陳文韜，封周權(quán)，陳政清，樊友權(quán)，牛華偉

(1.湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082； 2.湖南大學(xué) 風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點實驗室，長沙 410082； 3.株洲聯(lián)誠集團(tuán)控股股份有限公司，湖南 株洲 412001)

合理的懸掛系統(tǒng)是保證軌道車輛運行安全性、平穩(wěn)性和舒適性的前提，軌道車輛運行速度越快，對懸掛系統(tǒng)的要求越高。傳統(tǒng)的被動式彈簧-阻尼(Spring-Damper，SD)懸掛結(jié)構(gòu)只能基于彈簧和阻尼兩種單元進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，而且確定后不可調(diào)節(jié)，在尺寸限制和整車要求下性能提升效果有限[1]。雖然主動/半主動懸掛近年來發(fā)展迅速，一定程度上能夠?qū)崿F(xiàn)懸掛性能的提升，但由于技術(shù)復(fù)雜、成本高、響應(yīng)慢以及控制時滯等問題使其大規(guī)模實際應(yīng)用還有很長距離。因此，如何在傳統(tǒng)SD結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上提升懸掛系統(tǒng)減振性能成為人們面臨的現(xiàn)實問題。

慣容器的提出為懸掛系統(tǒng)性能提升提供了新的思路，Smith[2-3]從機電相似理論中首先提出慣容器的概念，構(gòu)建了幾種簡單的慣容器-彈簧-阻尼(Inerter-Spring-Damper，ISD)懸架結(jié)構(gòu)，并應(yīng)用于汽車和摩托車懸架，發(fā)現(xiàn)ISD懸掛具有更好的穩(wěn)定性和可控性。從此，慣容器在土木、汽車、艦船等工程領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用，并取得了很好的減隔振效果[4-7]。在軌道車輛懸掛方面，Wang等[8-10]將慣容器應(yīng)用于鐵路機車懸掛，采用傳遞函數(shù)法分析了ISD三元減振懸架結(jié)構(gòu)的可行性，研究表明機車的乘坐舒適性、動力性和穩(wěn)定性都得到了有效提升。Jason等[11-12]建立了基于慣容器的列車橫向和垂向二維模型，仿真分析發(fā)現(xiàn)ISD懸掛結(jié)構(gòu)能夠有效提升列車運行品質(zhì)，減小車體過曲線時的振動加速度和橫向位移。孫曉強等[13]建立了包含一系和二系懸掛的列車六自由度垂向動力學(xué)模型，采用粒子群算法對不同ISD懸掛結(jié)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行平穩(wěn)性優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)多數(shù)ISD結(jié)構(gòu)能有效提升列車平穩(wěn)性，但部分結(jié)構(gòu)反而會惡化懸掛系統(tǒng)的隔振性能。

上述研究的基本思路是列出橫向或者垂向振動耦合方程后，采用傳遞函數(shù)法或狀態(tài)空間方程法分析系統(tǒng)的性能。本文以一種基于滾珠絲杠式慣容器的軸向阻尼器[14]為對象，建立并聯(lián)ISD結(jié)構(gòu)懸掛系統(tǒng)垂向振動的簡化模型，從單自由度系統(tǒng)強迫振動理論出發(fā)，分析車輛懸掛質(zhì)量在輪軌激勵下引起的強迫振動情況，研究慣容器的引入對于懸掛系統(tǒng)振動響應(yīng)特性以及隔振效果的影響。

1 基于慣容器的軸向阻尼器工作原理

1.1 慣容器的工作原理

慣容器的概念是從機電相似理論中發(fā)展出來的，它被定義為一個兩端點元件，如圖1所示，理想慣容器所受到的力與兩端點的相對加速度成正比，比例系數(shù)稱為慣質(zhì)系數(shù)或者慣容：

F=b(a2-a1)

(1)

式中:F為慣容器兩端所受力;b為慣質(zhì)系數(shù)，其具有質(zhì)量的量綱;a2、a1為慣容器兩端的加速度。

圖1 慣容器示意圖

一般地，慣容器由傳動機構(gòu)、慣性機構(gòu)和端點三部分組成，如圖2所示，遵循的基本設(shè)計原理為具有兩個自由端點并且能夠放大慣性[15]。其中，慣容器的傳動機構(gòu)實際上是一種力放大機構(gòu)；慣性主要依靠飛輪的旋轉(zhuǎn)慣性或質(zhì)量的平動慣性。慣容器根據(jù)實現(xiàn)形式不同可以分為機械式和流體式兩大類，機械式主要有齒輪齒條式、滾珠絲杠式和扭轉(zhuǎn)式等；流體式主要有液壓活塞式、液壓泵式和液力式等。因此，慣容器的意義是能夠?qū)⒑苄〉男D(zhuǎn)或者平動質(zhì)量放大為成千上萬倍的慣性質(zhì)量。

圖2 慣容器設(shè)計基本原理

1.2 滾珠絲杠式軸向阻尼器工作原理

“慣容-彈簧-阻尼”機械系統(tǒng)與“電容-電感-電阻”電子系統(tǒng)之間實現(xiàn)了嚴(yán)格的對應(yīng)相似關(guān)系，理論上說慣容器的出現(xiàn)使得被動機械阻抗都可以通過慣容器、彈簧和阻尼3個元件組合來加以實現(xiàn)?？紤]到空間限制和集成化，人們提出了ISD 懸架一體化設(shè)計思路，即將慣容器和阻尼器設(shè)計為一體化的裝置。湖南大學(xué)陳政清團(tuán)隊發(fā)明了一種滾珠絲杠式電渦流阻尼器，如圖3所示，它實現(xiàn)了滾珠絲杠式慣容器、電渦流阻尼的并聯(lián)集成。通過滾珠絲杠的放大作用，它在結(jié)構(gòu)尺寸和阻尼性能上可達(dá)到現(xiàn)有油壓減振器的技術(shù)要求，具備實際工程應(yīng)用前景。因此若以此滾珠絲杠軸向阻尼器代替對應(yīng)的油壓減振器，即可構(gòu)建并聯(lián)ISD結(jié)構(gòu)。

圖3 基于滾珠絲杠式慣容器的電渦流阻尼器

根據(jù)滾珠絲杠副的工作原理可得到滾珠絲杠式慣容器的慣質(zhì)系數(shù)表達(dá)式為：

b=(2π/P)2J

(2)

式中:P為滾珠絲杠副的導(dǎo)程;J為旋轉(zhuǎn)部件的轉(zhuǎn)動慣量，它主要與轉(zhuǎn)子的材料、內(nèi)徑、厚度和長度等參數(shù)有關(guān)。因此，滾珠絲杠式慣容器的慣質(zhì)系數(shù)可以通過以上多個參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。

2 ISD懸掛結(jié)構(gòu)垂向振動模型

在運行過程中，車輪的運動軌跡是具有垂向和橫向分量的隨機分布曲線，這種隨機運動軌跡將對車輛懸掛系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)和隨機的激振力，經(jīng)過懸掛系統(tǒng)傳遞到簧上部分后，將引起簧上質(zhì)量(如轉(zhuǎn)向架、車體)的強迫振動，其頻率、幅值及其變化規(guī)律與車輛的結(jié)構(gòu)參數(shù)、激擾大小和運行速度有關(guān)。

2.1 ISD懸掛結(jié)構(gòu)的垂向振動簡化模型

據(jù)上文所述，無需改動其他結(jié)構(gòu)，只采用滾珠絲杠軸向阻尼器代替對應(yīng)的油壓減振器，即可構(gòu)建并聯(lián)ISD懸掛結(jié)構(gòu)，非常方便直接。為了研究此ISD懸掛結(jié)構(gòu)對車輛垂向振動的衰減作用，不考慮阻尼器和慣容器兩端彈性，我們建立了如圖4所示的簡化振動模型，從強迫振動理論出發(fā)，討論慣容器對強迫振動的影響。圖4中懸掛系統(tǒng)的簧上質(zhì)量為M，彈簧剛度為K，阻尼系數(shù)為C，慣容器的慣質(zhì)系數(shù)為b。強迫振動的激振力實際為隨機激振力，但它無法確定明確的表達(dá)式，需要通過實際測量形成軌道譜，而簡諧激勵是最基礎(chǔ)的激勵，其他激勵都可以換算成若干簡諧激勵的合成，在此將激振力設(shè)為簡諧激勵，表達(dá)式Z1=Asinωt。Z2為簧上質(zhì)量M在Z1激擾下的響應(yīng)。

圖4 列車垂向振動簡化模型

2.2 強迫振動理論模型

理論上，圖4模型的振動稱為第二類振動問題，即激振力不直接作用在質(zhì)量上，而是由于基礎(chǔ)或者支承振動并通過彈簧、阻尼、慣容器等傳遞引起的質(zhì)量振動。圖4所示模型按照牛頓第二運動定律或者達(dá)朗伯原理都可以得到以下的強迫振動方程：

-bAω2sinωt+CAωcosωt+KAsinωt

(3)

整理得到：

CAωcosωt+(KA-bAω2)sinωt

(4)

方程(4)與文獻(xiàn)[16]中支承運動引起的有阻尼強迫振動方程形式一致，差別在于二階微分處慣性力項的系數(shù)不同，而且方程右側(cè)增加了一個慣容器傳遞的激勵項。在此定義慣質(zhì)系數(shù)與簧上質(zhì)量的比值為一個無量綱系數(shù)μ，稱為質(zhì)量比；定義慣質(zhì)系數(shù)與簧上質(zhì)量的和為等效質(zhì)量M′，表達(dá)式如下：

μ=b/M

(5)

M′=M+b=M(1+μ)

(6)

由此，方程(4)可以進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：

(KA-μMAω2)sinωt=Bsin(ωt+φ)

(7)

(8)

(9)

方程式(7)是一個非齊次線性微分方程，它的解包括齊次方程的通解和非齊次方程的特解兩個部分，通解表現(xiàn)為有阻尼自由振動的瞬態(tài)響應(yīng)，將呈指數(shù)規(guī)律很快衰減下去；特解表現(xiàn)為強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，式(7)的穩(wěn)態(tài)解可采用待定系數(shù)法求解：

Z=ZAsin(ωt+φ-δ)

(10)

式中:ZA為強迫振動的振幅;δ為強迫振動響應(yīng)與激勵的相位差，代入求解可得：

(11)

(12)

此時，強迫振動振幅放大因子α、速度放大因子β和加速度放大因子γ的表達(dá)式為：

(13)

(14)

(15)

3 仿真分析

本文應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真分析，從幅頻特性、相頻特性出發(fā)，研究慣容器對懸掛系統(tǒng)性能的影響。根據(jù)上節(jié)理論分析可知，ISD懸掛結(jié)構(gòu)在簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等于激振頻率，相位滯后于激振力的簡諧振動，其振幅和相位差取決于懸掛系統(tǒng)本身的質(zhì)量、剛度、慣質(zhì)系數(shù)和阻尼性質(zhì)以及激振力的幅值和頻率。因此，軌道車輛一系懸掛和二系懸掛系統(tǒng)的垂向振動可以按照強迫振動理論分別求解，一系懸掛的輸出可作為二系懸掛的輸入，從而實現(xiàn)解耦分析。下面以一系懸掛為例進(jìn)行說明。

3.1 基于質(zhì)量比的響應(yīng)特性分析

本文以文獻(xiàn)[17]中表1所列的鐵路客車垂向模型參數(shù)作為參考，取一系懸掛系統(tǒng)的質(zhì)量M=2 500 kg，剛度K=5 000 kN/m，阻尼C=35.8 kN·s/m；設(shè)輪對承受簡諧激勵的頻率為ω=3 Hz，振幅取為A=5 mm；慣容器的慣質(zhì)系數(shù)b的取值按照(0～50%*M)選取，即μ=0～0.5。根據(jù)式(11)～(15)可得到如圖5～9所示的強迫振動振幅、相位差、振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子與質(zhì)量比之間的變化關(guān)系曲線，各圖中兩條曲線分別為SD結(jié)構(gòu)和并聯(lián)ISD結(jié)構(gòu)在相同簡諧激勵下的振動響應(yīng)。

圖5 振幅與質(zhì)量比的關(guān)系曲線

圖6 相位差與質(zhì)量比的關(guān)系曲線

圖7 振幅放大因子與質(zhì)量比的關(guān)系曲線

圖8 速度放大因子與質(zhì)量比的關(guān)系曲線

圖9 加速度放大因子與質(zhì)量比的關(guān)系曲線

首先，由圖6中曲線可知相位差均為負(fù)值且呈遞增的趨勢，但是相位差本身較小，一方面說明了強迫振動響應(yīng)比激振力有所滯后，另一方面說明慣容器可以減小這種滯后的相位差，慣容系數(shù)越大，相位差越小。

從圖5和圖7～9中可以看到，除了加速度放大因子在質(zhì)量比接近0.5時出現(xiàn)了惡化，總體來說，在0<μ<0.5時，相同簡諧激勵下ISD結(jié)構(gòu)強迫振動的振幅、振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子相比SD結(jié)構(gòu)都有所改善。從方程(4)中分析可知，這是因為慣容器一方面減小了傳遞到簧上質(zhì)量的激振力，另一方面還增加了振動方程的等效質(zhì)量。容易發(fā)現(xiàn)，ISD結(jié)構(gòu)的ZA-μ、α-μ、β-μ、γ-μ曲線均呈先減小后增大的趨勢，存在一個極小值點，在此稱其為極小值質(zhì)量比μei,i=Z,α,β,γ。因此，ISD結(jié)構(gòu)各響應(yīng)特性的最大衰減率為其極小值與SD結(jié)構(gòu)相應(yīng)特性值的比，從圖中分析ZA、α、β、γ最大衰減率可達(dá)98.15%、98.15%、97.96%和97.75%。

從圖中可以預(yù)見，隨著質(zhì)量比的增大，在極小值點右側(cè)的某個質(zhì)量比處，ISD結(jié)構(gòu)各響應(yīng)特性曲線將與SD結(jié)構(gòu)所示直線相交，大于此質(zhì)量比時這些特性參數(shù)將出現(xiàn)惡化，如圖9所示，因此稱其為臨界惡化質(zhì)量比μwi,i=Z,α,β,γ。當(dāng)0<μ<μwi時，ISD結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特性相對SD結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)不同程度的提升。

μei可通過式(11)、(13)、(14)、(15)分別對質(zhì)量比μ求導(dǎo)獲得；μwi可通過ISD結(jié)構(gòu)和SD結(jié)構(gòu)兩線相交點的值相等來求解。但是計算中發(fā)現(xiàn)，求解速度放大因子和加速度放大因子的μeβ、μeγ、μwβ、μwγ需要求解三次以上高階方程，難以得到解析解，而振幅和振幅放大因子的μeZ、μeα、μwZ、μwα可以得到解析解，如下所示：

(16)

(17)

從式(16)、(17)可知，μeZ、μeα、μwZ和μwα與頻率比λ和阻尼比ξ有關(guān)，容易發(fā)現(xiàn)，它們隨著阻尼比的增大而增大。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，上述算例中最大衰減率很大是因為此時的阻尼比較小。

3.2 ISD結(jié)構(gòu)質(zhì)量比的取值范圍分析

圖10～圖12描述了振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子在不同阻尼比與質(zhì)量比時的關(guān)系曲線，圖中的各條水平線表示質(zhì)量比等于零即SD結(jié)構(gòu)的值?？傮w來說，當(dāng)0<ξ<1時：① 振幅放大因子的μeα和μwα隨著阻尼比的增大而增大，與式(16)、(17)相符合，同時最大衰減率逐漸越??；② 速度放大因子的μeβ和μwβ也隨著阻尼比的增大而增大，增長幅度非常小，但衰減率減小很快；③ 加速度放大因子的μeγ和μwγ隨著阻尼比的增大呈先增后降趨勢，轉(zhuǎn)折點在ξ=0.35附近，而且當(dāng)ξ>0.8后，慣容器無法實現(xiàn)改善效果。

圖10 振幅放大因子與質(zhì)量比和阻尼比的關(guān)系

圖11 速度放大因子與質(zhì)量比和阻尼比的關(guān)系

一般地，阻尼比常用取值范圍為0.1<ξ<0.35，對比分析圖10～圖12發(fā)現(xiàn)，在這個范圍內(nèi)，當(dāng)質(zhì)量比μ<0.5時振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子都可以得到有效改善，而且，三種特性曲線的極小值質(zhì)量比μei均處于0.2～0.3范圍內(nèi)。因此，針對0.1<ξ<0.35取值范圍內(nèi)的ISD結(jié)構(gòu)，當(dāng)取0.2<μ<0.3時，減振性能可以達(dá)到最優(yōu)，計算可得此時α、β、γ的最大衰減率分別可達(dá)69.69%～36.27%、66.39%～27.39%、62.76%～18.71%，阻尼比越小，最大衰減率越大。

(a)

(b)

另外，從圖12中看到，在的所有取值范圍內(nèi)，各水平線所示的SD結(jié)構(gòu)的加速度放大因子均大于1；而當(dāng)ξ<0.2時，ISD結(jié)構(gòu)可使其加速度放大因子小于1，此時質(zhì)量比的適宜取值范圍為0.1<μ<0.3。對比圖10和圖11，發(fā)現(xiàn)ξ<0.2及0.1<μ<0.3時振幅放大因子和速度放大因子同樣處于極小值的小公差范圍內(nèi)，此時，ISD結(jié)構(gòu)振幅放大因子可小于0.3，速度放大因子可小于0.6，且加速度放大因子可小于1。

3.3 質(zhì)量比對懸掛系統(tǒng)隔振性能的影響

研究表明，共振是車輛平穩(wěn)性惡化的主要原因[18]。從隔振的角度說，車輛懸掛系統(tǒng)屬于被動隔振，目的是減小由于輪對振動傳遞到簧上質(zhì)量的位移，它的隔振效果采用位移傳遞率或者被動隔振系數(shù)來衡量，其大小和表達(dá)式與式(13)所示的振幅放大因子α一致。對于ISD結(jié)構(gòu)，令α=1時可得臨界頻率比為：

(18)

圖13為SD結(jié)構(gòu)和ISD結(jié)構(gòu)(μ=0.2)下振幅放大因子與頻率比在不同阻尼比時的關(guān)系。從圖13中可以看到：① 只有當(dāng)頻率比大于臨界頻率比λc時，才有隔振效果；② 在λc前后阻尼的作用效果相反，λ<λc時阻尼越大振動幅值越小，λ>λc時阻尼越大反而越不利；③ ISD結(jié)構(gòu)的臨界頻率比小于SD結(jié)構(gòu)，由式(18)可知，質(zhì)量比越大時臨界頻率比越?。虎?圖中垂直線為共振點的頻率比，可以看到ISD結(jié)構(gòu)的共振點頻率比小于SD結(jié)構(gòu)，根據(jù)式(13)可得共振點頻率比：

(19)

(a) μ=0

(b) μ=0.2

令阻尼比ξ=0.25，此時振幅放大因子與頻率比和質(zhì)量比的關(guān)系如圖14所示，其中水平面為α=1的平面。研究發(fā)現(xiàn)：① 從圖14中同樣可得到圖13中得出的結(jié)論。② ISD結(jié)構(gòu)的臨界頻率比λc與質(zhì)量比μ的關(guān)系正如圖中兩個曲面的相貫線所示，可以看到λc隨著μ逐漸減小。因此，同樣的臨界頻率比λc要求下，質(zhì)量比μ越大則簧上質(zhì)量M可以越小，因此慣容器的應(yīng)用有助于懸掛系統(tǒng)的輕量化。③ 圖14驗證了3.1節(jié)的分析，當(dāng)λ>λc時，任一頻率比μ下的α-μ曲線均呈先減小后增大的趨勢，存在極小值點μei，而且隨著頻率比λ的增大，μei越小。④ 從式(13)可知振幅放大因子經(jīng)過極小值處的頻率比后，不會一直增加，而是趨于一個小于1的值：

(19)

⑤ 圖14驗證了式(19)，共振點頻率比λrc隨質(zhì)量比μ的增大而減小，而且共振點處的振幅放大因子也隨之減小。⑥ 隨著質(zhì)量比μ的增大，共振區(qū)寬度也明顯減小。綜上所述，慣容器能夠減小臨界頻率比，也有助于減小共振區(qū)寬度和振幅，能夠增強隔振區(qū)域的隔振效果。

圖14 振幅放大因子與頻率比和質(zhì)量比關(guān)系

4 結(jié) 論

慣容器的提出為傳統(tǒng)的SD懸掛結(jié)構(gòu)性能提升帶來了新的突破方向，使得ISD懸掛結(jié)構(gòu)迅速成為了當(dāng)前的研究熱點。本文從單自由度系統(tǒng)強迫振動理論出發(fā)，建立了并聯(lián)ISD懸掛結(jié)構(gòu)的垂向振動簡化分析模型，并以此研究了慣容器的應(yīng)用對于懸掛系統(tǒng)的振動響應(yīng)特性以及隔振性能的影響。研究發(fā)現(xiàn)：

(1) ISD懸掛結(jié)構(gòu)在簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍是簡諧振動，其頻率、振幅和相位差取決于懸掛本身的質(zhì)量、剛度、慣質(zhì)系數(shù)和阻尼性質(zhì)以及激振力的幅值和頻率。因此，軌道車輛一系懸掛和二系懸掛的垂向振動可以按照強迫振動理論逐級地分別進(jìn)行分析，可實現(xiàn)多級懸掛結(jié)構(gòu)的解耦分析。

(2) 慣容器不僅可以減小傳遞到簧上質(zhì)量的振動激勵，而且增加了振動系統(tǒng)的等效質(zhì)量。當(dāng)頻率比大于臨界頻率比而質(zhì)量比小于臨界惡化質(zhì)量比時，相對于SD結(jié)構(gòu)，ISD結(jié)構(gòu)強迫振動的響應(yīng)特性參數(shù)都有很大改善；這些特性曲線相對質(zhì)量比均存在極小值點，并在此達(dá)到最大改善，改善程度與頻率比和阻尼比相關(guān)；同時，質(zhì)量比越大，ISD結(jié)構(gòu)的相位差越小。

(3) 文中分析了各響應(yīng)特性參數(shù)曲線的極小值質(zhì)量比以及臨界惡化質(zhì)量比的變化趨勢。在常用阻尼比0.1<ξ<0.35范圍內(nèi)，當(dāng)質(zhì)量比μ<0.5時振幅放大因子、速度放大因子和加速度放大因子都可以得到改善；而且三種特性曲線的極小值質(zhì)量比μei均處于0.2～0.3范圍內(nèi)，此時減振性能可以達(dá)到最優(yōu)。在此基礎(chǔ)上，分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)ξ<0.2及0.1<μ<0.3時，ISD結(jié)構(gòu)振幅放大因子可小于0.3，速度放大因子可小于0.6，且加速度放大因子可小于1。

(4) 慣容器能夠增強懸掛系統(tǒng)的隔振效果。文中推導(dǎo)了臨界頻率比、共振點頻率比與質(zhì)量比的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)質(zhì)量比越大，臨界頻率比、共振點頻率比越??；同時，共振點處的振幅放大因子以及共振區(qū)寬度也明顯減小。因此，ISD結(jié)構(gòu)可以在更小的頻率比即起到減隔振效果，而且減小了共振區(qū)的寬度和振幅，有助于懸掛系統(tǒng)的輕量化。