同余為ρ和σ的積,記為ρσ[1].

        引理 1.1[1]設(shè)ρ是S上的同余.若α∈ρ,β∈S×S,則αβ∈ρ.

        定義 1.6設(shè)ρ是S上的真同余.若對于任意的α,β∈S×S,αβ∈ρ蘊(yùn)含著α∈ρ或β∈ρ,則稱ρ是S上的素同余[1].

        定義 1.7設(shè)ρ是S上的同余.稱包含ρ的所有素同余的交是同余的根,記為[1].

        引理 1.2[1]設(shè)ρ是S上的同余.則

        其中α=(a,b),α?=(a+b,0),GP(α)={α?k+(c,0))αl|k,l∈Z+,c∈S}.

        定義 1.8設(shè)ρ是S上的同余.若,則稱ρ是根同余[1].

        本文將研究可換冪等元半環(huán)的同余.給出素同余和同余的根的一些結(jié)果,且揭示了同余ρ的根與包含ρ的素同余的全體之間的關(guān)系.

        2 素同余

        為了方便敘述,本文將{1,2,···,n}記為.

        定義 2.1設(shè)ρ是S上的真同余.若對于S上的任意同余σ,ρ?σ??蘊(yùn)含著ρ=σ或σ=?,則稱ρ是S上的極大同余.

        命題 2.1每個(gè)可換的加法冪等元半環(huán)都有素同余.

        證明假設(shè)Σ是S上的真同余的全體.易證 (Σ,?)是偏序集.假設(shè){ρi}i∈I是 Σ上的鏈.易知是同余.現(xiàn)證.假設(shè).則存在i∈I,使得(0,1)∈ρi.進(jìn)一步,有?∈ρi,與ρ∈Σ相矛盾,所以.運(yùn)用 Zorn引理,得 Σ有極大同余,所以S上都有極大同余.由文獻(xiàn)[1]可知S上的極大同余是素同余.證畢.

        注 2.1S上的素同余對交運(yùn)算未必封閉.例如:設(shè)S={1,0,x}是可換的冪等元半環(huán),它的運(yùn)算表如下:

        表 1 運(yùn)算 “+”

        表 2 運(yùn)算 “·”

        證明假設(shè)α是S×S上的冪零元.由定義2.2和引理 1.2得,存在k,l∈Z+,c∈S,使得 (α?k+(c,0))αl∈?,則 (α?k+(c,0))αl?1α∈?.由定義 2.3 可得,α是零因子.

        注 2.2定理2.2的逆命題不成立.例如:設(shè)S={1,0,a,b}是可換的冪等元半環(huán),它的運(yùn)算表如下:

        3 同余的根

        致謝感謝趙憲鐘教授和邵勇教授的指導(dǎo).

        猜你喜歡
        定義
        以愛之名,定義成長
        活用定義巧解統(tǒng)計(jì)概率解答題
        例談橢圓的定義及其應(yīng)用
        題在書外 根在書中——圓錐曲線第三定義在教材和高考中的滲透
        永遠(yuǎn)不要用“起點(diǎn)”定義自己
        海峽姐妹(2020年9期)2021-01-04 01:35:44
        嚴(yán)昊:不定義終點(diǎn) 一直在路上
        定義“風(fēng)格”
        成功的定義
        山東青年(2016年1期)2016-02-28 14:25:25
        有壹手——重新定義快修連鎖
        修辭學(xué)的重大定義
        国产丝袜美女一区二区三区| 午夜亚洲精品视频网站| 中文字幕亚洲五月综合婷久狠狠| 小雪好紧好滑好湿好爽视频| 日韩精品成人区中文字幕| 电影内射视频免费观看| 久久天天躁狠狠躁夜夜avapp| 亚洲日韩国产精品第一页一区| 女同性恋精品一区二区三区| 韩国黄色三级一区二区| 欧美性xxxxx极品老少| 内射爽无广熟女亚洲| 波多野结衣乳巨码无在线| 毛片无遮挡高清免费久久| 视频一区视频二区亚洲| 国产婷婷成人久久av免费| 成人免费a级毛片| 国产在线白丝DVD精品| 日本女优中文字幕在线观看| 成人一区二区人妻少妇| 国产私人尤物无码不卡| 亚洲av无码一区二区三区系列| 亚洲人成人网毛片在线播放| 麻豆国产成人AV网| 精品久久精品久久精品| 久久国产成人精品av| www国产亚洲精品久久网站| 国产传媒在线视频| 国产一区二区三区日韩在线观看| 女人被狂躁c到高潮| 亚洲av伊人久久综合密臀性色| 一区二区久久不射av| 韩国三级黄色一区二区| 亚洲日韩国产欧美一区二区三区| 六月婷婷国产精品综合| 少妇一区二区三区乱码| 精品含羞草免费视频观看| 人妻少妇不满足中文字幕| 亚洲综合色秘密影院秘密影院| 免费人成网在线观看品观网| 精品卡一卡二卡3卡高清乱码|