趙 輝，張 樂，劉瑩莉，張 靜，張?zhí)祢U

(1. 重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院 重慶 400065；2.重慶郵電大學(xué) 信號與信息處理重慶市重點實驗室 重慶 400065)

壓縮感知(Compressed Sensing，CS)是2006年提出的一種新的采樣技術(shù)，可以用低于奈奎斯特的采樣速率采樣信號，并且重構(gòu)信號精度高[1]。壓縮感知指出，在信號稀疏或在某個變換域是稀疏的前提下，首先利用稀疏基對信號進(jìn)行稀疏表示，再使用觀測矩陣將高維信號投影到低維空間得到觀測值，最后從少量觀測值中高概率地重構(gòu)出原始信號[2]。壓縮感知憑借其優(yōu)越的性能被廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)[3]、雷達(dá)[4]以及核磁共振[5]等領(lǐng)域。

壓縮感知觀測矩陣的作用是將測試信號投影成低維觀測信號，而觀測信號則直接影響了信號的精確重構(gòu)[6]。當(dāng)前對觀測矩陣的研究大致可以分為兩類：第1類是觀測矩陣的構(gòu)造。這類方法主要是從統(tǒng)計學(xué)角度討論矩陣是否滿足有限等距特性(Restricted Isometry Property，RIP)[7]或Spark性質(zhì)，但求解這兩個性質(zhì)都是非確定性多項式(Nop-deterministic Polynomia,NP)難問題，在實際應(yīng)用中并不適用；第2類是觀測矩陣的優(yōu)化。即構(gòu)造優(yōu)化模型時，先根據(jù)觀測矩陣和稀疏字典的內(nèi)積構(gòu)造格拉姆矩陣，再對該矩陣進(jìn)行優(yōu)化處理，最后反解出優(yōu)化后的觀測矩陣。這類算法以降低觀測矩陣和稀疏基的平均互相干性為目標(biāo)，來保證稀疏信號的精確重構(gòu)且算法復(fù)雜度較低。

文獻(xiàn)[8]提出用平均互相干系數(shù)代替相干系數(shù)來表示觀測矩陣與稀疏基的相關(guān)性，并通過線性收縮格拉姆矩陣中非對角元的絕對值大于固定閾值的方法減小相干性，實驗效果較好。但該算法在運(yùn)行過程中存在觀測矩陣的降階問題，且所采用的處理方法會產(chǎn)生絕對值較大的相關(guān)系數(shù)，影響算法的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9]用等角緊框架建立的凸集合作為設(shè)計矩陣，使用梯度下降方法逼近凸集合求得觀測矩陣，相比文獻(xiàn)[8]，由于引入等角緊框架，算法更加穩(wěn)定，但是梯度下降的步長需要根據(jù)經(jīng)驗確定，且步長因子的選擇對算法的影響較大。文獻(xiàn)[10]提出一種同時逼近等角緊框架和單位矩陣的模型，采用交替迭代算法求解，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但迭代次數(shù)較多。文獻(xiàn)[11]在給定稀疏基的前提下，約束格拉姆矩陣的對角線為1，設(shè)計矩陣取單位矩陣，并求出優(yōu)化模型的解析解，避免了梯度下降法迭代經(jīng)驗值步長的問題，提高了優(yōu)化算法的性能，但該算法對字典的依賴性較強(qiáng)，且單位矩陣是一種嚴(yán)格約束條件，不適合做逼近目標(biāo)。文獻(xiàn)[12]提出先構(gòu)造同時具有低相干性和緊致性的等角緊框架，再用感知矩陣逼近等角緊框架，最后用交替極小化方法求解，該算法雖然降低了平均相干性，但不適用于含噪信號，并且不能保證算法收斂于全局最優(yōu)，系統(tǒng)的魯棒性不強(qiáng)。

綜上，目前的觀測矩陣優(yōu)化算法雖然能夠降低觀測矩陣和稀疏基之間的平均互相干性，但存在優(yōu)化后觀測矩陣普適性低和算法魯棒性不足的問題。因此，針對以上問題，筆者提出一種新的觀測矩陣優(yōu)化算法。首先，通過觀測矩陣和稀疏基的內(nèi)積構(gòu)造格拉姆矩陣，并收縮其非對角元，根據(jù)格拉姆矩陣構(gòu)造符合要求的緊框架，將格拉姆矩陣同時逼近緊框架和單位矩陣，避免單位矩陣的嚴(yán)格約束問題，也降低了感知矩陣的平均互相干性；同時，考慮稀疏表示過程產(chǎn)生的誤差，將稀疏表示誤差作為正則項加入到優(yōu)化模型中，提高感知矩陣的魯棒性；最后，給出優(yōu)化后觀測矩陣的解析解，確保算法的收斂性。實驗結(jié)果表明，與幾種經(jīng)典算法相比，筆者所提算法有效地降低了平均互相干性和重構(gòu)誤差，并提高了感知矩陣的魯棒性。

1 基本理論

壓縮感知理論指出：設(shè)N維信號x是在稀疏基Ψ下的K稀疏信號x=Ψs，其中‖s‖0=K,K?N，CS使用M×N的觀測矩陣Φ=(φ1,φ2,…,φM)對其進(jìn)行采樣，得到觀測值y=(y1,y2,…,yM)，CS觀測過程可表示為

y=Φx=ΦΨs=Xs。

(1)

由于M?N，因此利用觀測值y重構(gòu)出信號x轉(zhuǎn)換成求解l0范數(shù)優(yōu)化問題：

(2)

求解式(2)是一個NP-hard問題，文獻(xiàn)[1]證明l0范數(shù)可以放寬到l1范數(shù)，求得近似解為

(3)

觀測矩陣的有限等距性和相關(guān)性為上述信號的重構(gòu)問題提供了理論保證，相關(guān)定義如下。

定義1若觀測矩陣Φ滿足參數(shù)為(K,δK)的有限等距特性[7]，0<δK<1，則對所有K稀疏信號x，下式成立：

(1-δK)‖x‖2≤‖Φx‖≤(1+δK)‖x‖2。

(4)

定義2觀測矩陣與稀疏基的相關(guān)系數(shù)以及平均互相干系數(shù)[8]的計算公式如下：

(5)

(6)

其中，Φi表示觀測矩陣的第i列，Ψj表示稀疏基矩陣的第j列，gij代表格拉姆矩陣(G=ΨTΦTΦΨ)第i行j列的值，閾值γ∈[0,1)。相關(guān)系數(shù)反映觀測矩陣和稀疏基之間列相關(guān)性的最大值，表示局部相關(guān)性；平均互相干系數(shù)反映絕對值大于或等于閾值的格拉姆矩陣非對角元絕對值的平均值，能夠更加客觀地評價觀測矩陣的整體相干性。

由定義2可知，互相關(guān)系數(shù)表征觀測矩陣和稀疏基的相似程度，理論上越小越好。文獻(xiàn)[13]給出了互相關(guān)系數(shù)的最小值，即韋爾奇界限μWelch的表達(dá)式為

(7)

其中,M為測量值的個數(shù)，L為感知矩陣的列數(shù)。

框架是基在概念上的一種冗余擴(kuò)展，目前常見的框架有Grassmannian框架、緊框架和等角緊框架。Grassmannian框架關(guān)注框架原子的相干性，緊框架關(guān)注框架的緊致性，等角緊框架兼具相干性和緊致性兩種屬性理應(yīng)受到廣泛應(yīng)用。但已經(jīng)證實，構(gòu)造Grassmannian框架和等角緊框架相當(dāng)困難，故文中構(gòu)造不受維度限制且易實現(xiàn)的緊框架。下面給出緊框架的定義。

定義3對任意矩陣A∈RM×L是α-緊框架的3個充要條件是：

(1)矩陣A的M個非零奇異值均為α1/2。

(2)ATA的M個非零特征值均為α。

(3)α1/2*A的行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的。

2 觀測矩陣優(yōu)化算法

2.1 構(gòu)造緊框架

(8)

2.2 觀測矩陣優(yōu)化模型

在優(yōu)化觀測矩陣過程中，為了保證重構(gòu)質(zhì)量，需要構(gòu)造與稀疏基相干性較低的觀測矩陣。一般情況，先構(gòu)造格拉姆矩陣G=ΨTΦTΦΨ，再通過優(yōu)化算法將格拉姆矩陣逼近于設(shè)計矩陣Gt來減小μav，具體模型如下：

(9)

在參考文獻(xiàn)[11，14-15]中，設(shè)計矩陣皆取單位矩陣，但單位矩陣是一種嚴(yán)格約束條件，不適合做單一的逼近目標(biāo)。文獻(xiàn)[11]中將格拉姆矩陣對角線元素約束為1，僅考慮對角線元素，并沒有減小感知矩陣的相干性。綜上，筆者所提方法將設(shè)計矩陣取單位矩陣，通過約束格拉姆矩陣非對角線元素來降低感知矩陣的平均互相干性，并保證相關(guān)系數(shù)盡可能小，結(jié)合2.1節(jié)構(gòu)造的緊框架，得到如下約束問題：

(10)

(11)

其中，α是拉格朗日乘子，也可稱為格拉姆矩陣同時逼近兩個設(shè)計矩陣的平衡參數(shù)。對式(11)化簡，得

(12)

(13)

2.3 基于稀疏表示誤差的觀測矩陣優(yōu)化模型

目前大多的觀測矩陣優(yōu)化算法假設(shè)原信號在給定字典下可以被絕對表示，但是在實際場景中，對于某些無法精確稀疏的信號存在稀疏表示誤差[16]。鑒于此，為了構(gòu)造魯棒的觀測矩陣，將稀疏表示誤差作為正則項加入到式(13)中，提出的基于緊框架與稀疏表示誤差的觀測矩陣優(yōu)化模型如下：

(14)

其中，E=X-ΨS，是稀疏表示誤差；X=[x1,x2,…,xP]，是測試信號；S=[s1,s2,…,sP]，是測試信號對應(yīng)的稀疏系數(shù)矩陣。式(14)是多變量優(yōu)化問題，可采用交替優(yōu)化求解Φ。求解算法如下。

基于緊框架和稀疏表示誤差的觀測矩陣優(yōu)化算法：

輸入：M×N維的高斯隨機(jī)矩陣Φ1，N×L維的稀疏基Ψ，平衡參數(shù)α和β，韋爾奇界限μWelch，交替迭代次數(shù)n。

初始化：迭代次數(shù)k=1

fork=1:ndo

②對Gk先進(jìn)行列歸一化，再用下式進(jìn)行收縮：

(15)

④根據(jù)式(14)更新觀測矩陣Φk。

⑤Φk+1=Φk。

end for

為了保證優(yōu)化算法的收斂性，下面重點研究如何求解式(14)。先對矩陣Ge進(jìn)行奇異值分解，即

Ge=VSVT=VS1/2(VS1/2)T=DDT，

(16)

其中，S∈RM×M,V∈RL×M,DT∈RM×L。式(14)可以化簡為

(17)

令Q=[β1/2Ψ(1-β)1/2E],R=[β1/2DT0],Q∈RN×(L+P),R∈RM×(L+P)，優(yōu)化問題可簡化為

(18)

式(18)可用梯度法求解，如果沒有選到合適的初始值，求解容易陷入局部最優(yōu)解。為了解決這個問題并保證所提算法的收斂性，文中求解式(18)的解析解，得到如下定理。

(19)

其中，RQ=RVQ=[R1R2],R1∈RM×rank(Q),Φ2∈RM×(N-rank(Q))。

證明：令ΦQ=ΦUQ=[Φ1Φ2],Φ1∈RM×rank(Q)，則

(20)

(21)

故化簡后得到Φ1最小值為

(22)

則式(18)的解析解為

(23)

證畢。

3 仿真分析

為了驗證文中算法的有效性，分別使用Elad優(yōu)化矩陣[8]、Li優(yōu)化矩陣[10]、Bai優(yōu)化矩陣[12]和文中算法優(yōu)化矩陣對比平均互相干系數(shù)、格拉姆矩陣非對角線元素直方圖以及不同優(yōu)化矩陣在正交匹配追蹤 (Orthogonal Matching Pursuit, OMP) 算法下的重構(gòu)誤差。所有實驗均在MATLAB R2014b環(huán)境下，硬件條件為Intel(R) Core(TM) i5-4590 CPU @3.30GHz，內(nèi)存為7.87GB下完成。

3.1 矩陣性能分析

該部分主要對比幾種優(yōu)化矩陣的相關(guān)系數(shù)和平均互相干系數(shù)，以及相關(guān)系數(shù)的分布。選擇初始觀測矩陣為高斯分布的隨機(jī)矩陣，固定稀疏基，對比隨機(jī)矩陣、Elad優(yōu)化矩陣、Li優(yōu)化矩陣、Bai優(yōu)化矩陣以及文中優(yōu)化矩陣性能。其中Elad優(yōu)化算法中收縮因子γ=0.95，閾值選t=0.4[8]；Bai優(yōu)化算法中平衡參數(shù)w=0.4[12]；筆者提出的優(yōu)化算法參數(shù)經(jīng)多次實驗后設(shè)置為：α=0.4,β=0.5，所有實驗算法均迭代1 000次。

表1 低維不同優(yōu)化矩陣相關(guān)性對比

注：表中黑體數(shù)字代表本行性能最優(yōu)。

表2 高維不同優(yōu)化矩陣相關(guān)性對比

注：表中黑體數(shù)字代表本行性能最優(yōu)。

圖1和圖2是格拉姆矩陣列歸一化后的非對角線元素絕對值的直方圖，橫軸代表非對角元絕對值的大小，縱軸代表非對角元的個數(shù)。從直方圖可以看出，所提優(yōu)化算法能大大減少感知矩陣中相關(guān)列的數(shù)目，在增加考慮稀疏表示誤差后，直方圖的值分布更為集中，并且減少了分布圖的拖尾，說明了考慮稀疏表示誤差后的優(yōu)化矩陣更魯棒。通過圖1、圖2的對比發(fā)現(xiàn)，在低維和高維觀測矩陣中，所提算法優(yōu)化效果均優(yōu)于同類算法。

圖1 低維優(yōu)化矩陣直方圖

圖2 高維優(yōu)化矩陣直方圖

圖3 μav隨迭代次數(shù)變化圖

在Elad優(yōu)化算法中，收縮因子γ值越小，算法收斂速度越快。文中對比所提算法與Elad算法驗證所提優(yōu)化算法收斂性，其中韋爾奇界限取μWelch={(120-25)/[25(120-1)]}1/2=0.18，Elad算法收縮因子γ分別取0.95，0.75，0.55。據(jù)實驗結(jié)果分析，文中算法的收斂速度快于Elad算法的γ=0.75，略慢于γ=0.55，但收斂后的平均互相干系數(shù)μav是小于Elad算法的。由此可知，文中算法的收斂效果是優(yōu)于Elad算法的。

3.2 重構(gòu)性能分析

(22)

其中,N=1 000，表示稀疏信號的組數(shù)。由文獻(xiàn)[17]知，當(dāng)相對誤差er大于一定門限值ρ∈(0,1)時，表示測試信號{sj}能夠成功恢復(fù)，此處設(shè)置ρ=0.01。

本部分實驗采用OMP重構(gòu)算法驗證各對比算法相對誤差er隨信號稀疏度K、觀測矩陣行數(shù)M以及稀疏基列數(shù)L的變化曲線。稀疏度K對算法的重構(gòu)性能有直接的影響。當(dāng)觀測次數(shù)已知時，稀疏度越高，相對誤差越大。圖4(a)中矩陣設(shè)置為：M=25，N=80，L=120，對于相同稀疏度，所提優(yōu)化算法相對誤差皆小于對比算法。圖4(b)中參數(shù)設(shè)置為：K=4,N=80,L=120，當(dāng)觀測值M>25時，相對誤差接近于零，信號能被精確重構(gòu)。圖4(c)中矩陣參數(shù)設(shè)置為：K=4,M=25,N=80，可以看到文中優(yōu)化算法誤差皆小于對比算法。

圖4 不同優(yōu)化算法下相對誤差er隨K,M,L的變化圖

4 結(jié)束語

觀測矩陣優(yōu)化是提高壓縮感知系統(tǒng)性能的關(guān)鍵。通過對觀測矩陣優(yōu)化問題進(jìn)行深入研究，提出一種能降低觀測矩陣和稀疏基矩陣間的相干性，同時能提高系統(tǒng)魯棒性的觀測矩陣優(yōu)化算法。該算法在傳統(tǒng)模型將格拉姆矩陣逼近單位矩陣的基礎(chǔ)上，同時逼近構(gòu)造的緊框架，以降低相干性，另外，考慮稀疏表示過程產(chǎn)生的誤差，進(jìn)一步優(yōu)化模型，并求出優(yōu)化算法的解析解。實驗結(jié)果表明，采用所提優(yōu)化算法，可以降低感知矩陣的平均互相干性，提高魯棒性，重構(gòu)誤差也小于各對比算法。在實際應(yīng)用中，所提觀測矩陣優(yōu)化算法確保了投影得到的低維觀測值能盡可能多地保留原始信號的能量，進(jìn)一步證實了所提算法的有效性。