胡澤超，何 琳，李 彥

（海軍工程大學(xué)a.振動噪聲研究所；b.船舶振動噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430033）

0 引 言

近年來，隨著高性能結(jié)構(gòu)的發(fā)展，其振動抑制受到了越來越多的關(guān)注與研究。艦船設(shè)備的生命力在較大程度上會受到不良振動的影響，嚴(yán)重時(shí)可能會導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)而無法正常工作。抑制結(jié)構(gòu)振動的方法主要有被動控制、主動控制和主被動混合控制等技術(shù)。目前，機(jī)械設(shè)備振動的被動隔振技術(shù)已廣泛地應(yīng)用于船舶工程中，其中橡膠隔振器、鋼絲繩隔振器和氣囊隔振器等被動隔振器對船舶動力機(jī)械設(shè)備振動中高頻寬頻段的振動隔離有著良好的控制效果，但對艦船大型旋轉(zhuǎn)往復(fù)機(jī)械設(shè)備低頻線譜的控制效果不佳。隨著對艦艇隱身性能要求的進(jìn)一步提高，有必要引入次級振源對結(jié)構(gòu)低頻線譜進(jìn)行主動控制[1]。

目前振動主動控制技術(shù)的研究主要分為三個(gè)方面：（1）作動器與傳感器的設(shè)計(jì)與研制，特別是研制具有優(yōu)良特性的作動器；（2）主動控制算法的改進(jìn)；（3）作動器與傳感器在結(jié)構(gòu)振動主動控制中數(shù)目優(yōu)化以及作用位置優(yōu)化[2]研究。

在結(jié)構(gòu)振動的主動控制中，作動器的作用位置決定了隔振系統(tǒng)的可控性，其合理布置可實(shí)現(xiàn)設(shè)備結(jié)構(gòu)振動低頻線譜的有效隔離。作動器的不當(dāng)配置可能會激發(fā)出未控模態(tài)的響應(yīng)，使系統(tǒng)振動處于不可控狀態(tài)，甚至使系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，研究作動器作用位置的優(yōu)化配置對結(jié)構(gòu)低頻線譜的衰減有著至關(guān)重要的作用。

作動器位置優(yōu)化的設(shè)計(jì)主要從優(yōu)化布置準(zhǔn)則和優(yōu)化布置算法兩個(gè)方面考慮。作動器的優(yōu)化布置，簡言之，即通過分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，選擇合適的優(yōu)化布置準(zhǔn)則來建立其作用位置的目標(biāo)函數(shù)，利用合理的優(yōu)化布置算法求解目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的問題。Isabelle[3]利用可控可觀性準(zhǔn)則，設(shè)計(jì)了彈性板上壓電作動器和壓電傳感器優(yōu)化布置位置。Jung[4]將壓電作動器和傳感器以對位配置的方式安裝在圓柱殼體上，根據(jù)可控可觀Gramian 矩陣求解作動器在圓柱殼體上作用位置的分布系數(shù)矩陣，采用遺傳算法對確定數(shù)目的作動器/傳感器的位置目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到了壓電作動器和壓電傳感器在圓柱殼體上的最優(yōu)分布位置。馬扣根[5]以柔性結(jié)構(gòu)為研究對象，提出了一種基于模態(tài)可控度的作動器/傳感器優(yōu)化位置的度量指標(biāo)。張志誼[6]利用Gramian 矩陣象空間和零空間與模態(tài)可控可觀性之間的關(guān)系，給出了一種評價(jià)模態(tài)可控可觀度的方法。劉瀟翔[7]研究撓性結(jié)構(gòu)包含的密集模態(tài)，通過可控Gramian 矩陣的分塊解析形式，降低了求解的可控度，提出了作動器的優(yōu)化配置方法。以上研究結(jié)果表明：基于系統(tǒng)可控可觀性準(zhǔn)則，對于作動器/傳感器在結(jié)構(gòu)振動主動控制中進(jìn)行配置優(yōu)化方法的研究具有一定的應(yīng)用前景。

對于作動器/傳感器在結(jié)構(gòu)振動主動控制中優(yōu)化布置問題的相關(guān)研究，大多采用遺傳算法。粒子群算法具有參數(shù)設(shè)置簡單、隨機(jī)性強(qiáng)、搜索效率高和搜索能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。相關(guān)學(xué)科的研究及其應(yīng)用表明，粒子群算法具有比其它隨機(jī)類算法的計(jì)算效率更高的特點(diǎn)，因此利用粒子群算法優(yōu)化作動器/傳感器的作用位置對結(jié)構(gòu)振動的主動控制有重要的意義。

本文研究并設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)中作動器的最優(yōu)作用位置，以圓柱殼體為研究對象，建立有限元模型，根據(jù)離散系統(tǒng)可控可觀性準(zhǔn)則建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，利用粒子群智能算法來求解作動器的最優(yōu)作用位置，并通過殼體振動主動控制實(shí)驗(yàn)對理論分析方法進(jìn)行驗(yàn)證。針對圓柱殼體，建立一種作動器的優(yōu)化布置方法，從而有效地衰減傳遞到殼體上的振動。

1 作動器的優(yōu)化布置準(zhǔn)則

在結(jié)構(gòu)振動主動控制中，作動器的不當(dāng)配置可能會導(dǎo)致控制系統(tǒng)控制效果的下降，嚴(yán)重時(shí)會影響到隔振系統(tǒng)的穩(wěn)定性甚至使系統(tǒng)失穩(wěn)[8]，因此需要引入合理的配置準(zhǔn)則來解決作動器的優(yōu)化布置問題[9]。

目前，國內(nèi)外對于確定數(shù)目下作動器作用位置優(yōu)化的研究較多，已形成了一些基于不同優(yōu)化準(zhǔn)則的系統(tǒng)理論。由于不同的優(yōu)化準(zhǔn)則可能會產(chǎn)生不同的布置方案，在控制效果上有所差異，因此優(yōu)化準(zhǔn)則的選用尤為重要。針對結(jié)構(gòu)振動主動控制，到目前為止許多專家提出了多種不同的理論優(yōu)化準(zhǔn)則，主要有：（1）可控可觀性準(zhǔn)則；（2）能量準(zhǔn)則；（3）系統(tǒng)響應(yīng)準(zhǔn)則；（4）可靠性準(zhǔn)則；（5）控制溢出準(zhǔn)則。通常對于這些準(zhǔn)則，根據(jù)結(jié)構(gòu)的特征和控制要求等方面的權(quán)衡，才能最終決定采用何種準(zhǔn)則[10]。基于所研究的控制系統(tǒng)為閉環(huán)控制系統(tǒng)，可以從系統(tǒng)能量的角度出發(fā)進(jìn)行研究：在達(dá)到同等控制效果的情況下，作動器的輸出能量最小，傳感器接收的觀測信號最大?；谘芯康慕嵌?，可基于可控性準(zhǔn)則對結(jié)構(gòu)中作動器作用的位置進(jìn)行優(yōu)化配置。

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的建立

根據(jù)可控可觀性準(zhǔn)則，采用有限元法建立受控結(jié)構(gòu)的動力學(xué)微分方程：

式中，M ∈Rn×n為質(zhì)量矩陣；C ∈Rn×n為阻尼矩陣；K ∈Rn×n為剛度矩陣；x ∈Rn×1為位移列向量；u ∈Rr×1為作動器控制力輸出列向量，其中r為作動器的個(gè)數(shù)；B ∈Rn×r為作動器的位置矩陣；y ∈Rs×1為系統(tǒng)的測量列向量，其中s為傳感器的數(shù)目；Dd∈Rs×n、Dv∈Rs×n和Da∈Rs×n為系統(tǒng)的輸出系數(shù)矩陣，當(dāng)采用加速度傳感器時(shí)，Dd= Dv= 0；D為與作動器控制力有關(guān)的系數(shù)矩陣。

由模態(tài)疊加原理，系統(tǒng)的位移響應(yīng)可表示為

其中，Φi為系統(tǒng)第i階振型向量，Φ={Φ1,Φ2,…,Φn} ；ηi為第i階模態(tài)坐標(biāo)，η={η1,η2,…,ηn}T。將（2）式代入（1）式，可得

其中，Dr= diag( 2ξ1ω1,2ξ2ω2,…,2ξnωn);Γ 為n×r 作動器系數(shù)影響矩陣和分別為s×n 的傳感器位移、速度和加速度系數(shù)影響矩陣；ξi為系統(tǒng)的第i階模態(tài)阻尼比，ωi為系統(tǒng)的第i階模態(tài)頻率，i =1,2,…,n。

假設(shè)被控模態(tài)數(shù)目為nc，j = 1,…,nc，此時(shí)（3）式可表示為

式中f ( ?)為傳感器采集到的信息矩陣和控制力的函數(shù)關(guān)系。令p( t )=[ η1ω1η1…ηnωnηn]∈R2n，可將（4）式轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

式中，矩陣A 與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)，由系統(tǒng)的特征頻率和阻尼比所決定；矩陣B 與作動器配置矩陣L ∈Rn×r有關(guān)；矩陣C′為傳感器的信號輸出矩陣，由傳感器的類型和布置位置決定。由文獻(xiàn)[12]可知：

控制力輸入矩陣B 的列數(shù)等于作動器的數(shù)目r，信號輸出矩陣C′的行數(shù)為傳感器的數(shù)目s。若采用誤差傳感器和作動器對位配置的方法，則有C′= BT。

1.2 作動器的優(yōu)化配置方法

對于作動器作用位置設(shè)計(jì)方面的研究，配置準(zhǔn)則的確立是首先需要解決的問題。作動器優(yōu)化配置準(zhǔn)則的選用主要分為兩步：（1）確立能夠滿足系統(tǒng)控制需求的合適的優(yōu)化準(zhǔn)則；（2）根據(jù)優(yōu)化準(zhǔn)則來確定待優(yōu)化元器件位置的配置指標(biāo)即目標(biāo)函數(shù)。

由可控可觀性準(zhǔn)則，可利用可控Gramian矩陣[11]求解作動器的最優(yōu)作用位置。假設(shè)在t = 0時(shí)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為p0，若規(guī)定在t= tf時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)為ptf，為了使作動器輸出的控制能量Jc最小，可以定義（8）式所示的目標(biāo)函數(shù)：

由文獻(xiàn)[13]可得：

式中Wc( tf)為控制系統(tǒng)可控Gramian矩陣。

將（9）～（10）式代入（8）式，可得目標(biāo)函數(shù)的變換形式：

根據(jù)Lyapunov方程，可得：

Wc的特征根λi對作動器的控制性能起著決定性的作用，因此作動器的控制性能指標(biāo)可以定義[4]如下：

式中，n為柔性結(jié)構(gòu)模型中的模態(tài)數(shù)，σ( λi)為可控Gramian矩陣Wc特征值的標(biāo)準(zhǔn)差。為了使作動器的控制性能最好，目標(biāo)函數(shù)PIc的值應(yīng)盡可能大，即可控Gramian矩陣Wc的每個(gè)特征值λi都盡可能的大，最大的PIc值所解出作動器的位置系數(shù)矩陣L就決定了作動器的最優(yōu)分布位置。

2 粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法（簡稱PSO）是受鳥群捕食行為啟示而提出的一種隨機(jī)類搜索算法。相比較于其他的群智能算法，PSO 算法具有效率高、求解速度快和參數(shù)設(shè)置簡潔等優(yōu)點(diǎn)，在很多學(xué)科領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在基本PSO算法中，粒子的搜索速度和位移由兩個(gè)迭代方程組成[9]：

式中，vid( t )和xid( t )分別為t 次迭代后第i 個(gè)粒子第d 維速度分量和位移分量，w 表示慣性權(quán)重因子；pid為第i個(gè)粒子在t + 1次迭代前最優(yōu)位移的第d維分量；pgd為粒子種群在t + 1次迭代前最優(yōu)位移的第d維分量；c1和c2為學(xué)習(xí)因子；r1和r2為服從［0，1］上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

（14）式中，速度矢量由三部分來更新自身的狀態(tài)：（1）wvid( t )代表粒子t 次迭代后的速度矢量，控制w 值可以控制粒子種群的搜索范圍，w 值越大，粒子的全局搜索能力越強(qiáng)，w 值越小，粒子的局部搜索能力越強(qiáng)；（2）c1r1[ pid- xid( t )]代表粒子自我學(xué)習(xí)的能力，即自我認(rèn)知能力，其中自我學(xué)習(xí)因子為c1；（3）c2r2[ pgd- xid( t )]表示群體中粒子個(gè)體之間信息共享與相互合作的能力，即社會認(rèn)知能力，其中社會學(xué)習(xí)因子為c2。粒子位置更新示意圖如圖1。

圖1 粒子位置更新示意圖 Fig.1 The location update diagram of particle

圖2 圓柱殼體結(jié)構(gòu)Fig.2 The cylindrical shell

3 圓柱殼體上作動器的配置方案

本節(jié)以圓柱殼體為研究對象，利用粒子群算法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)PIc，得到作動器的位置系數(shù)矩陣L，進(jìn)而確定作動器的優(yōu)化布置方案。

3.1 仿真與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析

圓柱殼體的模型如圖2 所示：直徑1 100 mm，殼厚8 mm，長度2 800 mm，材料為1Cr18Ni9Ti，廣泛地應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備和工程結(jié)構(gòu)中。圓柱殼體的材料屬性如表1 所示。仿真和實(shí)驗(yàn)所得前八階彈性模態(tài)見表2，其中m表示周向波數(shù)，n表示縱向半波數(shù)。

鑒于仿真分析模態(tài)與實(shí)驗(yàn)測試模態(tài)結(jié)果相差不大，所建立的仿真模型是可靠的，可從仿真模型中提取前8階相關(guān)振型數(shù)據(jù)用于分析計(jì)算。

表1 殼體材料屬性Tab.1 Material properties of the shell

表2 圓柱殼體前八階模態(tài)Fig.2 The first eight-order modes for cylindrical shells

3.2 作動器最優(yōu)布置方案

假定殼體的模態(tài)阻尼比為0.01，根據(jù)仿真結(jié)果，前八階模態(tài)貢獻(xiàn)量大于95%，因此提取前八階模態(tài)振型數(shù)據(jù)參與計(jì)算，根據(jù)（6）式可求得Lyapunov 方程中與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)的矩陣A16×16。由（6）和（7）式可求得系統(tǒng)矩陣A 和輸入矩陣B 及其與作動器位置矩陣L 的關(guān)系，由（13）式可確定可控Gramian 矩陣Wc，進(jìn)而可根據(jù)與Wc的特征值λi相關(guān)的方程來確定作動器的位置系數(shù)矩陣L。接下來利用PSO算法對目標(biāo)函數(shù)（13）式中PIc進(jìn)行優(yōu)化。本節(jié)采用改進(jìn)的粒子群算法RandWPSO對PIc進(jìn)行探索求值，其中慣性權(quán)重因子w按（16）式取值，具體參數(shù)設(shè)置［14］為：c1=c2= 0，N = 40，μmax= 0.8，μmin= 0.5，σ = 0.2，M = 1 000，r = 1,2,…,9，其中N為粒子種群數(shù)量、M為最大迭代次數(shù)，得到作動器數(shù)目和最優(yōu)分布節(jié)點(diǎn)的位置關(guān)系如表3。

表3 作動器優(yōu)化布置數(shù)量和作用位置關(guān)系Tab.3 Relationship between number and position of optimal arrangement of actuators

本文采用3個(gè)作動器對殼體進(jìn)行主動控制實(shí)驗(yàn)，誤差傳感器與作動器對位配置，分別作用在編號為20、22和24節(jié)點(diǎn)上。此三個(gè)節(jié)點(diǎn)在圓柱殼體的中心截面上均勻分布。殼體上作用位置的節(jié)點(diǎn)編碼如圖3所示，圖4為圓柱殼體表面經(jīng)過節(jié)點(diǎn)1的母線展開的平面圖。

圖3 作動器的作用位置編碼 Fig.3 Positional encoding of actuators

圖4 編碼順序展開圖Fig.4 Coding sequence diagram

圖5 試驗(yàn)平臺搭建圖 Fig.5 The construction of the experimental platform

圖6 設(shè)備儀器連接圖Fig.6 The connection diagram of laboratory equipment

4 主動控制實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證作動器理論優(yōu)化位置控制效果，設(shè)置三組不同作動器的布置方案進(jìn)行主動控制實(shí)驗(yàn)，并與理論優(yōu)化布置方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比分析。

4.1 理論最優(yōu)方案的線譜控制實(shí)驗(yàn)

主動控制實(shí)驗(yàn)臺架實(shí)物圖如圖5所示，實(shí)驗(yàn)設(shè)備通道連接圖如圖6。激振器固定在圓柱殼體安裝鋪板的中心位置處，模擬電機(jī)的振動。臺架為艙段吊掛架將圓柱殼體的兩端懸掛約束，圓柱殼體的內(nèi)表面通過焊接螺母固定慣性作動器，輸出徑向控制力。實(shí)驗(yàn)采用3 個(gè)作動器，在殼體縱向截面上呈120°均布，對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號為20、22和24，作用位置如圖7。

圖7 作動器最優(yōu)布置位置Fig.7 Optimal position of three actuators

本文采用的主動控制算法為窄帶多通道Fx-Newton 算法[15-16]，此法收斂速度要明顯快于FxLMS 算法，且在穩(wěn)定收斂后能獲得優(yōu)良的線譜控制效果。在線譜主動控制實(shí)驗(yàn)中，將布置在激振器附近的加速度傳感器作為參考信號，與作動器對位配置的3路加速度傳感器信號為誤差信號輸入到控制器。分別設(shè)置激振器輸出頻率為40 Hz、激勵(lì)電壓為100 mV的單頻激勵(lì)以及激勵(lì)頻率為40 Hz+80 Hz、激勵(lì)電壓均為100 mV 的組合激勵(lì)，模擬電機(jī)的兩種工況。作動器和傳感器的布置位置如圖8，其中1～3 號觀測信號為誤差信號，對位的節(jié)點(diǎn)編號依次為20、22、24；4 號觀測信號為參考信號，布置在殼體安裝鋪板振源位置附近；5～10號信號為觀測信號，對位的節(jié)點(diǎn)編號依次為8、10、12、32、34、36。殼體上9個(gè)傳感器的布置位置簡圖如圖8（括號表示視圖方向被遮擋的傳感器編號）。

當(dāng)激振器輸出頻率為40 Hz、電壓為100 mV的單頻激勵(lì)時(shí)，得到圖9所示的控制效果（紅色為未控狀態(tài)，藍(lán)色為受控狀態(tài)）。

圖9 理論優(yōu)化組在40 Hz激勵(lì)下各觀測點(diǎn)信號控制效果Fig.9 Control effect of each observation point under 40 Hz excitation in the optimal group

圖10 理論優(yōu)化組在40 Hz+80 Hz組合激勵(lì)下各觀測點(diǎn)信號控制效果Fig.10 Control effect of each observation point under 40 Hz and 80 Hz excitation in the optimal group

當(dāng)激振器激勵(lì)頻率為40 Hz+80 Hz 的雙頻正弦激勵(lì)且輸出電壓幅值均為100 mV 時(shí)，殼體的控制效果如圖10所示，理論優(yōu)化組在40 Hz單頻激勵(lì)和40 Hz+80 Hz雙頻激勵(lì)下的控制效果如表4所示。

表4 優(yōu)化位置主動控制效果Tab.4 The active control test effect of the optimal placement

4.2 對比控制實(shí)驗(yàn)

為了檢驗(yàn)理論優(yōu)化方法的可行性，抽取三組布置方案與優(yōu)化位置的控制效果進(jìn)行對比。三組對比實(shí)驗(yàn)對應(yīng)的作動器的布置方案如圖11 所示，對照組一對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號為12、22、32，對照組二對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號為8、10、12，對照組三對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號為8、24、32。對照組一與對照組二分別在40 Hz 單頻激勵(lì)和40 Hz+80 Hz雙頻激勵(lì)下的控制效果如表5和表6所示。

圖11 對比實(shí)驗(yàn)中作動器的布置位置Fig.11 Positions of the actuators in the comparative test

表5 對照組一的主動控制效果Tab.5 The active control effect of the comparative group Ⅰ

表6 對照組二的主動控制效果Tab.6 The active control effect of the comparative group Ⅱ

本節(jié)還對圖11（c）所示對照組三的作動器布置方案進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，此方案在控制階段引起了結(jié)構(gòu)的強(qiáng)烈共振，使殼體失控。

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了檢驗(yàn)作動器在圓柱殼體上理論優(yōu)化位置的控制效果，本節(jié)進(jìn)行了主動控制實(shí)驗(yàn)，并設(shè)計(jì)了三組對照實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對于40 Hz 單頻激勵(lì)力，理論優(yōu)化組的控制效果最佳，達(dá)到了19.36 dB，明顯優(yōu)于兩組對照組；對照組二次之，總振級衰減達(dá)到8.64 dB；而對照組一的布置方法控制效果不佳，僅為0.19 dB。對于40 Hz+80 Hz雙頻激勵(lì)，其中對于40 Hz處的激勵(lì)頻率，理論優(yōu)化組控制效果最佳，總振級降低量為13.11 dB；對照組二次之，為8.09 dB；而對照組一的總振級降低量不減反增，為-1.08 dB，殼體振動沒有得到控制。對于雙頻激勵(lì)中80 Hz 的激勵(lì)頻率，三個(gè)實(shí)驗(yàn)組總振級衰減量差別不大，其中對照組二的控制效果最好，為7.62 dB；理論優(yōu)化組次之，略低于對照組二，控制衰減量為7.23 dB；對照組一控制效果最差，為6.66 dB。對照組三，在40 Hz 單頻激勵(lì)或40 Hz+80 Hz 雙頻激勵(lì)下，均引起了殼體的強(qiáng)烈共振，導(dǎo)致殼體振動失控。

主動控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，作動器在圓柱殼體上的理論優(yōu)化位置的控制效果要明顯好于設(shè)置的三組對照組，能夠?qū)φ駝蛹?lì)進(jìn)行有效的衰減。該實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析方法的可靠性：粒子群算法可應(yīng)用于圓柱殼體中作動器作用位置目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化求解問題，且理論優(yōu)化位置在振動主動控制實(shí)驗(yàn)中能夠取得較好的控制效果。

5 結(jié) 語

本文以圓柱殼體結(jié)構(gòu)振動的主動控制為研究對象，基于離散系統(tǒng)可控可觀性準(zhǔn)則，采用粒子群優(yōu)化智能算法，提出了一種作動器的優(yōu)化布置方案，并通過主動控制實(shí)驗(yàn)對理論分析布置方案的可行性進(jìn)行了分析與驗(yàn)證。結(jié)果表明，粒子群算法可用于解決圓柱殼體上作動器的優(yōu)化配置問題。