于志達，歐陽昱，盧耀輝,，畢偉，劉慧琳

（1. 西南交通大學 唐山研究生院，河北 唐山 063016；2. 西南交通大學 機械工程學院，成都 610031）

近年來，中國的工業(yè)已經(jīng)實現(xiàn)了跨越式發(fā)展，新型機械化裝備不斷投入到工程應用當中。在裝備服役的過程內(nèi)，其面臨著從以往單一的工作環(huán)境轉(zhuǎn)向高速、高溫、高壓等具備更復雜條件的工作環(huán)境，這就會導致裝備結(jié)構(gòu)上會產(chǎn)生更多的失效因素。

我國高速鐵路曾經(jīng)歷過6 次大提速，在每一次提速過后都有一個問題困擾著人們，即高速列車的安全服役問題。從我國目前現(xiàn)有的軌道譜研究中發(fā)現(xiàn)，列車運營速度的提高會影響激勵頻率，速度越快，激勵頻率范圍越大。對高速列車車體而言，在長時間循環(huán)載荷的作用下，激勵頻率在接近或達到共振頻率時，就會使對應成分的載荷能量增大，容易使車體產(chǎn)生振動疲勞裂紋。車體作為高速列車服役的重要裝備，其結(jié)構(gòu)可靠性對保障乘車人員財產(chǎn)安全有重要意義。

在海洋裝備領域，船體浪激振動是由與共振現(xiàn)象有關的二階激振和由浪激產(chǎn)生的瞬態(tài)沖擊載荷引起的激振兩部分組成[1]。此外海上浮式裝置的立管和系泊系統(tǒng)在不同的動力環(huán)境下表現(xiàn)出復雜的動力特性[2]。不僅有波浪載荷和低頻漂移響應，還有渦激振動引起的高頻響應。在這種復雜載荷的作用下，裝置不斷累積振動疲勞損傷，直至裝置疲勞失效。

在航空航天領域，飛機結(jié)構(gòu)在使用過程中始終處于振動環(huán)境，振動引起的結(jié)構(gòu)疲勞破壞是飛機結(jié)構(gòu)破壞的主要模式之一，也是航空武器裝備研制和使用中的共性問題。2016 年12 月18 日，據(jù)報道，美國約翰保羅復斯號驅(qū)逐艦上的攝影師拍到雄貓戰(zhàn)機演習的畫面，上空距離海面266.67 m 時，飛行員與他的雷達官以380 km/h 飛向驅(qū)逐艦，噴射機速度接近音障時，會產(chǎn)生蒸汽錐，然后突然解體了，時速只差幾里就能突破音障。當飛機在突破音障的過程中，外載荷頻率接近飛機固有頻率，引發(fā)了共振現(xiàn)象導致飛機在空中瞬間解體。

以上這些例子均體現(xiàn)了機械結(jié)構(gòu)因振動加強和局部振動突出的問題，事實證明，振動與疲勞之間的關系密不可分，共振是造成機械結(jié)構(gòu)失效的重要原因，且多數(shù)以疲勞的形式表現(xiàn)出來。進入21 世紀，我國作為工業(yè)大國正朝向工業(yè)強國的目標前進。加強振動與疲勞的交叉學科研究，可以在產(chǎn)品設計階段避免很多工程結(jié)構(gòu)疲勞失效問題從而提高產(chǎn)品的可靠性，所以開展振動疲勞研究有廣闊的前景與重要的意義。

1 振動疲勞

振動疲勞是結(jié)構(gòu)所受動態(tài)交變載荷（如振動、沖擊、噪聲載荷等）的頻率分布與結(jié)構(gòu)固有頻率分布具有交集或相接近，從而使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振所導致的疲勞破壞現(xiàn)象，也可以直接說成是結(jié)構(gòu)受到重復載荷作用，激起結(jié)構(gòu)共振所導致的疲勞破壞。因此只有結(jié)構(gòu)在共振帶寬內(nèi)或其附近受到激勵導致的共振破壞才屬于振動疲勞破壞，否則都屬于靜態(tài)疲勞問題。工業(yè)中，有必要評估疲勞壽命，并在初始產(chǎn)品設計階段設計具有保證耐久性的部件。結(jié)構(gòu)工程師通常使用部件疲勞測試或駕駛疲勞測試來驗證部件的耐久性，由于時間和金錢的限制，使用這些評估方法可以及時地審查耐久性。通過使用有限元分析進行虛擬疲勞分析，可以減少在新設備開發(fā)階段消耗的時間和金錢。由于這種優(yōu)勢，疲勞測試和虛擬疲勞分析都被廣泛應用于工業(yè)。

隨著對結(jié)構(gòu)疲勞設計分析的精度要求不斷提高，疲勞研究已從材料力學的理論基礎逐步發(fā)展為彈塑性力學和斷裂力學的理論基礎。1958 年，Crandall 首次將隨機振動理論應用于結(jié)構(gòu)疲勞研究中[3]。1963 年Crandall 和Mark 首先將振動疲勞描述為一種不可逆的振動強度破壞，在振動載荷激勵下會累積損傷[4]。20 世紀70 年代末，姚啟航在我國首次提出了振動疲勞的概念[5]。2006 年，姚起杭和姚軍再次發(fā)表論文建議將結(jié)構(gòu)疲勞分為靜態(tài)疲勞和振動疲勞兩類問題進行研究[6]。目前國內(nèi)外對于振動疲勞已經(jīng)取得了很多研究成果，許多學者都對振動疲勞的定義做過描述，但學術(shù)界與工程界尚未對振動疲勞的理解達成共識。

2 振動疲勞分析國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

振動疲勞的分析方法包括時域法與頻域法。其中，傳統(tǒng)的時域方法為首先要確定研究對象結(jié)構(gòu)加載的時域載荷譜，通過有限元仿真軟件得到結(jié)構(gòu)時域響應。然后通過循環(huán)計數(shù)方法把時域應力響應提取峰值，并得到循環(huán)應力歷程。結(jié)合材料S-N 曲線與累積損傷理論計算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命。傳統(tǒng)的頻域法為確定結(jié)構(gòu)承受的隨機載荷譜，并通過傅立葉變換轉(zhuǎn)化成PSD 譜。然后在有限元軟件中分析得到結(jié)構(gòu)危險部位的PSD 譜，通過頻域疲勞模型計算得到損傷。最后，確定材料S-N 曲線，并將其結(jié)合Miner累積損傷理論對結(jié)構(gòu)的振動疲勞壽命進行預測。

我國雖然對振動疲勞研究起步較晚，但在近幾十年的研究發(fā)展中取得了很多成就。盧耀輝等[7-8]建立了全尺寸剛?cè)狁詈宪囕v動力學模型，獲得了轉(zhuǎn)向架框架受力位置的載荷-時間歷程，比較了轉(zhuǎn)向架在時域和頻域的振動響應。然后，基于轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)的動態(tài)設計方法和隨機載荷譜，采用模態(tài)疊加法結(jié)合Miner 法則和材料P-S-N 曲線，分析了振動模式對轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)疲勞損傷的影響。謝寧[9]以某高速列車中間車車體為例，在EN12663 車體強度評定準則的基礎上，結(jié)合該型車車體強度的計算特點，制定出高速車體靜強度計算工況，對其剛度及強度進行了計算與分析，并且對結(jié)果進行評判，得到該車體滿足標準中靜強度剛度要求。畢偉[10]對現(xiàn)有的軌道功率譜密度函數(shù)進行時域信號估計，通過建立車輛垂向系統(tǒng)動力學模型，計算了車輛系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)。然后與軌道功率譜密度函數(shù)相結(jié)合，計算車身垂直載荷功率譜，通過時頻域信號轉(zhuǎn)換得到車身載荷譜。根據(jù)高速列車的牽引制動特性，計算了車體的縱向載荷。最后計算車體模態(tài)，利用模態(tài)響應作為激勵，得到各節(jié)點的動態(tài)應力時程。將它們與Miner 的線性損傷累積理論相結(jié)合，得到了車身的損傷，從而比較分析了縱向載荷對車體疲勞損傷的影響。張醒[11]建立了高速列車單節(jié)車垂向多體系統(tǒng)動力學模型，采用模態(tài)疊加法計算了車體的疲勞損傷，分析了模態(tài)截斷誤差對模態(tài)疊加法計算車體疲勞損傷精度的影響。陽光武[12]等同時在頻域內(nèi)和時域內(nèi)對車輛關鍵部位的疲勞壽命進行了振動疲勞相關研究。屈升[13]建立了高速列車剛?cè)狁詈蟿恿W模型，根據(jù)動力學仿真得到車體載荷譜，計算了車輛在不同工況下關鍵位置的動應力，分析了不同工況對車體疲勞強度的影響。

通常從動態(tài)響應中獲得疲勞損傷有兩種方法。第一種方法是用RFC（雨流計數(shù)法）計算時間域內(nèi)隨機動態(tài)荷載的應力范圍?？梢栽谡麄€過程中計算相應的應力范圍，然后通過應力壽命（S-N）曲線和Miner 法則[14]計算疲勞損傷（Miner，1945）。這種形式的時域分析是已知最精確的方法，但這種方法最大的缺點是耗時。仿真時間應足夠長，以確保過程是平穩(wěn)和遍歷的，同時還需要很小的時間步長，以便從疲勞分析的角度提取峰值。這是因為疲勞損傷比FFT（快速傅立葉變換）隨機載荷再現(xiàn)對應力范圍更敏感。因此，確定合理的模擬時間和適當?shù)臅r間增量是正確確定應力范圍的關鍵。第二種方法是使用具有響應譜統(tǒng)計特征值的疲勞損傷模型、相關的S-N 曲線和Miners 規(guī)則來預測響應譜的疲勞損傷。相比于時域分析，頻域分析是一種更簡單、更快的方法。由于疲勞損傷模型是根據(jù)響應譜的假設或通過參數(shù)研究得到的經(jīng)驗值而建立的，因此疲勞損傷模型是否能對各種響應譜給出可靠的疲勞損傷預測，應通過可行性研究進行檢驗。

Fu D.和Wang W[15]對B 型地鐵車輛轉(zhuǎn)向架疲勞裂紋成因進行了研究。首先實測得到了車輛運行過程中轉(zhuǎn)向架構(gòu)架及軸箱處的加速度和應力響應，之后分別從時域和頻域角度對加速度及應力響應進行分析。Benasciutti D[16]對“從功率譜密度（PSD）數(shù)據(jù)估計多軸隨機載荷的疲勞損傷”的最新發(fā)展進行了研究，首先討論了多軸疲勞中時域和頻域方法的區(qū)別，指出了頻域方法的主要優(yōu)點。迄今為止，Gao和Moan[17]（2008）提出了名為三模態(tài)譜的模型，該模型基于與雙模模型相似的原理，需要Hermite 數(shù)值積分，而不是封閉式公式，且可以推廣到寬帶譜。為了系統(tǒng)地測試疲勞損傷模型，有必要使用理想化的頻譜公式。Lutes 和Larsen[18]（1990）提出了理想的雙模公式，包括兩種分離良好的峰譜以及Benasciutti and Tovo[19]（2005）提出的5 種類型的寬帶頻譜，并用于雙模譜和寬帶譜疲勞損傷模型的驗證試驗。

3 振動疲勞分析方法

時域內(nèi)振動疲勞分析的主要任務就是準確獲得結(jié)構(gòu)上各點的動應力時間歷程，仿真方法主要有線性疊加法、直接積分瞬態(tài)法、模態(tài)疊加法等。得到應力歷程后對其進行雨流計數(shù)，基于Miner 線性損傷累計理論即可得到損傷及壽命估計值。以高速列車車體為例，結(jié)構(gòu)振動疲勞評價方法流程如圖1 所示。

圖1 結(jié)構(gòu)振動疲勞評價方法流程

3.1 振動疲勞時域分析方法

3.1.1 線性疊加法

線性疊加法又稱準靜態(tài)疊加法，由于其理論簡單、實施方便，在工程上常采用該方法獲得結(jié)構(gòu)振動響應歷程。線性疊加法的基本思想為：結(jié)構(gòu)上各點的振動響應與載荷呈線性關系。即載荷譜（如力的時間歷程）與單位載荷作用下的準靜態(tài)響應影響因子（如應力）相乘疊加計算得到結(jié)構(gòu)振動響應歷程，可由式（1）表示。

式中：n 為載荷的個數(shù)；sj為準靜態(tài)應力影響因子，即在結(jié)構(gòu)上施加與第j 個載荷同位置同方向的單位載荷計算得到的應力值；Fj(t)為第j 個載荷的時間歷程。由于模態(tài)振型的正交性，結(jié)構(gòu)各階模態(tài)對結(jié)構(gòu)振動響應的影響必然是相互獨立的，因此可以考慮采用模態(tài)疊加法計算結(jié)構(gòu)動應力歷程。

3.1.2 模態(tài)疊加法

模態(tài)疊加法是一種常用的計算結(jié)構(gòu)部位瞬態(tài)響應的數(shù)值方法，通過模態(tài)振型矩陣，對系統(tǒng)的坐標進行變換，從而將系統(tǒng)從多自由度解耦成容易計算的單自由度方程，從而得到系統(tǒng)的應力響應。該方法的基本思想如下所述。

引入變換：

其中：

變換把結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)位移響應從以有限元網(wǎng)格節(jié)點位移為基向量n 維空間轉(zhuǎn)換到以固有振型為基向量的n 維空間。這里Φi看成廣義位移基向量，xi是廣義位移分量。

將上述變換代入運動方程：

等式兩邊左乘ΦT，便可得到新的向量空間內(nèi)的運動方程：

方程中所用的是振型阻尼矩陣，根據(jù)主振型的正交性得到：

其中iζ 定義為第i 階振型的阻尼比。因此方程（4）就解耦成n 個獨立的二階常微分方程：

通過這種方法可以求得對于每個振型而言，每個節(jié)點的位移分量，從而將這些位移進行疊加，便可以得到真實載荷的位移：

最后，代入運動方程（4）計算得出每個節(jié)點載荷。

3.1.3 直接積分瞬態(tài)法

使用直接積分法的兩個前提：將求解時間域0＜t＜T 內(nèi)任何時刻t 都滿足運動方程的要求降低為在相隔Δt 的離散時間點上滿足運動方程；在離散時間點之間的Δt 區(qū)域，對位移、速度、加速度進行假設。

直接積分法的時間離散化方程有顯式和隱式兩類，常用的顯式方法“中心差分法”的基本計算過程如下所述。

將某時刻的加速度和速度用中心差分表示：

t+Δt 時刻的位移解從t 時刻的運動方程建立：

將加速度和速度的差分格式代入上式，得到：

式（12）就是求離散時間點上位移解的遞推公式。

3.2 頻域振動疲勞分析方法

頻域振動疲勞研究中將結(jié)構(gòu)簡化為線性系統(tǒng)，通過頻域分析可求得結(jié)構(gòu)的應力響應功率譜密度函數(shù)，利用功率譜密度求得結(jié)構(gòu)危險點位置的疲勞累積損傷和疲勞壽命。對于一個具有復雜結(jié)構(gòu)的有限元模型，對模型進行頻域分析往往要比在時域中進行瞬態(tài)動力分析容易得多，從而減少了工程中的計算時間與精力。由于頻域分析的這一優(yōu)點，國內(nèi)外許多學者對頻域內(nèi)的振動疲勞進行了大量研究，取得了研究成果，下面對目前應用較為廣泛的幾種頻域方法進行介紹。

3.2.1 窄帶法

J·S·Bendat 首先提出應該從應力功率譜密度求疲勞壽命，特別是針對窄帶激勵。一個窄帶信號隨著帶寬的變小，峰值的概率密度函數(shù)趨于瑞利分布。Bendat 假定所有正的峰值與隨后跟著相同幅值負的谷值，相對應形成一個循環(huán)，所以幅值概率密度p(s)等于峰值概率密度p(sp)：

式中：σ 為應力均方根值。窄帶過程峰值期望率vp等于循環(huán)期望率 va，得到窄帶疲勞損傷：

3.2.2 Dirlik 法

由于寬帶高斯隨機應力過程的均值是穿越期望，與峰值期望不相等，通過雨流幅值概率密度函數(shù)太復雜，其概率密度沒有精確解。因此就有各種通過循環(huán)計數(shù)方法來對寬帶高斯隨機過程進行擬合，從而預測疲勞壽命。

Dirlik[20]使用Monte Carlo 方法進行計算機時域模擬，通過對70 多種不同形狀的功率譜密度函數(shù)研究，最后Dirlik 用兩個瑞利分布和一個指數(shù)分布來模擬雨流范圍概率密度函數(shù)：

式中：

式中：Q 為質(zhì)量因子（Dirlik 方法定義參數(shù)）；Z為歸一化幅值；D 為破壞強度（Dirlik 法定義參數(shù)）；R 也是Dirlik 方法定義參數(shù)；mi為功率譜密度第i 個矩；xm為平均頻率；s 為應力幅值；γ 為最大應力xm與抗拉強度之比。公式看似復雜，其實表達式的雨流范圍分布與PSD 的m0、m1、m2、m4譜矩相關，構(gòu)建簡單，在工程中非常實用。

通過Dirlik 幅值分布模型所得到的疲勞損傷為：

眾多學者認為Dirlik 法具有較高的可信度。Dirlik方法也有一些缺點：它是一種近似方法，不被任何理論框架支持；該雨流幅值分布模型忽略了平均應力的影響。

3.2.3 Zhao and Baker 法

該方法由Zhao 和Baker[21]于1992 得出，且該模型假設z 的雨流計數(shù)分布是一個威布爾加上一個瑞利分布概率密度函數(shù)的線性組合，如式（20）所示：

式中：α、β 為威布爾分布參數(shù)；w 為權(quán)重因數(shù)。

因此，最終的疲勞損傷DZB由式(23)計算得出：

式中：k 為S-N 曲線斜率。

3.2.4 Benasciutti and Tovo 法

該方法從一項研究開始的，該研究指出，高斯過程中的雨流計數(shù)損傷(E[DRFC])總是介于上邊界E[DNB]和下邊界E[DRC]之間，其關系如式（24）所示：

式中：E[DRC]為計數(shù)分布預期疲勞損傷；E[DNB]為窄帶法預期疲勞損傷。因此，根據(jù)式(25)假設雨流計數(shù)損傷為：

式中：E[DBT]為預期疲勞損傷；bBT為疲勞損傷修正因子。

對于不等式(24)的下界，Madsen[22]等人提出其近似結(jié)果為：

式中：m 為S-N 曲線負斜率。故以式(27)推算得最終疲勞損傷值為：

其中bBT由(28)得出：

在此之后，Benasciutti and Tovo 以式(29)提出了該方法添加加權(quán)因子的改進計算版本：

4 結(jié)語

振動疲勞目前研究分析方法主要分為時域分析方法與頻域分析方法，其中時域內(nèi)疲勞分析方法建立已趨于成熟完善（準靜態(tài)疊加法、模態(tài)疊加法、直接瞬態(tài)積分法）。由于時域疲勞分析容易理解，工程領域中廣泛使用時域法來進行疲勞分析。時域振動疲勞分析方法一般適用于剛度較大結(jié)構(gòu)，由于大剛度結(jié)構(gòu)整體振動響應較小，振動時結(jié)構(gòu)上各點應力與載荷近似成線性關系，采用準靜態(tài)疊加法很容易得到結(jié)構(gòu)上應力響應的時間歷程，對結(jié)果進行雨流計數(shù)結(jié)合材料疲勞特性即可得到結(jié)構(gòu)疲勞強度。由于工程裝備種類繁多，其面臨的工作環(huán)境復雜，相應的所處應力耦合場亦復雜多變，其結(jié)構(gòu)振動響應與復合載荷之間不再是線性關系。此外，時域法需要記錄設備下的長時間應力應變響應歷程數(shù)據(jù)，這就增加了試驗現(xiàn)場采樣時間與數(shù)據(jù)處理時間。

在這種情況下，從頻域描述激勵或響應的統(tǒng)計特征，建立疲勞損傷與統(tǒng)計特征的關系即頻域疲勞壽命計算方法，具有高效便捷的特點，能滿足大多數(shù)工程在產(chǎn)品設計階段預測疲勞壽命的要求，也可得到更精確的結(jié)果。由于頻域分析的這一優(yōu)點，國內(nèi)外許多學者對頻域內(nèi)的振動疲勞進行了大量研究，取得了研究成果。很多研究對比了不同頻域方法與試驗結(jié)果的一致性，通過對比Dirlik 方法，Zhao and Baker和Benasciutti and Tovo 方法用于頻域疲勞分析效果更好。

振動疲勞的分析方法繁多，就目前現(xiàn)狀而言，振動疲勞分析方法準確度依托于振動疲勞的試驗技術(shù)，如何建立規(guī)范的具有普適性的振動疲勞試驗方法對于未來開展振動疲勞研究有重要意義。

振動疲勞的意義在于可以發(fā)現(xiàn)有害模態(tài)，進而可以修改結(jié)構(gòu)剛度，改善結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，從而提高結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性。另一方面，可以采用減振和消振的措施，對結(jié)構(gòu)的響應進行改善，從而提高結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性。再者，可以對結(jié)構(gòu)的激勵特性進行改善，盡可能消除與結(jié)構(gòu)模態(tài)接近的激勵頻率成份或者減少此激勵的能量，使得結(jié)構(gòu)的可靠性提高。