李應(yīng)剛，周 雷，朱 凌，張 超，郭開嶺

（1.武漢理工大學(xué)a.高性能艦船技術(shù)教育部重點實驗室，b.交通學(xué)院，武漢430063；2.湖北工業(yè)大學(xué)農(nóng)機工程研究設(shè)計院，武漢430068）

0 引 言

隨著“海洋強國”戰(zhàn)略的不斷推進，海上交通行業(yè)蓬勃發(fā)展，船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)的振動噪聲問題日趨嚴(yán)峻，其減振降噪方法一直是業(yè)界關(guān)注的重點和難點。

定常結(jié)構(gòu)發(fā)生突變（質(zhì)量、剛度等），會引起結(jié)構(gòu)的阻抗失配，對聲波起到很好的反射作用。因此，船體板結(jié)構(gòu)聲傳遞途徑上人為敷設(shè)阻振質(zhì)量的振動噪聲控制方法吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Cremer 等人[1]最早提出阻振質(zhì)量（Blocking mass）的概念，并對其阻波特性進行了分析。石勇等人[2]采用波動理論和試驗相結(jié)合的方法研究了含方鋼的鋼板結(jié)構(gòu)中振動波的傳播特性，驗證了方鋼減振降噪的效果。劉洪林和王德禹[3]通過有限元法/邊界元法研究了阻振質(zhì)量塊-板結(jié)構(gòu)振動與輻射噪聲特性，探討了不同矩形截面形狀和不同圓環(huán)形狀參數(shù)對振動和聲輻射的影響規(guī)律。劉見華等人[4]研究了無限板上受點激勵時阻振質(zhì)量對結(jié)構(gòu)聲傳遞的阻抑，采用基于能量觀點的隔振度來定義阻振質(zhì)量的阻抑作用。研究結(jié)果表明，板平面彎曲波分別和阻振質(zhì)量的彎曲波和扭轉(zhuǎn)波達(dá)到最佳耦合時，平面彎曲波發(fā)生最大透射。江蘇科技大學(xué)研究團隊[5]研究了平板結(jié)構(gòu)受點激勵時空心方鋼阻振質(zhì)量對結(jié)構(gòu)中振動波傳遞的阻抑特性，結(jié)果表明空心方鋼阻振質(zhì)量比實心方鋼阻振質(zhì)量結(jié)構(gòu)的阻振效果明顯，并大幅度減少了附加質(zhì)量。錢德進等人[6]利用波動理論的分析、處理方法，分析了多級平行阻振質(zhì)量阻隔振動波傳遞的特性。

現(xiàn)有文獻雖然對阻振質(zhì)量的隔振特性開展了大量研究，但是阻振質(zhì)量的隔振機理仍然闡述不足，難以實現(xiàn)振動波衰減和隔振性能的人工主動調(diào)節(jié)和優(yōu)化。本文以等間距多級阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)為研究對象，根據(jù)固體晶格能帶理論結(jié)合Bloch周期性邊界條件，研究其彎曲振動帶隙特性，揭示了阻振質(zhì)量的振動波衰減和隔振機理。

1 物理模型與計算方法

1.1 帶隙物理模型

周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)是通過含阻振質(zhì)量單元沿著x方向在船體板等間距周期性排列而成，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。定義周期性原胞結(jié)構(gòu)（紅色單元）的晶格常數(shù)為a，船體板厚度為e，寬度為b，阻振質(zhì)量的寬度為L，高度為h。船體板和阻振質(zhì)量都選取為鋼材料，材料參數(shù)定義為：彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7850 kg/m3，泊松比υ=0.33。

圖1 周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of ship plates with periodic vibration blocking masses

1.2 帶隙計算方法

當(dāng)實際結(jié)構(gòu)只在一個方向上具有周期性時，通常將具有周期的方向取為x方向?？梢缘玫矫枋鲈趚方向傳播的彈性波的波動方程為

式中，λ和μ為材料的Lame彈性常數(shù)。

式中，E為材料的彈性模量；υ為材料的泊松比。

基于固體晶格能帶理論和Bloch 定理，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)晶格具有周期性和點群對稱性，其本征場具有Bloch函數(shù)的形式，波動方程的本征函數(shù)是按照正格子周期性調(diào)幅的平面波：

Bloch理論說明，由于晶格的周期性和點群對稱性，通過引入周期邊界條件，可以將對于彈性波(的3)在整個晶格傳播行為的研究轉(zhuǎn)換到單個原胞及其不可約布里淵區(qū)中進行。對應(yīng)Bloch 波矢k 在不可約布里淵區(qū)中的每一個取值，將Bloch周期性邊界條件代入彈性波波動方程就可以求解出一系列對應(yīng)的本征頻率及本征函數(shù)，就可以繪制出聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖[7-8]。對于有限周期結(jié)構(gòu)，通常用結(jié)構(gòu)激勵端和響應(yīng)端之間的頻響函數(shù)來描述其傳輸特性。如果激勵端和響應(yīng)端都取相同的物理量，頻響函數(shù)則為一個無量綱的比例系數(shù)，稱為傳遞率或透射率。

式中，a1為激勵端的物理量，a2為響應(yīng)端的物理量。

2 周期性阻振質(zhì)量船體板彎曲振動帶隙

2.1 周期性阻振質(zhì)量船體板帶隙特性

為了研究周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動帶隙特性和阻振質(zhì)量的隔振機理，需要計算其能帶結(jié)構(gòu)和頻響曲線。文中分別建立了船體單板結(jié)構(gòu)和周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)的原胞有限元模型，選取結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：晶格常數(shù)a=120 mm，船體板的厚度e=2 mm，寬度b=200 mm，阻振質(zhì)量的寬度L=30 mm，高度h=30mm。船體板結(jié)構(gòu)左右兩端施加周期性邊界條件，其他均設(shè)置為自由邊界條件，沿著ΓX 方向波矢進行參數(shù)掃描，求解各個波矢下結(jié)構(gòu)的本征模式和本征頻率，分別得到船體單板結(jié)構(gòu)和周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，結(jié)果如圖2（a）和2（b）所示，其中縱坐標(biāo)為頻率，橫坐標(biāo)為沿著不可約布里淵區(qū)邊界的歸一化的波矢。由板中的波動理論可知，有限厚度的板中存在一系列的反對稱和對稱Lamb 波模式（即板中縱波和彎曲波，分別表示為A 模式和S 模式），以及水平剪切（Shear horizontal，SH）波模式。從圖2（a）中可以看到，船體單板結(jié)構(gòu)與二維有限厚度板結(jié)構(gòu)能帶具有顯著差異，存在四條從零頻率出發(fā)的能帶，分別對應(yīng)于縱波模式（L模式）、扭轉(zhuǎn)波模式（T模式）以及彎曲波模式（Bx 模式和By 模式）。它們包括四個基本的模式（即L0、T0、Bx0和By0模式）及其倍頻模式（Ln、Tn、Bxn和Byn模式，其中n=1，2，…）[8]。從圖2（b）中可以發(fā)現(xiàn)，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)的能帶構(gòu)圖中不僅存在著縱波模式（L模式）、扭轉(zhuǎn)波模式（T模式）以及彎曲波模式（Bx模式和By模式），同時還出現(xiàn)了大量的平直帶。平直帶結(jié)構(gòu)是指在絕大部分波矢方向上，不同的波矢對應(yīng)著相同的特征頻率，也就是說，不同方向、不同大小的彈性波場對應(yīng)著相同的振動模式。能帶結(jié)構(gòu)中存在平直帶，表明內(nèi)部彈性波場存在局域化共振現(xiàn)象。相對于船體板結(jié)構(gòu)而言，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)在0～3 000 Hz 頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生了明顯的彎曲振動帶隙（圖2（b）中填充區(qū)域）。為了驗證周期性阻振質(zhì)量船體板振動帶隙的存在，同時分析其有限結(jié)構(gòu)的減振特性，計算得到了有限周期阻振質(zhì)量船體板的頻率響應(yīng)曲線，如圖2（c）所示。從圖中可以看出，頻率響應(yīng)函數(shù)在0～3 000 Hz頻率范圍內(nèi)存在明顯的衰減谷，衰減谷的位置和寬度與能帶結(jié)構(gòu)圖中的禁帶位置和寬度吻合良好，證明了能帶結(jié)構(gòu)計算的可靠性。

圖2 船體板結(jié)構(gòu)彎曲振動帶隙特性Fig.2 Flexural wave band gap characteristics of ship plates

圖3 本征位移場Fig.3 The displacement fields of the eigenmodes

2.2 周期性阻振質(zhì)量船體板振動帶隙機理

為了更深入直觀地說明周期性阻振質(zhì)量船體板禁帶形成機理，文中計算了圖2 中禁帶邊界處的本征位移場，如圖3所示。圖中模態(tài)A、B對應(yīng)于船體板無阻振質(zhì)量時的本征位移場，模態(tài)C、D、E、F對應(yīng)于含阻振質(zhì)量船體板的本征位移場。由圖可知，模態(tài)A、B分別表示各向同性基板中的彎曲波Bx模式和By 模式。隨著阻振質(zhì)量的引入，我們可以發(fā)現(xiàn)，模態(tài)C、D 的本征位移場主要是各向同性船體板的彎曲波Bx模式和By模式與阻振質(zhì)量的局域共振模態(tài)的耦合，正是這種耦合作用導(dǎo)致了周期性阻振質(zhì)量船體板中低頻彎曲振動帶隙的出現(xiàn)。阻振質(zhì)量船體板的局域共振模態(tài)可以理解為一個單自由度的彈簧-質(zhì)量模型，其中阻振質(zhì)量起到集中質(zhì)量的作用，而阻振質(zhì)量與船體板的連接作用為彈簧。模態(tài)E和模態(tài)F的本征位移場分別對應(yīng)于周期性阻振質(zhì)量船體板能帶結(jié)構(gòu)的平直帶，阻振質(zhì)量幾乎保持靜止，主要體現(xiàn)為船體基板相對于y 軸的彎曲振動模式（By 模式），而船體板中沿著x 方向的彎曲振動能夠被抑制。因此，周期性阻振質(zhì)量船體板的禁帶主要是由于阻振質(zhì)量的引入導(dǎo)致帶隙頻率范圍內(nèi)缺乏沿著x方向傳播的彎曲振動模式（Bx模式）而產(chǎn)生的。

2.3 彎曲振動帶隙試驗驗證

為了驗證周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動帶隙特性，我們加工制備了樣品結(jié)構(gòu)，對其有限周期結(jié)構(gòu)的減振性能進行了實驗測試。根據(jù)禁帶特性的理論分析，設(shè)計了沿著x 方向周期排列的4×1 有限周期阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)，如圖4（a）所示，實驗測試樣品的單元結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)和材料參數(shù)與理論分析時所采用的完全相同。

圖4 測試樣件及試驗測試方案圖Fig.4 The test sample and the experimental measurement setup

實驗測試中主要采用了B&K PULSE 測試與分析系統(tǒng)。實驗過程中采用柔繩將測試樣品自由懸掛，確保懸掛系統(tǒng)的第一階固有頻率遠(yuǎn)低于測試樣品本身的固有頻率。在樣件的一端安裝激振器施加垂直于有機玻璃板面的激勵，并在激勵點和板面另一端選取一個測試點安裝加速度傳感器，監(jiān)測垂直于板面的振動加速度幅值。加速度傳感器型號為B&K 4507B，靈敏度為100 mV/g。由B&K PULSE測試系統(tǒng)產(chǎn)生0～3 200 Hz 帶寬的白噪聲信號，經(jīng)過功率放大器驅(qū)動激振器產(chǎn)生相應(yīng)的振動信號。安裝在板面兩端的加速度傳感器獲取的振動加速度信號經(jīng)過B&K PULSE 測試系統(tǒng)分析和處理，最終得到測試樣件的頻率響應(yīng)函數(shù)。

采用以上實驗測試平臺，測試得到有限周期阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)樣品的頻率響應(yīng)函數(shù)，結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)彎曲振動頻響特性曲線在0～3 000 Hz 頻率范圍內(nèi)存在明顯的衰減區(qū)域，實驗測試結(jié)果的船體板彎曲振動衰減區(qū)域頻率范圍與有限元數(shù)值計算結(jié)果基本吻合，驗證了周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)彎曲振動帶隙特性。在低頻范圍內(nèi)，實驗測試得到的各共振峰的頻率與有限元結(jié)果吻合得較好，而在較高頻范圍的共振峰值頻率有所差異，實驗測試結(jié)果的頻響特性曲線的衰減頻率范圍更寬，彎曲振動衰減量更大。誤差產(chǎn)生的原因主要是由于試驗測試樣品中阻振質(zhì)量與船體板之間采用AB 膠粘接，而有限元計算中采用阻振質(zhì)量與船體板直接固接，沒有考慮AB膠粘接層的影響。為了進一步分析AB膠粘接層的影響，建立含有AB膠粘接層的周期性阻振質(zhì)量船體板有限元模型，得到其頻率響應(yīng)特性對比如圖5 所示。由圖可知，含有AB 膠粘接層的周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動頻響特性曲線與試驗測試結(jié)果基本吻合，AB膠粘接層的引入使周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)中形成了典型的局域共振彈簧質(zhì)量動力吸振系統(tǒng)，導(dǎo)致船體板結(jié)構(gòu)中局域共振模式增強，振動衰減量增大。

圖5 實驗測試頻率響應(yīng)Fig.5 Experimental validation of frequency spectra

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)對彎曲振動帶隙的影響

為了研究彎曲振動帶隙的上下邊界頻率隨著結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的變化趨勢，保持船體板和阻振質(zhì)量的材料參數(shù)不變，結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)以圖2 的周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)進行實驗（晶格常數(shù)a=120 mm，船體板的厚度e=2 mm，寬度b=200 mm，阻振質(zhì)量的寬度L=30 mm，高度h=30 mm）。圖6（a）為周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動帶隙隨晶格常數(shù)的變化規(guī)律。從圖中可以看到，隨著晶格常數(shù)的增大，周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動帶隙下邊界起始頻率和上邊界截止頻率均向低頻移動，帶隙絕對寬度逐漸變窄。從圖6（b）中可以看到，隨著阻振質(zhì)量寬度的增加，周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動帶隙下邊界起始頻率向低頻移動，而上邊界截止頻率向高頻移動，從而導(dǎo)致帶隙逐漸變寬。由圖6（c）可知，隨著阻振質(zhì)量高度的增大，周期性阻振質(zhì)量船體板的彎曲振動帶隙下邊界起始頻率逐漸向低頻移動，而上邊界截止頻率基本保持不變，帶隙寬度逐漸增加。綜合以上參數(shù)分析可知，要在低頻范圍內(nèi)獲得更寬的禁帶，可以通過增加阻振質(zhì)量的等效質(zhì)量（如增加阻振質(zhì)量的寬度和高度）或者增大周期結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)來實現(xiàn)。根據(jù)參數(shù)影響分析，可以根據(jù)船海結(jié)構(gòu)振動噪聲特性，實現(xiàn)周期性阻振質(zhì)量船體板帶隙結(jié)構(gòu)的主動設(shè)計和人工調(diào)制。

圖6 結(jié)構(gòu)參數(shù)對帶隙的影響Fig.6 Effects of geometric parameters on the band gap

4 結(jié) 論

本文采用有限元法與實驗測試相結(jié)合的方法，研究了周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)中彎曲波傳播特性與振動帶隙機理。研究結(jié)果表明，周期性阻振質(zhì)量船體板結(jié)構(gòu)中存在彎曲振動帶隙，帶隙頻率范圍內(nèi)的彎曲波在周期性阻振質(zhì)量船體板中產(chǎn)生顯著的衰減，彎曲振動帶隙主要是由于阻振質(zhì)量的引入導(dǎo)致帶隙頻率范圍內(nèi)缺乏沿著x方向傳播的彎曲振動模式（Bx模式）而產(chǎn)生的。通過改變結(jié)構(gòu)的材料和尺寸參數(shù)，可以有效實現(xiàn)振動帶隙人工調(diào)節(jié)和主動控制，為船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)的振動與噪聲控制提供了新的思路。