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        限制水域船體水動(dòng)力計(jì)算分析與自由面數(shù)值阻尼的應(yīng)用

        2019-12-26 06:06:02王偉飛彭亞康趙曉斌楊震峰
        船舶 2019年6期
        關(guān)鍵詞:比雪夫池壁浮體

        王偉飛 彭亞康 濮 駿 趙曉斌 楊震峰

        (中國船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院 上海200011)

        引 言

        浮體在限制水域的運(yùn)動(dòng)計(jì)算具有很多的工程用途(如船在河流或航道中的運(yùn)動(dòng)等),目前商業(yè)軟件HydroStar 提供此項(xiàng)功能,但在此功能下無法引入自由面數(shù)值阻尼。池壁格林函數(shù)的計(jì)算一直是浮體在限制水域運(yùn)動(dòng)計(jì)算的一個(gè)重點(diǎn)問題,Newman[1]討論了浮體在航道和水池中以定常速度航行下的水動(dòng)力計(jì)算問題,其采用了無界流假定,池壁格林函數(shù)由1/r關(guān)于池壁的無窮個(gè)鏡像疊加得到,此方法無法應(yīng)用于自由面問題。C.M. Linton[2]導(dǎo)出了一種新的滿足自由面條件、基于有限水深池壁格林函數(shù)的表達(dá)形式,但其表達(dá)方式與目前常用的開敞水域格林函數(shù)的形式差別很大,需要重新編制算法,且其收斂性依賴部分系數(shù),實(shí)施起來并不方便。目前較為流行的做法為通過將無窮個(gè)開敞水域自由面格林函數(shù)關(guān)于池壁進(jìn)行鏡像疊加[3-5],該方法可充分利用現(xiàn)有的開敞水域格林函數(shù)計(jì)算法,但需要計(jì)算一個(gè)收斂較慢的無窮級數(shù)求和問題。對于無窮級數(shù)求和,可以采用一些加速的辦法[6],但也無法滿足本文中計(jì)算的要求。Xia Jinzhu[3-4]和Chen-Xiaobo[5]采取了對池壁格林函數(shù)的分區(qū)域計(jì)算方法克服了收斂慢的問題,本文在此基礎(chǔ)上采用漸近法,進(jìn)一步分析了其奇異性,從中分離出了奇異項(xiàng),并對剩余項(xiàng)進(jìn)行切比雪夫逼近,實(shí)現(xiàn)了池壁格林函數(shù)的高效和高精度計(jì)算。

        線性勢流理論水動(dòng)力計(jì)算無法計(jì)入粘性和非線性效應(yīng),導(dǎo)致在計(jì)算部分問題時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)值共振問題從而引起計(jì)算結(jié)果失真。為處理這一問題,可在勢流方法中引入人工數(shù)值耗散項(xiàng)[7],即數(shù)值阻尼來解決。本文將自由面數(shù)值阻尼引入限制水域的浮體運(yùn)動(dòng)計(jì)算,并通過自由面積分的解析解較好地解決了這一問題。本文的所有計(jì)算均通過Fortran編程計(jì)算求解。

        1 控制方程和定解條件

        根據(jù)三維線性勢流理論,在一寬度為b,深為h 的航道中,浮體以頻率ω和時(shí)間因子e-iωt作周期性運(yùn)動(dòng);記源點(diǎn)坐標(biāo)為(ξ,η,ζ),場點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),池壁格林函數(shù)G滿足的定解條件如下[3-4]:

        式中:g 為重力加速度。滿足上述定解條件的解為:

        式(5)等號右側(cè)為開敞有限水深自由面格林函數(shù)的無窮級數(shù)(m為整數(shù)),其表達(dá)式為:

        Gm的級數(shù)表達(dá)式為:

        (6)式和(7)式中:J0為0 階第一類貝塞爾函數(shù);

        K0為0 階修正的貝塞爾函數(shù);

        H0為0 階漢克爾函數(shù)。

        2 自由面池壁格林函數(shù)計(jì)算

        由式(5)可知,池壁格林函數(shù)可通過有限水深自由面格林函數(shù)展開的無窮級數(shù)得到。但是由于式(5)級數(shù)收斂非常慢,直接進(jìn)行求和計(jì)算的成本非常高,實(shí)際工程應(yīng)用中幾乎是不可行的,所以需要找到高效的數(shù)值方法進(jìn)行計(jì)算。

        為提高計(jì)算效率,并保證計(jì)算精度,將式(5)分為3 部分[3-5],即,

        式中:包括近場部分GN,中場部分GM和遠(yuǎn)場部分GF。近場采用級數(shù)直接求和的方法:

        中場部分利用式(7),并注意到修正的貝塞爾函數(shù)漸近表達(dá)式為

        式(16)中項(xiàng)數(shù)M0和式(17)中項(xiàng)數(shù)M1的取法在文獻(xiàn)[3-4]中已有詳細(xì)論述,在此不再贅述。利用Graf’s 加法公式[6]和漢克爾函數(shù)的漸近展開近似[6],可得 :

        式中:

        er為剩余偏差項(xiàng);

        B=k0b,表示無因次化的航道寬度,系數(shù)

        3 數(shù)值方法與切比雪夫多項(xiàng)式逼近

        Newman[8]給出了近場部分GN的詳細(xì)計(jì)算方法,其中為了提高計(jì)算效率,對近場部分進(jìn)行了切比雪夫多項(xiàng)式逼近,中場部分GM計(jì)算較簡單,可通過級數(shù)求和以及有理分式逼近或直接采用現(xiàn)有的函數(shù)庫來求解,以上計(jì)算方法無需贅述。本節(jié)主要介紹遠(yuǎn)場GF的高效計(jì)算方法以及對其進(jìn)行切比雪夫多項(xiàng)式逼近方法。

        其中,剩余項(xiàng)的漸近表達(dá)式LerExtract(z,s,a)的奇異性與Φ(z,s,a)一致,所以原函數(shù)減去奇異項(xiàng)之后的剩余項(xiàng)可通過多變量切比雪夫多項(xiàng)式來逼近:

        式中:Cjk為逼近多項(xiàng)式的系數(shù);Tj和Tk分別是關(guān)于z和a的切比雪夫多項(xiàng)式;截?cái)囗?xiàng)數(shù)J和K根據(jù)不同的區(qū)域來選取,通??赏ㄟ^試算確定。

        為更好說明式(31), 現(xiàn)取s=1/2,a=2/3,b∈(0,π/2)分別對Φ(z,s,a)、LerExtract(z,s,a)、Φ(z,s,a)-LerExtract(z,s,a)作圖,對應(yīng)下頁圖1-圖3??梢钥闯觯害担▃,s,a)和LerExtract(z,s,a)在b= 0 處存在奇異性,剩余項(xiàng)不再存在奇異性,且為光滑函數(shù),可用切比雪夫多項(xiàng)式高效地逼近。

        圖1 Φ(2bi,1/2,3/2),b∈(0,π/2)曲線

        圖2 LerExtract(2bi,1/2,3/2),b∈(0,π/2)曲線

        圖3 Φ(2bi,1/2,3/2)-LerExtract(2bi,1/2,3/2),b∈(0,π/2)曲線

        4 自由面人工數(shù)值阻尼施加

        由于勢流理論無法計(jì)入粘性效應(yīng)等因素,采用池壁格林函數(shù)求解浮體運(yùn)動(dòng)時(shí)在某些特定的頻率會(huì)產(chǎn)生數(shù)值共振,造成計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況有較大的差異。為了較好地處理數(shù)值計(jì)算所帶來的奇異性問題,可通過引入人工數(shù)值耗散項(xiàng)來解決。通常的做法是在自由面條件中引入數(shù)值阻尼ε[7]。

        當(dāng)場點(diǎn)在自由面上時(shí),積分方程為:

        式中:σ為源強(qiáng);G和Gn分別用池壁格林函數(shù)及其法向?qū)?shù)代入。由于池壁格林函數(shù)在自由面上存在奇異性,為保證計(jì)算精度,需要小心處理??赏ㄟ^去奇點(diǎn)法進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算,即積分核中先減去一奇異項(xiàng),此奇異項(xiàng)的積分可給出解析表達(dá)式。阻尼系數(shù)ε取一小值,通常可通過試算和試驗(yàn)方法確定。

        5 算例與比較分析

        為驗(yàn)證池壁格林函數(shù)計(jì)算和本文方法的準(zhǔn)確性,通過算例進(jìn)行對比驗(yàn)證。算例為計(jì)算一直立圓柱(見圖4)在方形航道中的水動(dòng)力系數(shù),航道寬100 m、水深50 m、圓柱半徑為15 m、圓柱吃水為40 m。將水動(dòng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果與BV 船級社的HydroStar 軟件的結(jié)果進(jìn)行比較,此項(xiàng)比較計(jì)算中不增加自由面數(shù)值阻尼(Hydrostar 的池壁格林函數(shù)計(jì)算無法考慮自由面數(shù)值阻尼)。

        圖4 算例圓柱體示意圖(含自由面數(shù)值阻尼面元)

        附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的計(jì)算結(jié)果如圖5-圖14所示(圖中標(biāo)記“hstar”為HydroStar 的計(jì)算結(jié)果;“my”為本文的計(jì)算結(jié)果,水動(dòng)力系數(shù)進(jìn)行了無因次化處理。ρ為流體密度,V為圓柱排水體積,d為圓柱直徑)。由于在勢流理論下圓柱艏搖的附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)為0,所以結(jié)果中不包含艏搖模態(tài)。

        圖5 縱蕩附加質(zhì)量

        圖6 橫蕩附加質(zhì)量

        圖7 垂蕩附加質(zhì)量

        圖8 橫搖附加質(zhì)量

        圖9 縱搖附加質(zhì)量

        圖10 縱蕩阻尼系數(shù)

        圖11 橫蕩阻尼系數(shù)

        圖12 垂蕩阻尼系數(shù)

        圖13 橫搖阻尼系數(shù)

        圖14 縱搖阻尼系數(shù)

        從結(jié)果可以看出,本文的計(jì)算結(jié)果和HydroStar的計(jì)算結(jié)果非常吻合,驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的可靠性和計(jì)算精度,特別是池壁格林函數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性。結(jié)果中的橫蕩和橫搖曲線中出現(xiàn)了明顯的數(shù)值共振的頻率點(diǎn),此共振現(xiàn)象是由于基于勢流理論的池壁效應(yīng)造成的。

        本文通過引入自由面數(shù)值阻尼來消除數(shù)值共振點(diǎn),為驗(yàn)證自由面數(shù)值阻尼的有效性,本文根據(jù)算例來進(jìn)行驗(yàn)證。在圖4 所示的計(jì)算模型下(數(shù)值阻尼層的尺寸為96 m(橫向)×60 m(縱向),數(shù)值阻尼系數(shù)ε= 0.5),考慮自由面數(shù)值阻尼之后的水動(dòng)力系數(shù)計(jì)算對比結(jié)果如圖15~圖16 所示。圖中標(biāo)記為TGF 的曲線為沒有考慮自由面數(shù)值阻尼的池壁效應(yīng)計(jì)算結(jié)果;標(biāo)記為TGF_damp_rec 的曲線為考慮自由面數(shù)值阻尼的池壁效應(yīng)計(jì)算結(jié)果;標(biāo)記為FG_Opensea 的曲線為在普通開敞水域自由面格林函數(shù)下的水動(dòng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果。文中沒有列出阻尼系數(shù)的比較結(jié)果,計(jì)算表明,在引入人工數(shù)值阻尼之后,阻尼系數(shù)對數(shù)值阻尼系數(shù)ε較為敏感,后續(xù)將繼續(xù)研究如何合理地確定數(shù)值阻尼系數(shù)的大小。

        圖15 橫蕩附加質(zhì)量

        圖16 橫搖附加質(zhì)量

        從結(jié)果中可以看出,施加了自由面數(shù)值阻尼之后,附加質(zhì)量系數(shù)隨著頻率變化是一條光滑的曲線,嚴(yán)重的數(shù)值共振現(xiàn)象不再出現(xiàn),奇異性問題得到了較好的解決。從而使計(jì)算結(jié)果更為合理,與實(shí)際情況也更為吻合。

        6 結(jié) 語

        本文利用自由面池壁格林函數(shù)來考慮池壁效應(yīng),對其進(jìn)行了基于切比雪夫多項(xiàng)式逼近的高效和高精度計(jì)算,并通過自由面數(shù)值阻尼來解決計(jì)算中出現(xiàn)的數(shù)值共振問題,目前公開商業(yè)軟件尚不具備此項(xiàng)功能。本文方法為浮體在限制水域的運(yùn)動(dòng)等響應(yīng)計(jì)算提供了一個(gè)更為合理的方法,具備較大的工程應(yīng)用價(jià)值。下一步的工作將著重解決如何確定數(shù)值阻尼的大小,使計(jì)算更便捷、結(jié)果更合理。

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