畢思文，陳 浩，帥 通，李 娜

(1.中國電子科技集團公司航天信息應用技術(shù)重點實驗室，河北 石家莊 050081；2.中國科學院遙感與數(shù)字地球研究所，北京100101)

0 引言

數(shù)字圖像在成像和傳輸過程中，經(jīng)常會受到各種各樣的噪聲干擾[1]。為了使后期的圖像理解和圖像分割等操作更加有效，需要對受到噪聲干擾的圖像進行處理。

在圖像去噪方面，人們提出了許多圖像去噪算法，文獻[2] 提出基于Cycle Spinning的圖像自適應閾值去噪方法，該方法提高了去噪圖像峰值信噪比(PSNR)，降低了均方誤差(MSE)，去噪圖像清晰，獲得較好的視覺效果。 文獻[3]通過平穩(wěn)小波變換對圖像進行小波分解，對于子圖像的高頻區(qū)域進行閾值分割和雙邊濾波，利用平穩(wěn)小波更好的冗余性和平穩(wěn)不變性，更好地去除了SAR圖像的相干斑噪聲，實驗表明這種改進的去噪方法對SAR圖像的相干斑噪聲有很好的抑制效果。文獻[4]提出了一種新方法來濾除圖像中的云霧，結(jié)果表明，該算法優(yōu)于傳統(tǒng)濾波方法，且對于薄云圖像效果更佳。 文獻[5]在經(jīng)典小波閾值去噪算法的基礎上改進了閾值函數(shù)，提出了一種新的小波閾值去噪算法，實驗結(jié)果表明該算法提高了信號特征的可分離性，具有較高的實用價值。

小波分析是為了彌補短時傅里葉變換的不足而發(fā)展起來的一門應用數(shù)學學科[6]?；谛〔ǚ治龅娜ピ敕椒ㄗ钤缬蒑allat提出，他在1992年建立了小波變換快速算法，并將其運用在信號和圖像的分解和重構(gòu)中[7]。1999年，Kingsbury提出了雙樹復小波變換(Dual Tree Complex Wavelet Transform，DTCWT)，具有平移不變性，提供了6個方向的信息，因而具有較好的方向性和精確的相空間信息[8]。在DTCWT提出以后，有很多學者在基于雙樹復小波的去噪方法方面做了大量研究。文獻[9]提出了一種基于雙樹復小波變換和形態(tài)濾波的去噪算法。文獻[10]提出了一種基于非下采樣雙樹復小波域的圖像去噪算法，實驗表明該算法比經(jīng)典算法提高了一定的峰值信噪比，且有良好的視覺效果，較好地保持了圖像中的紋理特征。文獻[11]綜合考慮空域濾波和變換域濾波的優(yōu)點，提出了一種基于DTCWT和自適應窗的圖像去噪算法，將雙樹復小波變化和自適應橢圓窗口濾波相結(jié)合，考慮了小波分解的不同子帶具有不同的能量方向，以橢圓方向窗作為領域，獲得了比較好的去噪效果。但文獻[11]中使用的橢圓窗作為鄰域，系數(shù)估計時均需要采用橢圓模板進行匹配，所以算法運行時間較長、復雜度略高。

本文借鑒多量子位量子疊加態(tài)的測量坍縮原理，根據(jù)雙樹復小波較好的方向特性，以坍縮后的狀態(tài)作為鄰域計算小波系數(shù)方差，利用雙樹復小波提供的方向信息和量子疊加態(tài)的測量坍縮原理運用到圖像去噪中進一步去噪。實驗結(jié)果表明，本文提出的圖像去噪算法與文獻[11]的圖像去噪方法相比，去噪性能得到改善，運行時間明顯提升。

1 雙樹復小波變換

DTCWT變換可以通過兩對濾波器組同時作用在輸入數(shù)據(jù)上來實現(xiàn)。復小波可以表示為：

ψ(t)=ψr(t)+jψi(t)，

(1)

式中，Ψr(t)表示復小波的實部；Ψi(t)表示復小波的虛部。Ψr(t)，Ψi(t)都是實函數(shù)，因此，DTCWT可以表示為2個獨立的實小波變換，包含了2個平行的小波樹：樹a和樹b。DTCWT分解示意圖如圖1所示，樹a和樹b的疊加濾波器組分別表示復數(shù)小波變換的實部和虛部，↓2表示隔點采樣[12]。為了保證濾波器的沖擊響應對應于復小波變換系數(shù)的實部和虛部，采用2棵樹的濾波器長度分別為奇數(shù)和偶數(shù)且是線性相位?；驹砭褪抢靡粚崬V波樹，同時對輸入信號進行分解，產(chǎn)生小波系數(shù)的實部和虛部。

圖1 DT-CWT分解示意

二維的雙樹復小波實部與虛部小波系數(shù)能提取±15°，±45°，±75°六個方向的高頻信息，相對離散小波變換(Discrete Wavelet Transform，DWT)具有近似平移不變性、多方向選擇性、更高定位精度和計算效率等優(yōu)點[13]。相比之下，DWT在每個尺度上有3個小波子帶，只能反映出水平數(shù)豎直和對角方向。二維DT-CWT在空間域和在2-D平面內(nèi)(理想化的)表示出具有6個不同的角度DT-CWT小波如圖2所示。

圖2 DT-CWT的脈沖響應及在二維平面等效

2 量子疊加態(tài)的測量坍縮原理

2.1 態(tài)疊加原理

若|Ψ1〉是Hilbert空間中的一個矢量，|Ψ2〉是另外一個矢量，由態(tài)疊加原理可知：

|Ψ〉=c1|Ψ1〉+c2|Ψ2〉，

(2)

也是Hilbert空間中的一個矢量。其中c1，c2分別是狀態(tài)|Ψ1〉|Ψ2〉的概率幅。且滿足歸一化條件：

c12+c22=1。

(3)

所以若量子系統(tǒng)處在|Ψ1〉和|Ψ2〉描述態(tài)中，則式(2)的線性疊加態(tài)|Ψ〉也是該系統(tǒng)的一個可能態(tài)，這就是量子力學的態(tài)疊加原理[14]。量子比特[15](qubit)是量子信息理論中的一個重要概念，對一個具有2個基態(tài)的雙態(tài)量子系統(tǒng)[16]。若將2個基態(tài)分別記為|0〉和|1〉，記量子比特為：

|Ψq〉=a|0〉+b|1〉。

(4)

|Ψ〉= |Ψ(1)〉 |Ψ(2)〉…|Ψ(n)〉=

(5)

式中，|i〉表示第i個基態(tài)；ωi為基態(tài)|i〉的概率幅，滿足歸一化條件：

(6)

2.2 量子疊加態(tài)的測量坍縮

由量子力學第三假設可知，設測量算子由{Mm}描述，測量前量子系統(tǒng)的最新狀態(tài)是|Ψ〉，則測量后系統(tǒng)的狀態(tài)為[17]：

(7)

為了更好地理解量子測量坍縮原理，舉例如下：對于一個4×4的疊加態(tài)結(jié)構(gòu)元素(歸一化以后)，若另取一個4×4的陣列，將陣列中邊緣的最大的2個灰度值取為1，其余取值為0，則得到{Mm}，對應|iM〉=|0001000000001000〉，若用此測量算子Mm=|0001000000001000〉〈00010000000010000|對鄰域圖像進行測量，則鄰域圖像將坍縮到基態(tài)|iM〉，如圖3所示。

圖3 測量前和測量坍縮以后

由于圖像中不同點之間領域的特征不一樣，所以在不同移動點所得到的測量算子和測量后的坍縮態(tài)也不同[18]。以上就是雙樹復小波變換以后，計算+45°方向鄰域，其他方向類似。

3 本文提出的改進算法

3.1 算法模型

假設原始圖像被均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲污染，當在小波域通過小波變換系數(shù)進行去噪后采用以下模型：

Y(i，j)=X(i，j)+N(i，j)，

(8)

式中，Y(i，j)為含噪小波系數(shù)；X(i，j)為待估計的干凈小波系數(shù)；N(i，j)為噪聲小波系數(shù)。采用MAP預估器可表示為：

(9)

(10)

(11)

將式(10)帶入式(9)，并對其進行求導，令其導數(shù)為零可得：

(12)

式中，M為鄰域N中系數(shù)的個數(shù)。若已知圖像信號的方差分布，那么由最大后驗概率估計(Maximum A Posterior，MAP)可得：

(13)

式中，fσ(σ2)為圖像信號的方差分布。由式(13)推導可得：

(14)

3.2 算法流程

根據(jù)以上算法模型，本文去噪算法步驟如下：

① 對圖像進行雙樹復小波變換；

② 利用量子態(tài)疊加的測量坍縮原理，以4×4的陣列測量分解層；

③ 以坍縮后的鄰域用式(8)和式(11)計算λ；

④ 重復步驟②，然后利用式(13)估計雙樹復小波系數(shù)的方差；

⑤ 利用式(8)得到去噪以后的系數(shù)；

⑥ 雙樹復小波反變換，得到去噪后的圖像。

4 實驗驗證與分析

為了驗證本文所提算法的有效性，實驗中選用標準的512×512大小的8位灰度圖像作為實驗對象。實驗中，假定用均值為0、標準差分別為10，15，20高斯白噪聲污染，對測試圖像進行4層的下采樣雙樹復小波分解。在文獻[19]中指出，對包含了高斯噪聲的圖像進行3級小波分析，并對高斯噪聲小波系數(shù)的分布情況進行了統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)大約有96%的噪聲系數(shù)分布在最外2層的細尺度子帶中[20]。因此，對第二、第三和第四分解層，采用利用量子態(tài)疊加測量坍縮原理，選取4×4的陣列中四周最大的2個值取值為1，其他的取為0，以此作為雙樹復小波分解以后的主方向，并且在此方向上作為系數(shù)估計的鄰域。將本文所提算法和文獻[11]做比較(PSNR 和運行時間)。

實驗效果圖和文獻[11]的數(shù)據(jù)對比結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 2種去噪算法結(jié)果比較(Lena)

圖5 2種算法去噪結(jié)果比較(Barbara)

表 1 2種不同去噪方法得到的PSNR值比較

算法LenaBarbara1015202510152025平均運行時間/s文獻[11]算法30.528.627.325.633.230.228.826.27.6本文算法30.828.627.525.833.330.428.926.62.1

通過表1可以看出，利用本文所提算法得到的PSNR值比文獻[11]要略高，從處理以后的效果圖來看，本文所提算法有相同的抑制噪聲的能力，但由于本文所提算法將量子態(tài)疊加的測量坍縮原理與雙樹復小波變換相結(jié)合，將坍縮狀態(tài)作為計算子帶的方向窗，既利用了雙樹復小波變換的方向特性，同時避免了文獻[11]中每次系數(shù)估計時都要進行模板匹配的操作，因此，在運行時間上比文獻[11]有很大的提高。

5 結(jié)束語

本文將雙樹復小波變換和量子態(tài)疊加的測量坍縮原理相結(jié)合，利用雙樹復小波變換較好的方向特性和疊加態(tài)結(jié)構(gòu)元素在不同位置坍縮為不同大小和形狀的屬性，避免了方形結(jié)構(gòu)元素所不具備的方向性特性和橢圓結(jié)構(gòu)元素帶來的復雜性。通過實驗發(fā)現(xiàn)，將量子力學中的理論運用到圖像去噪中，大大提升了運行速度并驗證了本文算法的有效性。該算法雖然在運行時間上相對于其他方法有較高提升，但是在評價指標PSNR數(shù)據(jù)上的提高并不明顯，需要對算法進行優(yōu)化改進，仍有較大的提升空間。