羅 驍，李立州，張新燕，張 珺，楊明磊，原梅妮

(1.中北大學 機電工程學院，太原 030051； 2.太原學院 數學系，太原 030001)

航空發(fā)動機中存在氣流導向的靜葉和對外做功的動葉，如圖1。當上下游葉片相對轉動時，上游葉片流場的尾流會使下游葉片表面氣動力產生周期性振蕩[1-3]，引起葉片強迫振動[4-6]，甚至導致葉片疲勞破壞[7]。因此研究上游尾流作用下葉片的氣動彈性振動對發(fā)動機設計有著重要的意義。

數值模擬方法是研究非定常流下葉片氣動彈性的主要方法，但其計算效率較低，工程應用不便[8-10]。氣動力降階模型(Reduced Order Model, ROM)是描述葉片氣動力特征的簡化數學模型[11-14]。近年來，氣動力降階模型發(fā)展迅速，并被廣泛用于葉片和機翼顫振[14-18]的研究。其中，常用諧波平衡法來描述時域和空間中的非線性周期性流場，并對其求解[15]。Ekici等[6]用諧波平衡方法研究了葉片顫振，認為該方法的結果與勢流理論的結果符合較好。Ashcroft等[18]用諧波平衡法研究了二維壓氣機葉柵在亞音速和跨音速條件下的顫振特性，發(fā)現諧波平衡法可以準確地預測葉柵的顫振。He[15]通過一階諧波法對葉柵周圍流場非定常流分離的情況進行了研究，準確的預測了葉柵的顫振。現有氣動力降階模型的研究集中在機翼和葉片的顫振方面，沒有涉及上游尾流激勵下葉片的振動。針對這一問題，本文基于諧波平衡法提出尾流激勵的葉片氣動力降階模型方法。對該氣動力降階模型方法的進一步研究發(fā)現：小擾動情況下尾流諧波引起的葉片氣動力諧波和尾流諧波的振幅比例系數只與尾流頻率有關?；谶@一發(fā)現，本文進一步提出基于諧波平衡法和影響系數法[19-20]的尾流激勵下的葉片氣動力快速分析方法。該方法首先得到葉片氣動力諧波振幅和尾流諧波振幅的比例系數；再擬合出這些比例系數與尾流諧波頻率的關系曲線；通過該曲線和氣動力降階模型快速計算葉片氣動力且不需要反復的CFD分析。

圖1 尾流作用下葉片流場

1 尾流激勵下的葉片氣動力快速分析方法

本文以二維葉片(見圖2)為例，介紹尾流激勵的葉片氣動力快速分析方法。設二維流場受上游尾流波動的持續(xù)激勵(見圖2)；上游尾流以恒定速度w在流場進口處移動，下游葉片流場隨上游尾流的移動而振蕩，使得整個葉片氣動力周期性振蕩。描述二維葉片周圍流場的動量方程為：

(1)

式中:u為x方向流速，v為y方向流速，p為壓力。

在進口x=x0處移動的尾流邊界條件可以用傅里葉級數表示為：

(2)

圖2 尾流激勵的葉片氣動力系統

1.1 基于諧波平衡法的氣動力降階模型方法

根據諧波平衡法線性化理論[1,10,15]，在小擾動情況下周期性尾流激勵的流場可以用傅里葉級數表示為：

(3)

將公式(3)代入公式(1)，按照文獻[1]整理可得諧波分量的振幅方程如下：

(4)

將公式(3)代入公式(2)，則在進口邊界上有：

(5)

(6)

在小擾動條件下，采用以上方法需要建立公式(4)和公式(5)進行繁瑣的求解。為簡化這一過程，本文基于以上方法的理論，借助CFD求解各頻率下葉片氣動力諧波振幅和尾流諧波振幅之間的關系建立氣動力降階模型。公式(6)中葉片氣動力與上游尾流同頻。由此，建立尾流激勵下的葉片氣動力降階模型如下(見圖3)：

① 通過傅里葉變換將尾流分解為不同頻率的尾流諧波。

圖3 氣動力降階模型方法

② 計算尾流傅里葉分解后定常狀態(tài)下的葉片氣動力。

③ 將各尾流諧波加載在CFD模型進口，獲得各尾流諧波引起的葉片氣動力諧波，并得到這些氣動力諧波的振幅。

④ 將③中的氣動力諧波的振幅代入公式(6)得到尾流引起的葉片氣動力。

1.2 基于影響系數法的葉片氣動力快速分析方法

上述尾流激勵的葉片氣動力降階模型只能計算給定頻率尾流下的葉片氣動力；一旦尾流的頻率發(fā)生改變，則需重新進行各頻率諧波下葉片氣動力的CFD計算。為此，本文對基于尾流激勵的葉片氣動力降階模型方法深入研究，發(fā)現尾流激勵下的葉片氣動力振幅與尾流振幅之間存在相互影響[19-20],進一步提出了尾流激勵的葉片氣動力快速分析方法。

(7)

(8)

基于這一想法，本文建立尾流激勵的葉片氣動力快速分析方法的步驟如下(見圖(4)：

1) 計算定常狀態(tài)下葉片氣動力穩(wěn)態(tài)值A0，B0，D0。

4) 擬合出3)中振幅比例系數與諧波頻率的關系曲線。

8) 將7)中的氣動力諧波振幅代入公式(6)，可獲得已知尾流激勵的葉片氣動力響應。

2 方法驗證

以上游尾流在進口的壓力波動為例驗證本文方法。流場CFD模型見圖5。葉片流場采用fluent求解，理想氣體，Spallart-Allmaras模型，無滑移壁面，穩(wěn)態(tài)進口總壓120 300 Pa，穩(wěn)態(tài)出口壓力為101 325 Pa，溫度為300 K。尾流以10 m/s的速度沿著進口y方向移動。

2.1 氣動力降階模型驗證

流場進口邊界壓力隨時間的變化見圖6實線。對該壓力進行傅里葉分解，取前7階波形，求得的傅里葉級數的系數見表1。用7階傅里葉級數擬合的尾流壓力波形見圖6虛線。

圖4 尾流激勵下的氣動力快速分析方法

圖5 流場CFD模型

按照前述氣動力降階模型方法，將表1中各頻率下的尾流諧波逐個加載到CFD模型進口，計算得到葉片氣動力各諧波振幅。計算結果見表2，將表2的氣動力振幅代入公式(6)，就可以得到尾流引起的葉片氣動力響應(見圖7虛線)。圖7(a)為尾流激勵的葉片升力，圖7(b)為葉片力矩，圖7(c)為葉片阻力。

表1 尾流傅里葉級數展開的系數和頻率

圖6 尾流波形及其傅立葉級數擬合

表2 葉片氣動力振幅

(a) 升力

(b) 力矩

(c) 阻力

為驗證降階模型的結果，用CFD模型計算了圖6尾流激勵下的葉片氣動力(見圖7實線)。從圖7可以看出：降階模型的結果與CFD的結果一致。由此可知，尾流激勵的葉片氣動力降階模型方法是可行的。

2.2 尾流激勵的葉片氣動力快速分析方法的驗證

將3.1節(jié)中得到的各葉片氣動力諧波振幅與尾流諧波分量的振幅相除，獲得各頻率kω對應的振幅比例系數,見表3。

擬合這些振幅比例系數與頻率kω的關系曲線(見圖8)。圖8(a)、圖8(b)和圖8(c)分別為升力、力矩和阻力振幅比例系數與頻率kω的關系曲線(見圖中實線)。圖8中“*”為樣本采樣點的葉片氣動力振幅比例系數。

表3 葉片氣動力諧波振幅與尾流諧波振幅的比例系數

Tab.3 The ratio between the amplitude of aerodynamic force of blade and the frequencies of wake harmonic

kkωAkp～kBkp～kDkp～k1314.4-0.08816-0.0011400.023442628.8-0.09009-0.0010690.020273943.2-0.09243-0.0009810.0164541257.6-0.09253-0.0008970.0138951572-0.08667-0.0008290.0147961886.4-0.07348-0.0007610.0178872200.8-0.05526-0.0006580.01994

(a) 升力振幅比例系數

(b) 力矩振幅比例系數

(c) 阻力振幅比例系數

為驗證尾流激勵的葉片氣動力快速分析模型方法和以上擬合曲線，計算一個尾流壓力波動下的葉片氣動力加以驗證。假設已知尾流壓力波為：

p=120 300+1 000cos(600t)+

1 000cos(1 200t)+1 000cos(1 500t)

表4 已知尾流各頻率對應的振幅比例系數

(a) 尾流p激勵下的葉片升力

(b) 尾流p激勵下的葉片力矩

(c) 尾流p激勵下的葉片阻力

從圖9中可知：用尾流激勵的葉片氣動力再降解模型方法計算得到的葉片氣動力結果與CFD結果一致。因此，本文提出的尾流激勵的葉片氣動力快速分析方法是可行的。且對于不同頻率的尾流該方法無需用CFD反復計算各諧波下葉片氣動力。

3 結 論

本文基于基于諧波平衡法建立了尾流激勵的葉片氣動力降階模型方法。算例結果表明：本文提出的尾流激勵的葉片氣動力降階模型方法可以快速計算尾流激勵下的葉片氣動力。

在該尾流激勵的葉片氣動力降階模型的公式推導過程中，發(fā)現小擾動情況下葉片氣動力諧波振幅與尾流諧波振幅的比例系數是關于尾流頻率函數?；诖?，本文進一步提出了尾流激勵的葉片氣動力再降階模型方法，且該方法無需反復的CFD氣動力計算。算例的結果表明：再降階模型方法可以準確估計任意尾流激勵下的葉片氣動力。