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(1.云南水利水電職業(yè)學(xué)院，昆明 650499；2.昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650500)

Γ函數(shù)作為一種超越函數(shù)，在工程水文學(xué)中有著重要應(yīng)用，水文頻率計(jì)算和流域匯流計(jì)算中的P-Ⅲ型分布的概率密度函數(shù)和瞬時(shí)單位線都是用Γ函數(shù)來(lái)表示的。求解以上問(wèn)題時(shí)，需要求解Γ函數(shù)，多年來(lái)不同學(xué)者應(yīng)用不同的手段進(jìn)行求解，但始終沒(méi)有一種簡(jiǎn)單易行的方法；傳統(tǒng)的計(jì)算方法需要查相關(guān)表格進(jìn)行手工計(jì)算，但只能查到離散的數(shù)值，其他數(shù)值需要插值計(jì)算，這樣不僅增加了插值誤差，且計(jì)算量大，效率低下。Excel作為一款現(xiàn)代辦公運(yùn)用廣泛的軟件，在數(shù)據(jù)處理、分析計(jì)算和繪圖方面都有著強(qiáng)大的功能,在水文計(jì)算中運(yùn)用Excel能方便快捷地解決相關(guān)問(wèn)題。

1 Γ函數(shù)及Γ分布

Γ函數(shù)是用積分形式定義的超越函數(shù)，也叫歐拉第二積分，其表達(dá)式：

(1)

Γ分布是一種重要連續(xù)概率函數(shù)，其所包含的曲線形式較多、運(yùn)用廣泛，常用于可靠性理論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，“指數(shù)分布”和“χ2分布”都是Γ分布的特例[1]。其概率密度函數(shù)用Γ函數(shù)表示為：

(2)

式中，α為形狀參數(shù)，β為尺度參數(shù)，x是隨機(jī)變量。

2 Excel中GAMMA功能函數(shù)介紹

2.1 GAMMADIST函數(shù)的語(yǔ)法和用法

GAMMADIST函數(shù)的主要作用是返回Γ分布?？梢允褂么撕瘮?shù)來(lái)研究具有偏態(tài)分布的變量。

函數(shù)語(yǔ)法:

GAMMADIST(x,α,β,cumulative)

用法說(shuō)明：

x：計(jì)算Γ分布的數(shù)值;

α：形狀參數(shù);

β：尺度參數(shù)。當(dāng)β=1.0，函數(shù)GAMMADIST返回標(biāo)準(zhǔn)Γ分布。

Cumulative：為邏輯值，決定函數(shù)的形式。如果cumulative為TRUE，函數(shù)GAMMADIST返回累積分布函數(shù)；如果為FALSE，則返回概率密度函數(shù)。

2.2 GAMMAINV函數(shù)的語(yǔ)法和用法

GAMMAINV函數(shù)的主要作用是返回Γ累積分布函數(shù)的反函數(shù)。

函數(shù)語(yǔ)法:

If P=GAMMADIST(x,α,β,TRUE),then GAMMAINV(P,α,β)=x

用法說(shuō)明：

P：小于或等于變量x的Γ分布概率值;

α：形狀參數(shù);

β：尺度參數(shù)。當(dāng) 當(dāng)β=1.0，函數(shù) GAMMADINV返回標(biāo)準(zhǔn)Γ分布;

x：相應(yīng)概率P所對(duì)應(yīng)的變量值。

給定一個(gè)Γ累積分布函數(shù)概率值P,應(yīng)用GAMMAINV函數(shù)可計(jì)算出P=GAMMADIST(x,α,β,)中變量值x。但是GAMMAINV函數(shù)的計(jì)算精度取決于GAMMADIST的精度，GAMMAINV函數(shù)計(jì)算基于迭代搜索技術(shù)，如果搜索達(dá)100次還未收斂，則函數(shù)值返回錯(cuò)誤值。

3 水文計(jì)算中的Γ函數(shù)

3.1 P-Ⅲ型頻率曲線

P-Ⅲ型分布是我國(guó)在水文頻率計(jì)算中常用的方法。P-Ⅲ型曲線是一條一端有限一端無(wú)限的不對(duì)稱單峰曲線[3]，其概率密度函數(shù)為：

(3)

式中，形狀參數(shù)α,尺度參數(shù)β和位置參數(shù)α0。

水文頻率計(jì)算，需求出指定頻率P所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量xp的值，即需對(duì)概率密度函數(shù)進(jìn)行積分，則有：

(4)

計(jì)算時(shí)，直接對(duì)(4)式進(jìn)行積分非常困難，通常的做法是通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換：

(5)

將(4)式標(biāo)準(zhǔn)化為：

(6)

由此，把xp?P的對(duì)應(yīng)關(guān)系，轉(zhuǎn)換為Φp?P的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出指定P值對(duì)應(yīng)的Φp值，再通過(guò)(5)式即可得到xp?P的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即得到所求的頻率曲線。即使是標(biāo)準(zhǔn)變換后得到的(6)式積分仍無(wú)簡(jiǎn)易方法，通常是擬定Cs值,查Φ值表得出不同P對(duì)應(yīng)Φp的值，但查表計(jì)算效率低，已不能適應(yīng)現(xiàn)代電子化的工作環(huán)境。

3.1.1Φp值的計(jì)算

通過(guò)進(jìn)行中間變量t變換，對(duì)P-Ⅲ型分布進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使(4)式變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)Γ分布，其對(duì)應(yīng)的尺度參數(shù)：β=1.0。

令t=β(x-α0)，有：

(7)

(8)

此時(shí)，運(yùn)用Excel中GAMMAINV函數(shù)，由(7)(8)式，有

(9)

(10)

3.1.2優(yōu)選統(tǒng)計(jì)參數(shù)

運(yùn)用P-Ⅲ型分布時(shí)，通常用樣本矩估計(jì)總體，計(jì)算中的三個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)：

(11)

(12)

(13)

一般由式(13)計(jì)算所得的Cs值誤差較大，需要調(diào)整，使所求頻率曲線能較好地?cái)M合樣本數(shù)據(jù)。根據(jù)最小二乘法原理，運(yùn)用Excel軟件中線性回歸函數(shù)INTERCEPT、SLOPE，按以下步驟優(yōu)選參數(shù)：

2)將Pi，Cs帶入式(10)計(jì)算出率Φpi值，再通過(guò)式(5)即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的xpi。

3)按Cs=nCv關(guān)系調(diào)整Cs(根據(jù)我國(guó)絕大部分河流統(tǒng)Cs/Cv值在2～3倍的范圍，適當(dāng)放大取值范圍，n可取1.8～3.5)，替換第二步中的Cs值，計(jì)算出多組不同的Cs取值所對(duì)應(yīng)的xpi。

4)根據(jù)最小二乘法原理，查找滿足目標(biāo)函數(shù)∑(xi-xpi)2=min的Cs即為最優(yōu)。

3.1.3偏態(tài)系數(shù)Cs的不同情況說(shuō)明

1)一般當(dāng)Cs>0時(shí)，按上述方法計(jì)算；

2)繪制海森概率格紙時(shí)，即Cs=0時(shí)，改用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算；

3)當(dāng)擬合枯季流量或水位時(shí)常為負(fù)偏的序列，即Cs<0時(shí)，根據(jù)Γ函數(shù)性質(zhì)，導(dǎo)出Φ＇p(Cs,P)=-ΦP(-Cs,1-P)。

3.2 瞬時(shí)單位線

在區(qū)域洪水預(yù)報(bào)中，所采用的瞬時(shí)單位線法是納西于1957年提出，用一個(gè)不完全Γ分布函數(shù)表示一個(gè)單位地面凈雨在流域出口斷面形成的地面徑流過(guò)程線。其表達(dá)式為

(14)

式中，n——流域調(diào)蓄能力的參數(shù)，相當(dāng)于線性水庫(kù)的個(gè)數(shù);

K——線性水庫(kù)蓄泄系數(shù)，相當(dāng)于流域匯流時(shí)間的參數(shù)。

表1 地面洪水過(guò)程計(jì)算

實(shí)際的匯流計(jì)算中，通過(guò)將瞬時(shí)單位線轉(zhuǎn)換為瞬時(shí)單位線的積分曲線，其表達(dá)式為：

(15)

故△t時(shí)段內(nèi)單位線可表示為：

u(Δt,t)=S(t)-S(t-Δt)

(16)

流域面積F在時(shí)段Δt內(nèi)，凈雨深為10mm的時(shí)段單位線即可表示為：

(17)

最后再疊加各時(shí)段凈雨對(duì)應(yīng)的徑流過(guò)程，得地面洪水過(guò)程,即有：

(18)

式中，m——地面凈雨hsi的時(shí)段數(shù)

上述匯流計(jì)算中，S(t)曲線的求解，通常是查已制成的S(t)關(guān)系表。但同樣運(yùn)用Excel軟件中Γ偏態(tài)分布的GAMMADIST函數(shù)即可快速求解S(t)曲線,且能有效避免由于中間參數(shù)t/K增加的舍入誤差。故此，只需把GAMMADIST(x,α,β,cumulative)函數(shù)中參數(shù)x,α,β替換為數(shù)t/K，n，K,cumulative為TRUE，即可得瞬時(shí)單位線的積分曲線S(t)，由此，按式(16)(17)(18)即可進(jìn)行匯流計(jì)算。

4 算 例

以文獻(xiàn)[4]中例(5-2)為例。某流域面積F=184km2，流域調(diào)蓄能力參數(shù)n=1.5,線性水庫(kù)蓄泄系數(shù)K=6.6h，時(shí)段△t=3h，用Excel計(jì)算地面洪水過(guò)程及結(jié)果如表1所示。

5 結(jié) 語(yǔ)

(1)通過(guò)Excel軟件能夠高效地求解水文頻率計(jì)算和匯流計(jì)算中的Γ函數(shù)，改善了傳統(tǒng)手工查表的繁瑣計(jì)算工作，減小了計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差，使計(jì)算結(jié)果更加精確，更加適宜現(xiàn)代電子辦公化發(fā)展的需求。

(3)討論了頻率計(jì)算中偏態(tài)系數(shù)Cs特殊取值時(shí)的計(jì)算方法。