賈 超，方宗德

(1.福州大學(xué) 機械工程及自動化學(xué)院，福州 350108； 2.西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院，西安 710072)

齒輪傳動是機械裝備的重要構(gòu)件之一，其設(shè)計和制造技術(shù)在一定程度上代表了一個國家的制造業(yè)水平。通過齒面修形來實現(xiàn)減振降噪在齒輪設(shè)計中始終占有重要地位。Litvin等[1]通過改變刀具齒廓和刀具與加工齒面之間的運動關(guān)系，得到修形齒面，并完成齒面接觸分析。Bruyère等[2]通過齒廓修形降低了窄齒面直齒輪的傳動誤差，并通過動態(tài)分析驗證了修形效果。Korta等[3]通過響應(yīng)面法對齒面進(jìn)行了優(yōu)化修形，降低了傳動誤差幅值和齒面接觸應(yīng)力。賈超等[4]完成了高速內(nèi)嚙合人字齒輪的多目標(biāo)優(yōu)化修形，齒面修形后，承載傳動誤差幅值下降，嚙入?yún)^(qū)和嚙出區(qū)閃溫降低，齒面載荷分布得到了改善。詹東安等[5]分析了高速齒輪傳動的特點和齒部修形原因，研究了高速齒輪齒部修形的設(shè)計原則與計算修形量的經(jīng)驗公式。Yuan等[6]研究了對角修形對斜齒輪系統(tǒng)的準(zhǔn)靜態(tài)及動態(tài)的影響。

關(guān)于齒輪傳動的減振降噪研究，其激勵分析是首要任務(wù)，多年以來已經(jīng)有許多關(guān)于激勵分析的文獻(xiàn)發(fā)表。大量的理論和試驗研究表明，齒輪傳動誤差和嚙合沖擊是首要激勵源，其它如齒側(cè)間隙、齒輪加工安裝誤差，以及齒面摩擦等，都是齒輪傳動中的激勵，而齒輪減振降噪技術(shù)就是通過減少激勵和降低響應(yīng)來抑制齒輪傳動中的振動，其中減少激勵是最根本的措施。實際上，齒側(cè)間隙和齒輪加工安裝誤差僅是引起振動改變的條件，如果沒有其它激勵則不會產(chǎn)生劇烈振動，例如齒輪加工安裝誤差產(chǎn)生附加的傳動誤差和嚙合沖擊往往使振動激勵增大；而側(cè)隙的存在則使振動產(chǎn)生非線性。齒面摩擦主要是由于在節(jié)線上發(fā)生摩擦力方向改變而導(dǎo)致激勵，在直齒輪傳動中有一定影響，而在斜齒輪和人字齒輪傳動中影響不明顯。傳動誤差和嚙合沖擊是齒輪振動最重要的激勵，齒面修形的直接目標(biāo)，就是減少傳動誤差和嚙合沖擊的激勵作用。王峰等[7-8]建立了考慮嚙入沖擊力的動力學(xué)模型，完成了多載荷工況下的人字齒輪傳動系統(tǒng)的振動特性分析。張金梅等[9]對考慮嚙入沖擊作用下減速器的振動和噪音進(jìn)行了分析。H?hn等[10]通過齒面修形減小了傳動誤差幅值，同時提高了嚙合效率。Munro等[11]完成了直齒輪對發(fā)生線外嚙合時的傳遞誤差的分析計算。Yu等[12]對齒輪嚙合過程中的線外嚙合這一現(xiàn)象進(jìn)行了描述，并分析了線外嚙合對嚙合剛度、靜態(tài)傳遞誤差，以及動態(tài)響應(yīng)的影響。Lin等[13]提出了一種關(guān)于齒輪對接觸沖擊的有限元方法，完成了動靜態(tài)接觸分析。典型的嚙合沖擊主要包括嚙入沖擊和嚙出沖擊，Seireg等[14]通過試驗驗證了嚙入沖擊的影響明顯比嚙出沖擊大，因此本文中主要考慮嚙入沖擊的影響。

通常，轉(zhuǎn)速在3 000 r/min、線速度在22 m/s(AGMA規(guī)定3 600 r/min、25.4 m/s)以上的齒輪傳動件被稱為高速齒輪。隨著工業(yè)發(fā)展，齒輪轉(zhuǎn)速越來越高，載荷越來越大，齒輪減振降噪和修形技術(shù)雖然不斷有所進(jìn)展，但還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足要求。例如高速航空齒輪，對其減振降噪始終有苛刻要求；艦船傳動中，尤其是潛艇動力傳動，其齒輪噪聲水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于先進(jìn)工業(yè)國家。因此，進(jìn)一步研究齒輪修形和減振降噪技術(shù)仍然具有重要的現(xiàn)實意義。為此，本文提出一種考慮了重合度影響的齒面修形方法，和基于TCA和LTCA的嚙入沖擊力計算方法，并建立了以沖擊力和ALTE為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化模型，并通過智能優(yōu)化算法，得到優(yōu)化修形量，最終的計算結(jié)果顯示，與傳統(tǒng)修形方法相比，文中提出的考慮了重合度影響的新修形方法能夠更有效的減小ALTE和嚙入沖擊力。

1 承載傳動誤差計算

通過TCA和LTCA可以得到接觸線離散點位置坐標(biāo)、接觸線載荷密度，以及輪齒法向位移Z等[15-16]，其中將輪齒法向位移Z轉(zhuǎn)化為嚙合線上位移，并用轉(zhuǎn)角表示即為承載傳動誤差(Loaded Transmission Error, LTE)。

LTE和ALTE可以表示如下：

(1)

式中：Te為承載傳動誤差；FALTE為承載傳動誤差波動幅值；rb、β分別為大輪基圓半徑和螺旋角。

2 嚙入沖擊力的計算

2.1 嚙入點位置的確定

嚙入沖擊力的計算關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求得嚙入點的位置。齒輪修形后，接觸區(qū)僅在部分齒面，此處以減速齒輪對為例進(jìn)行說明。輪齒進(jìn)入嚙合時，實際嚙入點并不是從大輪齒頂點開始，而是從齒面上某一點開始。本文中的嚙入點位置的求解，綜合考慮了齒面修形和輪齒負(fù)載變形的影響。在齒輪副負(fù)載傳動中，由于輪齒變形，如圖1(a)和(b)中所示，小輪齒對1對應(yīng)的基節(jié)變小，大輪齒對1對應(yīng)的基節(jié)變大，這會導(dǎo)致齒對2提前進(jìn)入嚙合。此時即將進(jìn)入嚙合的大輪輪齒的位置，可看作其在理論位置的基礎(chǔ)上退回了一個微小角度，該角度可通過LTCA技術(shù)計算得到，而此時即將進(jìn)入嚙合的小輪齒面的瞬時接觸點位置，可通過其齒面與上述大輪接觸分析獲得。圖2給出了嚙入沖擊示意圖。

1.負(fù)載1的LTE；2.負(fù)載2的LTE；3.負(fù)載3的LTE

(b) 新修形齒面實際嚙入點求解

(c) 齒面實際嚙入點示意圖

圖2 嚙入沖擊示意圖

通過TCA和LTCA技術(shù)，可以求得TE曲線和LTE曲線，如圖1(a)和(b)中所示。圖1(a)和(b)中，δ1為輪齒2在理論嚙入位置處對應(yīng)的TE，Δφ則為即將進(jìn)入嚙合的大輪輪齒在理論位置的基礎(chǔ)上退回的微小角度。圖1(c)中A0為理論嚙入位置，A1為實際嚙入位置。圖1(b)中的新修形方法將在小節(jié)3中詳細(xì)說明。

Δφ=Te-δ1

(2)

2.2 沖擊力的計算

通過小節(jié)2.1可以準(zhǔn)確計算初始嚙入點的位置，再根據(jù)TCA和LTCA可以計算兩齒面在該點的相對法向速度和嚙合剛度。

嚙合齒輪對的轉(zhuǎn)動慣量為：

(3)

將兩嚙合齒輪的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)化為瞬時嚙合線上的誘導(dǎo)質(zhì)量：

(4)

式(3)和(4)中：J1和J2分別為小輪和大輪的瞬時轉(zhuǎn)動慣量；b為齒寬；ρ為齒輪材料密度；rh1和rh2分別為兩齒輪輪轂內(nèi)孔半徑；rb1和rb2分別為大小輪的基圓半徑。

齒輪副嚙入沖擊點的沖擊動能為：

(5)

式中：vs為大小輪齒面在初始接觸點的相對法向速度。

由于沖擊作用，使得輪齒之間產(chǎn)生沖擊變形量δs，與之相對應(yīng)的沖擊力Fs則為最大沖擊力。根據(jù)沖擊力學(xué)理論[17]，沖擊動能Ek、最大變形δs以及最大沖擊力Fs之間有如下關(guān)系：

(6)

最終得到初始嚙入沖擊點的嚙入沖擊力表達(dá)式：

(7)

式中：Ks為大小輪齒面在初始接觸點的嚙合剛度。

3 修形齒面的構(gòu)造和齒面優(yōu)化修形

在文獻(xiàn)[4]中，作者對內(nèi)嚙合人字齒輪對中的小輪進(jìn)行了三維修形，本文中，將文獻(xiàn)[4]中的修形齒面構(gòu)造方法應(yīng)用在外嚙合斜齒輪對中。

圖3(a)為新修形方法中設(shè)定的齒廓修形曲線。由于篇幅所限，此處的新齒廓修形曲線的基本形狀設(shè)定方法，以重合度處于2和3之間的齒輪對為例來說明。對于重合度處于2和3之間的齒輪對，輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合，需要經(jīng)歷“三齒-兩齒-三齒-兩齒-三齒”的嚙合過程，在多數(shù)情況下，三齒嚙合區(qū)的輪齒負(fù)載變形小于兩齒嚙合區(qū)的負(fù)載變形，LTE呈現(xiàn)波動趨勢。為了跟蹤這種波動趨勢，實現(xiàn)補償LTE的目的，本文中的新修形將齒廓修形曲線設(shè)定為一六階拋物線。而當(dāng)齒輪重合度更大時，比如重合度處于3和4之間，則需要更高階的曲線，來獲得雙內(nèi)凹的修形曲線，來跟蹤更為頻繁的齒輪對數(shù)交替變化。

y=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6

(8)

(9)

圖3(b)和(c)分別為傳統(tǒng)的中凸齒廓和齒向修形曲線，都由兩段四階拋物線和一段直線組成。其中，y1和y2分別為齒根和齒頂?shù)淖畲笮扌瘟?；y3和y4分別為齒根和齒頂?shù)男扌伍L度；y5為齒向兩端最大修形量；y6為齒向不修形區(qū)域長度；H和B分別為有效齒高和齒長。

通過以上說明，可以發(fā)現(xiàn)，新修形方法和傳統(tǒng)中凸修形方法的主要區(qū)別在于齒廓修形曲線的不同。在新修形方法中，齒廓修形曲線為高階修形曲線，如圖3(a)中所示。而在傳統(tǒng)修形方法中，齒廓修形曲線由兩段四階拋物線和一段直線組成，如圖3(b)中所示。而對于齒向修形，新方法和傳統(tǒng)方法一樣，都為中凸修形，如圖3(c)所示。這是因為，齒向修形主要是用于減小誤差敏感性的，在這一方面，新修形和傳統(tǒng)修形是類似的。圖3(a)中的齒廓修形和圖3(c)中的齒向修形相結(jié)合，即為新三維修形。圖3(b)中的齒廓修形和圖3(c)中的齒向修形相結(jié)合, 即為傳統(tǒng)三維修形。

(a) 高階齒廓修形曲線(新修形)

(b) 四階齒廓修形(傳統(tǒng)修形)

(c) 四階齒向修形(新修形和傳統(tǒng)修形)

當(dāng)對齒面進(jìn)行優(yōu)化修形時，優(yōu)化模型可表示為：

優(yōu)化變量(新修形)：δ1、δ3、δ5、λ1、λ2、y5、y6

優(yōu)化變量(傳統(tǒng)修形)：y1、y2、y3、y4、y5、y6

目標(biāo)函數(shù)：

(10)

約束條件(新修形)：

(11a)

約束條件(傳統(tǒng)修形)：

(11b)

式中：本文算例δmin1、δmax1、δmin2、δmax2分別取為5 μm、30 μm、0.5 μm、5 μm，λmin和λmax分別取為0.2和0.8，lmin和lmax分別取為5 mm、70 mm，hmin和hmax分別取為0.5 mm、5.5 mm。

傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法是將多目標(biāo)乘以權(quán)重再線性相加，轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問題求解，往往存在主觀性強、局部最優(yōu)、各目標(biāo)相互制約等缺點。因此，本文中采用帶有精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-II)[18]，該算法采用快速非支配排序算法和擁擠距離比較算子，引入精英策略，降低了計算復(fù)雜度，適用于非線性多目標(biāo)優(yōu)化問題。

下面的算例中，遺傳算法的種群個數(shù)設(shè)為100，進(jìn)化代數(shù)設(shè)為50。

圖4 齒面修形優(yōu)化計算流程圖

4 算例與分析

本文中只對小輪修形。圖中的δφ2A為承載傳動誤差波動幅值，δφ2為承載傳動誤差，φ1為小輪轉(zhuǎn)角。

表1 齒輪副參數(shù)

圖5中給出了齒面基于傳統(tǒng)修形方法和新修形方法的優(yōu)化修形量。齒輪在嚙合過程中，輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合需要經(jīng)歷“三齒-兩齒-三齒-兩齒-三齒”的嚙合過程。如圖中所示，傳統(tǒng)修形方法未考慮輪齒嚙合過程中，齒輪對數(shù)交替轉(zhuǎn)換的影響，因此只在齒頂、齒根以及齒向兩側(cè)區(qū)域進(jìn)行修形，而在新修形方法中，考慮了這一影響，因此在齒面中間區(qū)域也有少量的修形，這將有助于提高齒輪的嚙合性能。圖6中給出了未修形齒面、傳統(tǒng)修形齒面，以及新修形齒面的ALTE對比。從圖6(a)可以發(fā)現(xiàn)，新修形方法比傳統(tǒng)修形方法顯然更能夠有效的減低ALTE，基于新修形方法，齒面修形后，ALTE下降百分比為69.7%，基于傳統(tǒng)修形方法，齒面修形后，ALTE下降百分比為28.1%。圖6(b)中給出了ALTE隨負(fù)載的變化，從圖中結(jié)果可以看出，新修形不僅僅在預(yù)設(shè)負(fù)載1 200 Nm時的ALTE最小，而且在一定的負(fù)載范圍內(nèi)，其ALTE都比傳統(tǒng)修形要小，此外，也可以發(fā)現(xiàn)，負(fù)載從1 000 Nm增大到1 200 Nm時，隨著負(fù)載增大，ALTE呈下降趨勢，在預(yù)設(shè)負(fù)載下，ALTE達(dá)到最小，然后，ALTE隨負(fù)載增大而隨之增大，這是因為在新修形方法中，考慮了重合度的影響，因此，新修形能夠準(zhǔn)確的跟蹤輪齒嚙合過程中的輪齒負(fù)載變形趨勢，能夠?qū)ζ溥M(jìn)行更有效的補償。

(a) 傳統(tǒng)修形

(b) 新修形

1.傳統(tǒng)修形：1.64;2.新修形:0.69;3.未修形：2.28

(b) ALTE隨負(fù)載的變化波動

圖7中給出了未修形齒面、傳統(tǒng)修形齒面和新修形齒面的TE，以及多載荷下的LTE。圖中的結(jié)果主要是為了獲得嚙入沖擊力計算中需要的微小滯后角度Δφ。Δφ越大，則嚙入點的相對速度越大。圖7(a)中為未修形齒面的TE和LTE，從圖中可以看到，未修形齒面的TE幾乎為零，LTE隨負(fù)載增大而增大，LTE反映的是輪齒變形，負(fù)載越大，輪齒變形越大，由于未修形齒面沒有TE對其進(jìn)行補償，因此，負(fù)載越大，被動輪滯后角度越大。圖7(b)中為傳統(tǒng)中凸修形齒面的TE和LTE，從圖中可以看出，由于傳統(tǒng)中凸齒面只在輪齒邊緣區(qū)域進(jìn)行修形，因此，后一對輪齒的TE很難對前一對輪齒的負(fù)載滯后進(jìn)行有效補償。圖7(c)中為考慮了齒輪重合度的新修形齒面的TE和LTE，從圖中可以看出，TE中的中凹部分有效的補償了前一對輪齒的負(fù)載滯后，這將有助于減小嚙入沖擊速度，進(jìn)而減小嚙入沖擊力。

(b) 傳統(tǒng)修形齒面ALTE隨負(fù)載的變化

(c) 新修形齒面ALTE隨負(fù)載的變化

圖8中給出了沖擊速度、沖擊剛度和沖擊力隨負(fù)載的變化趨勢。從圖8(a)中可以看出，沖擊速度隨負(fù)載的增大而增大。負(fù)載越大，輪齒的變形越大，后一對輪齒進(jìn)入嚙合時的基節(jié)誤差也越大，因此，在接觸點的相對速度也越大。圖8(b)給出了嚙入接觸點剛度隨負(fù)載的變化趨勢。齒面修形后，后一對輪齒進(jìn)入嚙合時，隨著負(fù)載增大，接觸點在小輪齒面上是往齒根方向移動的，在大輪齒面上是往齒頂方向移動的，直到達(dá)到大輪的齒頂點。因此，在這一過程中，修形齒面隨著負(fù)載增大，初次接觸點剛度是隨著負(fù)載增大而減小的。而對于未修形齒面，無論怎樣，后一對輪齒進(jìn)入嚙合時，總是從大輪的齒頂點開始的，隨著負(fù)載增大，基節(jié)誤差越大，后一對輪齒進(jìn)入嚙合時的初始接觸點位置，在小輪齒面上是從齒根往節(jié)線方向移動的，因此，未修形齒面的初始接觸點剛度是隨著負(fù)載增大而增大的。圖8(c)給出了嚙入沖擊力隨負(fù)載的變化趨勢。對比圖8(a)可以發(fā)現(xiàn)沖擊力隨負(fù)載的變化趨勢與沖擊速度隨負(fù)載的變化趨勢是一致的，都是隨著負(fù)載增大而增大的，從圖中的曲線變化趨勢，可以發(fā)現(xiàn)，沖擊速度對沖擊力的影響，顯然要比剛度對沖擊力的影響要大。

(a) 沖擊速度隨負(fù)載的變化波動

(b) 沖擊剛度隨負(fù)載的變化波動

(c) 沖擊力隨負(fù)載的變化波動對比

圖9給出了嚙入沖擊速度和沖擊力隨小輪轉(zhuǎn)速的變化趨勢，從圖中可以看出，隨著小輪轉(zhuǎn)速增大，沖擊速度和沖擊力呈線性增大趨勢。因此，尤其是高速齒輪，降低嚙入沖擊力，對其減振降噪是極其有意義的。同時可以看到，新修形齒面在嚙入點的沖擊速度比傳統(tǒng)修形齒面的要小，這是因為，新修形齒面的內(nèi)凹部分有效減弱了前一對嚙合輪齒的負(fù)載變形對后一對即將進(jìn)入嚙合的齒輪對的影響。同時從圖8(b)可以看出，傳統(tǒng)修形齒面和新修形齒面在嚙入點的剛度差別并不是很明顯。因此，相比于傳統(tǒng)修形齒面，新修形齒面的嚙入沖擊力大大降低。新修形除了能更有效的降低ALTE，也可以更有效的降低嚙入沖擊力。

(a) 沖擊速度隨小輪轉(zhuǎn)速的變化

(b) 沖擊力隨小輪轉(zhuǎn)速的變化

Fig.9 Variations of the mesh-in impact force with pinion rotation velocity, the output load is 1 200 Nm

5 結(jié) 論

承載傳動誤差波動和嚙入沖擊力是齒輪傳動中噪音和振動的主要激勵源。嚙入沖擊力受齒輪轉(zhuǎn)速影響較大，降低嚙入沖擊力對高速齒輪減振降噪是極其有意義的。根據(jù)文中的分析，可以得到以下結(jié)論：

(1) 齒輪轉(zhuǎn)動過程中，輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合，相接觸的輪齒對數(shù)是交替轉(zhuǎn)換的。文中提出的新修形方法，考慮了這一因素的影響，能夠更精確的跟蹤輪齒負(fù)載變形的趨勢，因此，更有效的降低了ALTE。

(2) 新修形方法在預(yù)設(shè)優(yōu)化負(fù)載下，以及預(yù)設(shè)負(fù)載附近的一定負(fù)載范圍內(nèi)，都能夠更有效的降低ALTE。

(3) 文中提出的嚙入沖擊力計算方法考慮了齒面修形和輪齒負(fù)載變形的影響，可以較準(zhǔn)確的計算未修形齒面和修形齒面的嚙入沖擊位置，進(jìn)而可以較準(zhǔn)確的得到嚙入沖擊力。

(4) 新修形齒面減小了由于輪齒負(fù)載變形而引起的基節(jié)偏差的影響，從而減小了在輪齒進(jìn)入嚙合的初始接觸點處的相對速度，因此，嚙入沖擊力比傳統(tǒng)修形齒面要小。

(5) 現(xiàn)代加工制造技術(shù)的提高為新設(shè)計的實現(xiàn)提供了一定保障，本文提出的新修形方法為高速齒輪減振降噪提供了一條新的途徑。