劉仲琳 ，冷永剛，劉進軍，范勝波

(天津大學(xué) 機械工程學(xué)院,天津 300350)

近年來，無限傳感器網(wǎng)絡(luò)、微電子技術(shù)的飛速發(fā)展，使得電子設(shè)備及其電路系統(tǒng)越來越微型化和低功耗化[1-2]。由于很多微型電子設(shè)備的能源動力主要是依靠電池方式供電，而電池存在自身電容量有限需要定期更換或充電等不利條件，因此電池成為微電子設(shè)備持續(xù)供能的主要缺陷。為了實現(xiàn)微電子設(shè)備長時間不間斷的供電，采用能夠吸收周圍環(huán)境能量的自供電裝置來取代傳統(tǒng)電池的方法受到廣泛的關(guān)注，并成為研究熱點，這種收集環(huán)境能量的系統(tǒng)就是能量采集系統(tǒng)或能量采集器[3-5]。

振動能是環(huán)境中普遍存在且獲取方便的一種能源，因為環(huán)境中的振動現(xiàn)象處處可見，所以振動能量采集方法成為自供能式電源研究的主要內(nèi)容之一。振動能量采集方式主要分為電容式、壓電式和電磁式。電容式能量采集因為結(jié)構(gòu)工藝復(fù)雜且能量采集效果低沒有被廣泛采用，而壓電式和電磁式的能量采集研究相對較多。壓電式能量采集器的結(jié)構(gòu)簡單，設(shè)計制造也方便，但其材料電阻高，輸出電流很小[6]。電磁式振動能量采集器相比前兩者所具有的優(yōu)勢是，質(zhì)量輕、體積小、感測頻率高、內(nèi)阻比壓電式的小、適用于各種惡劣的工作環(huán)境[7]。本文主要研究電磁式振動能量采集方式。

電磁式振動能量采集系統(tǒng)的工作機制是，利用環(huán)境中的振動使磁鐵和線圈發(fā)生相對運動，引起線圈磁通量變化而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，實現(xiàn)機電能量轉(zhuǎn)換，其通常的結(jié)構(gòu)是采用線圈和永磁體單向運動形式來改變磁通量并產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。Sato等[8]采用耦合分析法，研究了具有線性諧振特性的電磁式振動能量采集系統(tǒng)，該能量采集器只能在諧波共振激勵條件下達到較大的能量轉(zhuǎn)換。為了克服線性能量采集器只在諧振頻率有較好的能量采集效果的缺陷，非線性電磁式振動能量采集器的研究越來越受到關(guān)注。Mann等[9]研究的磁懸浮式振動能量采集器，是在一個特氟龍管子的上下兩端各固定一個永磁體，特氟龍管子內(nèi)有一個懸浮永磁體，在特氟龍管子外側(cè)繞制有上部銅線圈和底部銅線圈，中間永磁體的上下運動在銅線圈內(nèi)產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。這種振動能量采集器具有弱非線性單穩(wěn)特性，雖然能使懸浮永磁體在一個較寬的頻帶范圍內(nèi)進行較大幅度的振蕩響應(yīng)，但其機械阻尼的存在在一定程度上降低了能量采集效果。Sari等[10-11]把幾個懸臂梁串聯(lián)成懸臂梁陣列進行“離散式”寬頻帶振動能量采集，通過MEMS工藝加工出幾個長度不同的Parylene懸臂梁，線圈置于每個懸臂梁之上，永磁體正對懸臂梁陣列放置，在設(shè)定條件下獲得0.4 μW的輸出功率和10 mV的輸出電壓。Karami等[12]研究了一種雙穩(wěn)壓電—電磁感應(yīng)混合式振動能量采集器，這種能量采集器盡管可同時通過懸臂梁的雙穩(wěn)振蕩實現(xiàn)壓電效應(yīng)和電磁感應(yīng)的機電能量轉(zhuǎn)換，但是這種混合能量采集方式存在結(jié)構(gòu)優(yōu)化與最大機電轉(zhuǎn)換輸出間的折中選擇問題，因為壓電片會使結(jié)構(gòu)剛度增大而降低懸臂梁振動響應(yīng)幅度，除非增大結(jié)構(gòu)尺寸。即便混合轉(zhuǎn)換能量總輸出大于單項壓電或電磁感應(yīng)的轉(zhuǎn)換輸出，其后續(xù)電路的分攤損耗未必優(yōu)于單項壓電或電磁感應(yīng)的電路損耗。Deng等[13]單獨研究了雙穩(wěn)懸臂梁式電磁式振動能量采集方式，其外部兩個磁鐵的設(shè)置使系統(tǒng)顯得有些冗余，對于變化的環(huán)境激勵，兩個外部磁鐵間距以及懸臂梁磁鐵與外部磁鐵間距的優(yōu)化調(diào)節(jié)可能是一個比較棘手的問題。

上述非線性電磁式振動能量采集，特別是雙穩(wěn)能量采集主要研究了諧波振動激勵的機電能量轉(zhuǎn)換規(guī)律，而實際環(huán)境振動通常是具有寬頻帶特征的隨機振動。在寬帶隨機激勵下電磁式振動能量采集系統(tǒng)具有何種響應(yīng)特性，其機電能量轉(zhuǎn)換效果如何是一個值得探索的問題。本文以雙磁鐵非線性雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集系統(tǒng)為研究對象，采用磁化電流法分析非線性磁力，探索隨機激勵下雙穩(wěn)振動的磁場變化對感應(yīng)電動勢的影響規(guī)律，為非線性電磁式振動能量采集的實際應(yīng)用提供可行的研究方案和技術(shù)基礎(chǔ)。

1 雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集系統(tǒng)

1.1 雙穩(wěn)懸臂梁振動系統(tǒng)

雙穩(wěn)懸臂梁振動系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)和受力分析如圖1所示，系統(tǒng)包括基座G、懸臂梁C、懸臂梁末端磁鐵A和基座上固定的外部磁鐵B，兩磁鐵A和B完全相同，其中心距離為d且相互排斥。當(dāng)外部激勵P(t)引起基座振動時，由于非線性磁力的存在，懸臂梁C末端磁鐵A的振動可呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)振動特征[14]。圖1的雙穩(wěn)懸臂梁系統(tǒng)可簡化成典型的質(zhì)量彈簧阻尼模型，如圖2所示的等效模型。

1.2 雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集系統(tǒng)

以上述雙穩(wěn)懸臂梁振動系統(tǒng)為基礎(chǔ)，在系統(tǒng)中加入一線圈繞組，構(gòu)成雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集系統(tǒng)(簡稱雙穩(wěn)梁電磁系統(tǒng))，如圖3所示。線圈繞組由支撐板E固定在基座G上，外接負載R。線圈繞組空間中心O與磁鐵A中心距離為L。線圈繞組截面與兩磁鐵水平軸線正交垂直。這樣擺放線圈繞組位置，可使線圈截面相對磁鐵A產(chǎn)生最大的切割磁感線效果。其工作原理是：外界激勵P(t)通過基座G使懸臂梁C及其末端磁鐵A產(chǎn)生振動，末端磁鐵A與線圈產(chǎn)生相對運動，線圈截面內(nèi)的磁通量發(fā)生變化，由此產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，從而完成振動能量的采集與轉(zhuǎn)化。

圖1 雙穩(wěn)懸臂梁結(jié)構(gòu)及受力分析圖

圖2 雙穩(wěn)懸臂梁系統(tǒng)等效模型

圖3 雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集系統(tǒng)

2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析

2.1 雙穩(wěn)懸臂梁動力學(xué)建模

根據(jù)圖2的等效模型，由牛頓第二定律，可得到雙穩(wěn)梁電磁系統(tǒng)的雙穩(wěn)懸臂梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程為：

(1)

式中:Meq、ηeq、Keq分別為雙穩(wěn)懸臂梁結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量、等效阻尼、等效剛度。X(t)為懸臂梁和末端磁鐵等效質(zhì)量的振動響應(yīng)位移，P(t)前面的系數(shù)k為集總參數(shù)模型的幅值修正因子，F(xiàn)x為兩磁鐵A和B之間排斥磁力F在豎直方向上的分力。

Meq、ηeq、Keq可通過以下方程式(2)～(4)計算給出[15-17]：

Meq=M+33m/140

(2)

(3)

ηeq=2Meqξrωr

(4)

(5)

2.2 非線性磁力計算

采用磁化電流法[18]計算雙穩(wěn)梁電磁系統(tǒng)的兩磁鐵間非線性排斥力。根據(jù)磁化電流理論，處于磁場中的磁介質(zhì)，其材料的內(nèi)部和外部表面均會有宏觀的磁化電流產(chǎn)生。由于被均勻磁化的永磁體為線性各向同性介質(zhì)，因此其內(nèi)部磁化電流消失，于是磁場作用力只考慮表面磁化電流。

一般情況下，各向同性的磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強度可表示為：

B=μH

(6)

式中:H為磁場強度，μ為磁導(dǎo)率，是真空磁導(dǎo)率μ0與空氣的相對磁導(dǎo)率μr的乘積，即μ=μ0μr。這里空氣的相對磁導(dǎo)率μr取值為1，則磁感應(yīng)強度：

B=μ0H

(7)

雙穩(wěn)懸臂梁的振動響應(yīng)主要由其豎直方向上受到的磁力Fx決定，而根據(jù)向量乘法可知，磁力Fx與y軸方向的磁場強度有關(guān)，如圖4是兩磁鐵在水平位置的坐標(biāo)關(guān)系，e為兩磁鐵水平位置表面間距，lb是懸臂梁長度，lA、wA、hA是末端磁鐵A的長、寬、高。以磁鐵B的中心為坐標(biāo)原點，則末端磁鐵A受到磁鐵B在x軸方向上的磁力為其上下表面受到的磁力之和[18]：

Fx=μ0MAS(Hy2-Hy1)

(8)

式中:S為磁鐵A上(下)表面的面積，Hy1和Hy2分別表示磁鐵B在磁鐵A上下兩表面中心位置沿y軸方向上產(chǎn)生的磁場強度大小。

假設(shè)磁鐵B的磁化強度大小為MB，方向沿y軸正方向，則在空間坐標(biāo)一點(x,y,z)，磁鐵B在該點處產(chǎn)生的沿y軸正向的磁場強度表示為[19]：

(9)

圖4 兩磁鐵在水平位置時的尺寸結(jié)構(gòu)示意圖

考慮到雙穩(wěn)懸臂梁的振動會引起末端磁鐵A發(fā)生繞z軸轉(zhuǎn)動，可得更精確的磁力計算式：

(10)

式中：φ是考慮雙穩(wěn)懸臂梁振動產(chǎn)生彎曲時，磁鐵A的磁化強度MA方向與水平方向的夾角。

3.3 系統(tǒng)勢能函數(shù)

不考慮重力影響，系統(tǒng)的勢能包括懸臂梁的彈性勢能和磁力豎直分力Fx對磁鐵做的功，由此可得雙穩(wěn)梁電磁系統(tǒng)振動響應(yīng)在X=X0時刻位置的勢(能)函數(shù)為：

(11)

對式(11)進行積分計算，可給出勢函數(shù)V(X)隨磁鐵間距d的變化趨勢，如圖5所示，其中積分計算的參數(shù)選取自表1和表2?？梢钥闯?，當(dāng)磁鐵間距d很大時，磁鐵力的影響可忽略，系統(tǒng)實際為線性系統(tǒng)，其勢函數(shù)為單穩(wěn)，表現(xiàn)為只在原點處出現(xiàn)一個穩(wěn)定的平衡位置；隨著間距d的減小，系統(tǒng)由線性系統(tǒng)變成非線性系統(tǒng)，其勢函數(shù)由單穩(wěn)變?yōu)殡p穩(wěn)，即在兩個勢阱處出現(xiàn)兩個穩(wěn)定的平衡位置，而在原點處出現(xiàn)一個非穩(wěn)定平衡位置，且磁鐵間距d越小，勢阱越深。

圖5 勢函數(shù)V(X)隨磁鐵間距d和振動響應(yīng)X的變化

3 系統(tǒng)電磁感應(yīng)電動勢分析

3.1 電磁感應(yīng)電動勢定義

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知，線圈截面的磁感應(yīng)通量(簡稱磁通量)發(fā)生變化即可產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。而磁通量Φ表示磁感應(yīng)強度B對線圈截面的面積分，即磁場通過線圈截面的某個面積元ds的磁通量dΦ為

dΦ=Bcosθds

(12)

式中：θ是面積元ds的法線方向與磁場磁感應(yīng)強度B方向的夾角，那么對于通過任意曲面S的磁通量即為：

Φ=?(s)B·ds

(13)

于是根據(jù)磁通量的變化率可得感應(yīng)電動勢表達式為[20]：

(14)

式(14)中的負號表示感應(yīng)電動勢方向。

3.2 感應(yīng)電動勢的分析與計算

當(dāng)雙穩(wěn)梁電磁系統(tǒng)工作時，懸臂梁末端磁鐵A的運動引起線圈繞組中磁通量的變化，使得線圈繞組產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。由于懸臂梁任意時刻的振動位置都與其水平位置存在不同的轉(zhuǎn)角，導(dǎo)致其末端磁鐵A隨振動時刻發(fā)生轉(zhuǎn)角和位置的變化，因此線圈繞組中磁通量的變化隨磁鐵A的不同轉(zhuǎn)角和位置而不同，所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢也隨不同振動時刻而變化。

為了確定不同振動時刻線圈繞組因磁鐵A振動而引起磁通量和感應(yīng)電動勢的變化，參考圖4坐標(biāo)系，這里以磁鐵A的中心為絕對坐標(biāo)原點，建立磁鐵A與線圈繞組間的坐標(biāo)關(guān)系。當(dāng)末端磁鐵A振動時，磁鐵A在線圈繞組某一點處所產(chǎn)生的三坐標(biāo)磁感應(yīng)強度Bx、By、Bz分量中，因z軸方向上的磁感應(yīng)強度方向始終平行于線圈截面，故Bz對線圈中磁通量的變化沒有影響，所以只有x、y坐標(biāo)方向上的磁感應(yīng)強度才會對線圈繞組作用而產(chǎn)生電動勢。由式(14)可得該電動勢表達式為：

(15)

式中：φ是磁鐵A的磁化強度MA方向與水平方向的夾角。

根據(jù)式(7)并考慮線圈匝數(shù)N可得到感應(yīng)電動勢和磁場強度之間的關(guān)系：

(16)

由式(16)可知，感應(yīng)電動勢的大小與線圈垂直面的磁場強度變化的快慢成正比，而磁場強度變化的快慢又與懸臂梁的振動速度成比例，因此感應(yīng)電動勢與末端磁鐵A隨懸臂梁的振動速度成正比。

因以磁鐵A為中心的坐標(biāo)系隨磁鐵A的振動不斷發(fā)生變化，故線圈繞組相對磁鐵A也不斷發(fā)生位置移動，式(16)磁場強度可由式(9)得[19]：

(17)

(18)

3.3 線圈絕對坐標(biāo)計算

為了準確獲得運動坐標(biāo)系中線圈任意一點的絕對坐標(biāo)值，以懸臂梁從水平位置向上沿x軸方向振動至某一位置進行分析。因磁鐵的振動限制在x-y平面內(nèi)，故不考慮z坐標(biāo)值的變化。隨磁鐵A運動的坐標(biāo)系是一個相對坐標(biāo)系，其運動可看成平移和旋轉(zhuǎn)兩部分運動的合成。

當(dāng)懸臂梁帶動末端磁鐵A向上平移運動時，如圖6簡化示意圖，其末端磁鐵A中心點由原來水平位置平移至A′，原線圈中任意一點(x,y,z)的坐標(biāo)變?yōu)?x′,y′,z)或(x-x(i),y-y(i),z)，其中x(i)是末端磁鐵中心點在x軸方向的響應(yīng)位移，考慮懸臂梁形狀修正函數(shù)，由x(i)可算得末端磁鐵A中心點在y軸方向的位移[21]：

(19)

圖6 運動坐標(biāo)系平移變換示意圖

將A′點坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)φ角度到實際振動角度位置，如圖7所示，則線圈中任意一點坐標(biāo)(x′,y′,z)變?yōu)?x″,y″,z)或：

(x′cosφ+y′sinφ,y′cosφ-x′sinφ,z)

(20)

圖7 運動坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換示意圖

已知雙穩(wěn)懸臂梁振動產(chǎn)生彎曲時，磁鐵A的磁化強度MA方向與水平方向的夾角可由下式計算[21]：

(21)

根據(jù)位移響應(yīng)x(i)，聯(lián)立求解式(19)、(20)、(21)，可得原線圈中任意一點坐標(biāo)(x,y,z)相對于運動坐標(biāo)系的絕對坐標(biāo)(x″,y″,z)的值。

4 數(shù)值模擬

選取表1的一組材料及其屬性參數(shù)和表2的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)進行模擬計算分析，計算分析中需要的其他參數(shù)是：機械阻尼比ξr=0.017 8。依照這些參數(shù)，研究寬帶隨機激勵下雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集系統(tǒng)的特性。

表1 懸臂梁和磁鐵主要材料參數(shù)

表2 懸臂梁和磁鐵的主要幾何參數(shù)

4.1 雙穩(wěn)懸臂梁振動響應(yīng)特性

雙穩(wěn)梁電磁系統(tǒng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與懸臂梁的振動狀態(tài)密切相關(guān)，懸臂梁是否處于雙穩(wěn)躍遷的響應(yīng)狀態(tài)，將直接影響感應(yīng)電動勢的輸出效果。在不考慮線圈繞組阻抗的前提下，取激勵強度D=0.05和帶寬0～120 Hz的高斯白噪聲激勵P(t)，采用四階龍格庫塔法(Runge-Kutta)對方程(1)進行數(shù)值計算，對于不同磁鐵間距d，得到圖8磁鐵A位移響應(yīng)x(t)的時間波形及其相圖。

從圖8可知，存在一個合適的磁鐵間距d0=28 mm，可使磁鐵A的振動幅度達到雙穩(wěn)躍遷的大幅度響應(yīng)，而磁鐵間距小于d0(如d=18 mm)或大于d0(如d=50 mm)時，系統(tǒng)響應(yīng)將處于小幅振動響應(yīng)。不難理解，對一定強度帶寬的隨機激勵，合適的磁鐵間距可使雙穩(wěn)振動的電磁系統(tǒng)產(chǎn)生較大的感應(yīng)電動勢。

圖8 系統(tǒng)振動響應(yīng)時域圖(左列)及其相圖(右列)

4.2 雙穩(wěn)響應(yīng)的電磁感應(yīng)電動勢仿真計算

本文線圈繞組的截面形狀為正方形，其邊長為15 mm，線圈匝數(shù)N=40匝。將正方形線圈截面均分為10 000個微元(正方形)面積。

根據(jù)上節(jié)較優(yōu)磁鐵間距d0=28 mm處雙穩(wěn)振動位移響應(yīng)時間波形，并以其采樣間隔Δt=1 ms確定磁鐵A的不同時刻的振動位置，于是10 s的響應(yīng)解一共可確定10 000個磁鐵A的不同振動位置i，每一個位置對應(yīng)一個響應(yīng)x(i)。針對每個磁鐵A的振動位置，計算N匝線圈每個截面的10 000個微元面中心絕對坐標(biāo)值(x″,y″,z)處的磁場強度(Hx,Hy)，將這10 000N個磁場強度相加，便可得到線圈繞組在磁鐵A第i個振動位置響應(yīng)解x(i)的總的磁場強度。

將相鄰間隔Δt的兩磁場強度相減并除采樣間隔Δt，可近似得到磁鐵A的兩個相鄰振動位置x(i)和x(i+1)在整個線圈繞組中產(chǎn)生的磁場強度H的變化率：

(22)

10 000個x(i)響應(yīng)位置共可以求得9 999個相鄰的連續(xù)磁場變化率，于是可根據(jù)式(16)求得此雙磁鐵非線性雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集器產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢。為驗證感應(yīng)電動勢計算方法的正確性，根據(jù)磁場變化率與磁鐵A振動速度的正相關(guān)性，可將磁鐵A的位移響應(yīng)進行一次差分得到其振動速度，然后與感應(yīng)電動勢進行對比考察。圖9(a)是磁鐵間距d0=28 mm時磁鐵A的位移響應(yīng)，圖9(b)是其速度波形(位移的一次差分求得)，圖9(c)是感應(yīng)電動勢的時間波形?？芍?，圖9(c)線圈感應(yīng)電動勢與圖9(b)磁鐵A的速度的變化趨勢保持一致，說明感應(yīng)電動勢計算方法的正確性。

(a) 位移

(b) 速度

(c) 感應(yīng)電動勢

5 實驗驗證分析

5.1 實驗平臺

為了驗證理論分析和仿真結(jié)果，參照圖3設(shè)計制作了雙磁鐵非線性雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集系統(tǒng)實驗方案，其實驗結(jié)構(gòu)如圖10(a)所示。激振器振動方向始終與重力方向垂直(或與地面平行)，這樣可忽略實驗過程中懸臂梁與末端磁鐵的重力對實驗結(jié)果的影響。為了測量末端磁鐵A的位移響應(yīng)，系統(tǒng)中加入了激光位移傳感器如圖10(b)所示。實驗分析時，懸臂梁和磁鐵主要材料參數(shù)與表1一致，懸臂梁和磁鐵的主要幾何參數(shù)選自表2。整個實驗系統(tǒng)的設(shè)備主要由雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集器、信號發(fā)生器、功率放大器、激振器、加速度傳感器、數(shù)據(jù)采集器、激光位移傳感器系統(tǒng)和計算機組成，其實驗測試系統(tǒng)框架如圖11所示。加速度傳感器是用來測量激振器的振動強度，以保證多次試驗的振動強度一致。而激光位移傳感器主要用來測定末端磁鐵A的位移響應(yīng)。此外，感應(yīng)電動勢由NI PXI-1033數(shù)據(jù)采集儀中的電壓采集模塊測量。

(a) 雙穩(wěn)懸臂梁電磁式能量采集系統(tǒng)實驗結(jié)構(gòu)

(b) 附加激光位移傳感器

圖10

Fig.10 Electromagnetic vibration energy Harvester based on Bi-stable cantilever beam the experimental structure; laser displacement sensor

實驗中，首先在計算機中生成帶寬為0～120 Hz的隨機激勵數(shù)字信號，如圖12，然后通過USB接口輸入給信號發(fā)生器，再由信號發(fā)生器輸出，經(jīng)過功率放大器和激振器作用于電磁能量采集器上。激振器產(chǎn)生的激勵強度(加速度)、電磁能量采集器(負載)產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢、懸臂梁的位移由多通道數(shù)據(jù)采集器進行采集，并在計算機中進行分析。采樣頻率為1 000 Hz。線圈繞組匝數(shù)為40匝。激振器激振強度的加速度有效值保持在0.48 g左右。

(b) 頻域圖

5.2 實驗結(jié)果分析

當(dāng)實驗磁鐵間距d0=28 mm時，末端磁鐵A的位移響應(yīng)近似雙穩(wěn)狀態(tài)，如圖13所示。圖14(a) 、(b)是末端磁鐵A的位移響應(yīng)波形及其速度波形，該速度波形由位移波形數(shù)據(jù)的一次差分得到。實驗采集的線圈感應(yīng)電動勢如圖14(c)。由圖14(b)和(c) 可知，線圈感應(yīng)電動勢的大小與磁鐵A在x軸方向上的速度的變化趨勢保持一致，也表明與線圈垂直面的磁場強度變化的快慢成正比，這種結(jié)果與圖9的模擬結(jié)果一致。在表2幾何尺寸結(jié)構(gòu)下，僅40匝線圈繞組產(chǎn)生系統(tǒng)感應(yīng)電動勢的有效值即可達到1.1 mV，當(dāng)負載R為200 Ω時，其功率為6.05×10-6mW。

圖13 末端磁鐵A的相圖

(a) 位移

(b) 速度

(c) 線圈感應(yīng)電動勢

Fig.14 The experimental data of the center point of magnet A inxdirection, displacement，velocity and induced voltage

將實驗位移響應(yīng)數(shù)據(jù)代入式(16)進行模擬計算，得到線圈實際振動響應(yīng)數(shù)據(jù)的感應(yīng)電動勢模擬曲線，如圖15所示。比較圖14(c)和圖15可知，實驗與模擬得到的兩感應(yīng)電動勢曲線的變化趨勢完全一致，仿真感應(yīng)電動勢有效值為1.05 mV，與實際測得感應(yīng)電動勢相符，表明上述非線性磁力和磁場的分析以及懸臂梁動態(tài)響應(yīng)和感應(yīng)電動勢的計算是合理正確的，這種研究方法可有效預(yù)測評估雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集器的感應(yīng)電動勢。

圖15 實驗數(shù)據(jù)的模擬感應(yīng)電動勢

6 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種雙磁鐵非線性雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集器，通過數(shù)值模擬和實驗驗證得出的結(jié)論是：

(1) 將懸臂梁形狀修正函數(shù)、磁化電流理論引入動力學(xué)方程計算，得到了更精確的雙穩(wěn)響應(yīng)位移和感應(yīng)電動勢的模擬結(jié)果。

(2) 為了計算固定線圈繞組相對運動磁鐵坐標(biāo)系的坐標(biāo)，以運動的懸臂梁末端磁鐵中心為原點建立相對坐標(biāo)系，采用坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)方法，得到了線圈繞組的絕對坐標(biāo)值。

(3) 線圈感應(yīng)電動勢的變化趨勢與懸臂梁末端磁鐵速度的變化趨勢保持一致，表明線圈感應(yīng)電動勢與線圈垂直面的磁場強度變化率成正比。

(4) 以實驗數(shù)據(jù)為基準的感應(yīng)電動勢模擬計算結(jié)果，證明了本文非線性磁力和磁場的分析以及懸臂梁動態(tài)響應(yīng)和感應(yīng)電動勢的計算是合理正確的，為雙穩(wěn)懸臂梁電磁式振動能量采集器的感應(yīng)電動勢的有效預(yù)測評估提供了可行的研究方法。