許貝貝，陳帝伊，李歡歡，閆懂林

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利水電科學(xué)研究院，西安 712100；2.西北農(nóng)林科技大學(xué) 中國旱區(qū)節(jié)水農(nóng)業(yè)研究院，西安 712100)

近年來，歐洲許多國家和俄羅斯等投入大量財(cái)力物力對(duì)服役多年水電站重建或改造以提高其服役年限和運(yùn)行性能[1]。顯然，隨時(shí)間流失，水電站各獨(dú)立子系統(tǒng)必然出現(xiàn)設(shè)備老化、機(jī)組振動(dòng)及噪聲變大、絕緣性變差等現(xiàn)象。從非線性動(dòng)力學(xué)角度講，可認(rèn)為由各獨(dú)立子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、性能參數(shù)等異變性引起水電站軸系振動(dòng)擺度惡化，即可等價(jià)于：水電站系統(tǒng)非線性動(dòng)力演變已成為水電站軸系振動(dòng)擺度惡化主要原因。

沖擊式水電站由壓力引水管道、水輪發(fā)電機(jī)組及其輔助設(shè)備構(gòu)成的具有復(fù)雜水機(jī)電磁耦合關(guān)系的復(fù)雜非線性系統(tǒng)[2-6]，其建模理論與方法的發(fā)展經(jīng)歷了從單一領(lǐng)域獨(dú)立分塊建模到多領(lǐng)域統(tǒng)一建模的發(fā)展階段：①各組成模塊動(dòng)力穩(wěn)定性研究迅速發(fā)展，形成較為成熟的單一領(lǐng)域分塊建模理論與方法[7-9]；在壓力引水管道方面，基于計(jì)算流體力學(xué)理論，重點(diǎn)研究引水管道內(nèi)部在恒定流狀態(tài)→非恒定流狀態(tài)→恒定流狀態(tài)過渡過程下壓力交替升降過程，即水擊過程。解析法、圖解法和數(shù)值解法是探求該過渡過程下壓力變化特征主要求解方法。目前，數(shù)值解法作為主流計(jì)算水擊方法，已被廣泛驗(yàn)證其正確性和實(shí)用性。在水輪發(fā)電機(jī)組方面，針對(duì)水輪機(jī)過渡過程動(dòng)態(tài)特性，可分為外特性法和內(nèi)特性法。外特性法，往往采用水力機(jī)組全特性曲線并聯(lián)立水輪發(fā)電機(jī)組運(yùn)動(dòng)方程式，通過推求過渡過程線求解水力機(jī)組各工況瞬變規(guī)律。內(nèi)特性法，采用水輪機(jī)構(gòu)造參數(shù)推求暫態(tài)過程下水輪機(jī)動(dòng)態(tài)力矩和水頭非線性方程，求解水力機(jī)組暫態(tài)工況下動(dòng)態(tài)力矩和水頭變化特征。針對(duì)水輪發(fā)電機(jī)組軸系，重點(diǎn)研究機(jī)組在水機(jī)電磁耦合作用下軸心軌跡等參數(shù)瞬態(tài)變化規(guī)律。目前，上述計(jì)算方法已被國內(nèi)外大部分學(xué)者采用。在機(jī)組輔助設(shè)備方面，分為機(jī)械和和電氣兩種類型，其目的為有效提高電網(wǎng)安全可靠性，其模型結(jié)構(gòu)可見參考文獻(xiàn)[6]。目前，兩種類型調(diào)速器成為國內(nèi)外各類水電站重要組成部分。②國內(nèi)外水力發(fā)電系統(tǒng)多領(lǐng)域統(tǒng)一建模理論與方法近年來有明顯進(jìn)展[10-19]；水力發(fā)電系統(tǒng)受水力、機(jī)械和電磁耦合因素影響，其統(tǒng)一建模體現(xiàn)為多領(lǐng)域及各學(xué)科交叉融合趨勢。

20世紀(jì)70年代前，分?jǐn)?shù)階微積分理論僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域純理論問題，其詳細(xì)發(fā)展歷史過程請(qǐng)參閱具體參考文獻(xiàn)[20-21]。1965年，美國耶魯大學(xué)Prof. Mandelbrot提出分形概念。自此以后，分?jǐn)?shù)階微積分理論被廣泛應(yīng)用于電氣工程、機(jī)械學(xué)、湍流、物理及控制理論、黏彈性動(dòng)力學(xué)和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)等，尤其是分?jǐn)?shù)階阻尼系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)研究，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分強(qiáng)大記憶特性使得其描述復(fù)雜系統(tǒng)非線性動(dòng)力演化過程更加真實(shí)、簡潔。Cao等[22]嘗試研究分?jǐn)?shù)階阻尼碰摩轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特征。Yan等[23]通過改進(jìn)傳統(tǒng)整數(shù)階黏彈性模型，提出履帶式車輛分?jǐn)?shù)階模型并從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證其有效性。劉鋮等[24]針對(duì)雙饋風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階自抗擾廣域阻尼控制器用以增強(qiáng)互聯(lián)網(wǎng)電網(wǎng)阻尼控制能力并驗(yàn)證方法的有效性。可見，考慮分?jǐn)?shù)階阻尼是水電站系統(tǒng)非線性動(dòng)力演化過程研究所必要的。

綜上所述，本文針對(duì)沖擊式水電站強(qiáng)非線性和多子系統(tǒng)耦合性，引入分?jǐn)?shù)階阻尼項(xiàng)，在考慮壓力引水管道、水輪發(fā)電機(jī)組和調(diào)速設(shè)備基礎(chǔ)上，建立沖擊式水電站分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)模型，研究分?jǐn)?shù)階階次、勵(lì)磁電流、上導(dǎo)軸承剛度、下導(dǎo)軸承剛度、水導(dǎo)軸承剛度和機(jī)組轉(zhuǎn)速參數(shù)值變化對(duì)機(jī)組軸心偏移、旋轉(zhuǎn)速度、噴針行程、水輪機(jī)流量和水頭的影響規(guī)律。

1 考慮分?jǐn)?shù)階阻尼沖擊式水電站模型

1.1 噴嘴流動(dòng)模型

沖擊式水輪機(jī)是按動(dòng)量定理工作的水力原動(dòng)機(jī)，壓力鋼管內(nèi)有壓流經(jīng)噴嘴噴入大氣之中，形成射流，進(jìn)而推動(dòng)水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪旋轉(zhuǎn)。本文通過對(duì)噴嘴模型進(jìn)行簡化，獲得結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 沖擊式水輪機(jī)噴嘴結(jié)構(gòu)模型

噴嘴流動(dòng)面積可寫為[8]

(1)

根據(jù)式(1)，沖擊式水輪機(jī)流量可表示為

(2)

式中：Q為噴嘴出射流量；V為射流速率；Sj為出射面積；κ為射流系數(shù)；Z為噴嘴數(shù)目；g為重力加速度；H為水輪機(jī)水頭。根據(jù)式(1)和(2)可得

(3)

式中：q為流量Q相對(duì)偏差值；h為水頭H相對(duì)偏差值。下角標(biāo)a和b分別表示噴針位置a和位置b。式(3)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(4)

1.2 壓力引水管道模型

引水管道水力損失為[7]

hq=h0-h

(5)

式中：h0為靜水頭；h為水輪機(jī)水頭。根據(jù)孔口出流原理，壓力引水管道出口處流量可表示為

(6)

式中：xr為額定負(fù)荷下主接力器位移標(biāo)幺值。

式(6)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(7)

根據(jù)式(5)和(6)，壓力引水管道模型可寫為

(8)

式中：Te為彈性時(shí)間常數(shù)；Zn為管道水力浪涌阻抗規(guī)格化值。

1.3 發(fā)電機(jī)負(fù)載與調(diào)速器模型

發(fā)電機(jī)負(fù)載動(dòng)態(tài)特性可描述為[7]

(9)

式中:Ta為水輪機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)部分慣性時(shí)間常數(shù)；Tb是負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)部分慣性時(shí)間常數(shù)，Tab=Ta+Tb；ω為機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；D為發(fā)電機(jī)阻尼系數(shù)。水輪機(jī)力矩mt采用IEEE Group提出的簡單非線性模型：mt=Ath(q-qnl)-Dtyω。

液壓隨動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性可表示為

(10)

式中:Ty為延遲時(shí)間常數(shù);kp、ki和kd分別為比例、積分和微分調(diào)節(jié)增益;s為指令信號(hào);y為導(dǎo)葉開度。

1.4 水輪發(fā)電機(jī)組軸系模型

通過考慮水力不平衡力重新構(gòu)建水輪機(jī)動(dòng)力矩與發(fā)電機(jī)角速度表達(dá)式，從而連接水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水輪發(fā)電機(jī)組軸系統(tǒng)模型。發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子在x方向和y方向受到分?jǐn)?shù)階阻尼力可描述為

(11)

式中:c為阻尼系數(shù);(x01,y01)為轉(zhuǎn)子軸心在x方向和y方向偏移量;α為分?jǐn)?shù)階階次。

機(jī)組軸系拉格朗日函數(shù)可表示為

L=T-U

(12)

式中:T為軸系動(dòng)能;U為軸系勢能。

根據(jù)公式(12)，系統(tǒng)方程可表示為

(13)

式中：MgB為發(fā)電機(jī)額定轉(zhuǎn)矩；Fx-ump和Fy-ump為x方向和y方向不平衡磁拉力；Fx和Fy為非線性油膜力；Fxf和Fyf為分?jǐn)?shù)階阻尼力；Fx-rub和Fy-rub為x和y方向碰摩力。不平衡磁拉力和非線性油膜力解析表達(dá)式見參考文獻(xiàn)[11]，碰摩力見參考文獻(xiàn)[15]。根據(jù)式(13)，系統(tǒng)方程為

(14)

式中：變量x1、x2、x3和x4為中間變量參數(shù)，并無實(shí)際物理意義(詳見參考文獻(xiàn)[5, 25])；變量vx01和vy01分別為轉(zhuǎn)子軸心在x方向和y方向變化速率；變量m1和m2分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪質(zhì)量；e1和e2分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪質(zhì)量偏心距；r為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪形心在水平方向距離；θ和φ分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)角；變量k1、k2和k3分別為上導(dǎo)軸承剛度、下導(dǎo)軸承剛度和水導(dǎo)軸承剛度值。

論文中包含四個(gè)子系統(tǒng)：壓力引水管道子系統(tǒng)、水輪機(jī)力矩及發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)、水輪發(fā)電機(jī)組軸系子系統(tǒng)和調(diào)速子系統(tǒng)。其中，壓力管道參數(shù)和噴嘴流量的耦合可用于水輪機(jī)入口處的流量q和水頭h，其詳細(xì)關(guān)系見公式(1)；壓力引水管道參數(shù)(公式(1))與軸系振動(dòng)方程(公式(3))通過水輪機(jī)力矩及發(fā)電機(jī)參數(shù)(公式(2))建立耦合關(guān)系，耦聯(lián)參數(shù)包括流量q、水頭h、導(dǎo)葉開度y、力矩mt和角速度ω。調(diào)速子系統(tǒng)通過發(fā)電機(jī)角速度與壓力引水管道參數(shù)建立耦合關(guān)系。四個(gè)參數(shù)詳細(xì)耦合關(guān)系如圖2所示，四個(gè)子系統(tǒng)模型參數(shù)耦合見公式(1)～(4)。

圖2 引水管道子系統(tǒng)、水輪機(jī)力矩及發(fā)電機(jī)子系統(tǒng)、水輪發(fā)電機(jī)組軸系子系統(tǒng)和調(diào)速子系統(tǒng)耦合關(guān)系

Fig.2 Coupling relationship of pressure penstock, hydro-turbine torque, generator, shafting, and governor

2 非線性動(dòng)力演化過程

分岔圖是系統(tǒng)狀態(tài)變量與異變參數(shù)構(gòu)成二維空間極限集隨參數(shù)變化圖形，反應(yīng)系統(tǒng)隨參數(shù)變化非線性動(dòng)力演化情況，故可用來表征沖擊式水電站軸系振動(dòng)擺度。本文采用冶勒水電站六噴嘴水輪發(fā)電機(jī)組參數(shù)：算例參數(shù)來自于冶勒水電站六噴嘴機(jī)組參數(shù)。其中，參數(shù)HB=580 m,Qb=23.5 m3/s,Z=6;κ=0.985;Zn=1.501 s;Te=0.515 5 s;g=9.81 m/s2;se=0.23 m;d1max=0.085 8 m來自于參考文獻(xiàn)[26]。參數(shù)m1=1.2×104kg;m2=2.1×105kg;e1=3×10-3m;Mgb=2.25×108N·m;J1=7.9×107;J2=3.5×107s;Tab=10 s來自于參考文獻(xiàn)[27]。根據(jù)參考文獻(xiàn)[28]，發(fā)電機(jī)阻尼系數(shù)D一般視為常數(shù)，取值在0～3范圍內(nèi)比較合理，故本文中取值D=0.5；s為參考輸入值，s=0。發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪形心在水平方向距離為估算值，r=0.000 02 m。PID三參數(shù)kp=1 s;ki=10 s;kd=3.5 s;均為估算值。轉(zhuǎn)輪質(zhì)量偏心也為估算值，e2=0.5×10-3m。變量k1、k2和k3分別為上導(dǎo)軸承剛度、下導(dǎo)軸承剛度和水導(dǎo)軸承剛度值。其值對(duì)軸系振動(dòng)擺度值影響很大，故文獻(xiàn)中在模型耦合壓力引水管道參數(shù)后，著重研究其值對(duì)軸系振動(dòng)擺度的影響規(guī)律。取值變化范圍(107，108)。在超過108值時(shí)，軸系振動(dòng)擺度發(fā)散，系統(tǒng)已不可控。系統(tǒng)初值為[x1,x2,x3,x4,x,ω,h,q,x01,y01,vx,vy,φ]T=[0.001,0.001,0.001,0.000 4,0.004,-7×10-9,0.001 34,0.001 021,0.000 001,0.000 001,0,0,0]T。

2.1 勵(lì)磁電流影響

本節(jié)研究不同分?jǐn)?shù)階階次下勵(lì)磁電流值異變對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力演化過程影響，如圖3所示。

圖3 不同分?jǐn)?shù)階階次下勵(lì)磁電流值異變對(duì)軸系振動(dòng)動(dòng)力演化影響

Fig.3 The shaft vibration versus the excitation current with different level of fractional order

從圖3可總結(jié)以下四方面結(jié)果：①不同分?jǐn)?shù)階階次下，系統(tǒng)動(dòng)力失穩(wěn)所對(duì)應(yīng)的閾值不同，但最終都會(huì)經(jīng)隨機(jī)振動(dòng)態(tài)進(jìn)入到不可控態(tài)；②分?jǐn)?shù)階階次取值不影響系統(tǒng)動(dòng)力演化方式，演化方式均是通過振動(dòng)態(tài)→隨機(jī)振動(dòng)態(tài)→不可控態(tài)；③勵(lì)磁電流對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)動(dòng)力演化過程影響很大，但從電站運(yùn)行角度，在勵(lì)磁電流異變值不超過閾值情況下，水電站軸系振動(dòng)擺度均滿足電站運(yùn)行要求；④隨勵(lì)磁電流逐漸增大，軸心偏移量增大，機(jī)組振動(dòng)增強(qiáng)，且影響程度很大，極易引發(fā)碰摩事故。振動(dòng)態(tài)進(jìn)入隨機(jī)振動(dòng)態(tài)閾值(定義閾值A(chǔ))隨分?jǐn)?shù)階階次變化情況如圖4(a)所示。隨機(jī)振動(dòng)態(tài)進(jìn)入不可調(diào)態(tài)閾值(定義閾值B)隨分?jǐn)?shù)階階次變化情況如圖4(b)所示。

觀察圖4，分?jǐn)?shù)階階次取值對(duì)閾值A(chǔ)影響不大，基本在740 A左右變化；分?jǐn)?shù)階階次取值對(duì)閾值B影響很大，整個(gè)變化范圍可延展至(750，2 750)A，且具有先突然增大后逐漸減小變化規(guī)律。

2.2 上導(dǎo)軸承剛度影響

本節(jié)研究不同分?jǐn)?shù)階階次下上導(dǎo)軸承剛度異變對(duì)軸系振動(dòng)動(dòng)力演化過程影響，如圖5所示。

觀察圖5，隨上導(dǎo)軸承剛度減小，機(jī)組振動(dòng)在維持一段時(shí)間等幅振蕩后，最終通過隨機(jī)振動(dòng)態(tài)進(jìn)入不可控態(tài)。當(dāng)α=1.00，閾值A(chǔ)所對(duì)應(yīng)上導(dǎo)軸承剛度值最大；當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次增加或減小，閾值A(chǔ)值均會(huì)減小。當(dāng)α取值小于0.9或大于1.1，系統(tǒng)動(dòng)力演化方式也發(fā)生了變化，出現(xiàn)由穩(wěn)定直線過渡到連續(xù)波動(dòng)狀態(tài)并逐漸進(jìn)入隨機(jī)振動(dòng)態(tài)趨勢。

(a) 周期振動(dòng)進(jìn)入點(diǎn)移動(dòng)情況

(b) 隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)入點(diǎn)移動(dòng)情況

圖4 不同分?jǐn)?shù)階階次下系統(tǒng)進(jìn)入振動(dòng)周期態(tài)和隨機(jī)振動(dòng)態(tài)所對(duì)應(yīng)勵(lì)磁電流值的移動(dòng)情況

Fig.4 The bifurcation points versus the excitation current with different level of fractional order

圖5 不同分?jǐn)?shù)階階次下上導(dǎo)軸承剛度異變對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力演化過程影響

Fig.5 The shaft vibration versus the stiffness of upper guide bearing with different level of fractional order

2.3 下導(dǎo)軸承剛度影響

本節(jié)研究不同分?jǐn)?shù)階階次下，下導(dǎo)軸承剛度異變對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力演化過程影響，如圖6所示。

觀察圖6，隨下導(dǎo)軸承剛度增加，改變分?jǐn)?shù)階階次對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力演化過程影響很大，但均以Hopf分岔形式失去穩(wěn)定。具體來說，α分別取0.75、1.20和1.25時(shí)，系統(tǒng)失穩(wěn)后均直接進(jìn)入隨機(jī)振動(dòng)態(tài)；α分別取0.80、0.85和1.15時(shí)，系統(tǒng)通過周期振蕩直接進(jìn)入大幅度隨機(jī)振動(dòng)態(tài)。當(dāng)α分別取0.90、0.95、1.00、1.05和1.10時(shí)，系統(tǒng)通過周期振蕩先進(jìn)入小幅度隨機(jī)振動(dòng)狀態(tài)，而后進(jìn)入大幅隨機(jī)振動(dòng)態(tài)。

圖6 不同分?jǐn)?shù)階階次下下導(dǎo)軸承剛度異變對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力演化過程影響

Fig.6 The shaft vibration versus the stiffness of lower guide bearing with different level of fractional order

2.4 水導(dǎo)軸承剛度影響

本節(jié)研究不同分?jǐn)?shù)階階次下，水導(dǎo)軸承剛度異變對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力演化過程影響，如圖7所示。

圖7 不同分?jǐn)?shù)階階次下水導(dǎo)軸承剛度異變對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力演化過程影響

Fig.7 The shaft vibration versus the stiffness of water guide bearing with different level of fractional order

水導(dǎo)軸承剛度變化和下導(dǎo)軸承剛度對(duì)系統(tǒng)軸系振動(dòng)擺度影響相似，這里不進(jìn)行詳細(xì)描述，主要介紹不同之處。在α=0.95時(shí)，隨水導(dǎo)軸承剛度增加，先出現(xiàn)Hopf分岔，接著進(jìn)入穩(wěn)定周期振蕩，進(jìn)而進(jìn)入一個(gè)小幅度隨機(jī)振動(dòng)態(tài)；α分別取值0.95、1.00和1.05時(shí)，系統(tǒng)在小幅度隨機(jī)振蕩后并未直接過渡到大幅度隨機(jī)振蕩態(tài)，而是進(jìn)入周期振蕩，最后由周期振蕩直接進(jìn)入大幅度隨機(jī)振蕩態(tài)。

2.5 發(fā)電機(jī)角速度軸心動(dòng)態(tài)演化過程

在機(jī)組發(fā)生故障后，很容易發(fā)生機(jī)組失速故障，機(jī)組轉(zhuǎn)速升高后會(huì)出現(xiàn)劇烈振動(dòng)行為。機(jī)組軸心軌跡圖可用于分析機(jī)組失速后動(dòng)力演化過程。圖8描述機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)角速度從0～850 rad/s變化軸心軌跡動(dòng)力演化過程。

(a) 0<ω<200

(b) 200<ω<700

(c) 700<ω<850

圖8 機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)角速度從0～850 rad/s變化軸心軌跡動(dòng)態(tài)演化過程

Fig.8 Dynamic evaluation of the center of the generator rotor when the generator speed changes in the interval (0, 850) rad/s

觀察圖8(a)，在0<ω<7 rad/s時(shí)，機(jī)組振動(dòng)幅值基本為0 m；在7<ω<44 rad/s時(shí)，機(jī)組振動(dòng)幅度隨轉(zhuǎn)速線性增加；在44<ω<55 rad/s時(shí)，振動(dòng)幅度基本保持不變，且在ω=55 rad/s轉(zhuǎn)速發(fā)生了跳躍現(xiàn)象；在55<ω<189 rad/s時(shí)，振動(dòng)幅度隨著轉(zhuǎn)速增加迅速增加，并在ω=189 rad/s達(dá)到該階段峰值；在189<ω<194 rad/s時(shí)，振動(dòng)幅度迅速衰減，振動(dòng)幅度減小，在194<ω<250 rad/s時(shí)，振動(dòng)幅度基本不變。觀察圖8(b)，在250<ω<269 rad/s時(shí)，振動(dòng)幅度基本不變；在269<ω<299 rad/s時(shí)，振動(dòng)幅度略有增加，且在ω=299 rad/s時(shí)出現(xiàn)跳躍式下降；在299<ω<343 rad/s時(shí)，振動(dòng)幅度先減小后趨于穩(wěn)定，且在ω=343 rad/s跳躍式上升，之后隨轉(zhuǎn)速升高振動(dòng)幅度先上升后下降；當(dāng)401<ω<603 rad/s時(shí)，隨轉(zhuǎn)動(dòng)角速度緩慢上升，振動(dòng)幅度緩慢上升趨勢；在517<ω<530 rad/s，振動(dòng)幅度先是跳躍式下降，緊接著出現(xiàn)跳躍式上升，且幅度大于之前幅度；在603<ω<700 rad/s時(shí)，振動(dòng)幅度也隨轉(zhuǎn)速增加緩慢增大。觀察圖8(c)，當(dāng)700<ω<850 rad/s時(shí)，機(jī)組振動(dòng)幅度剛開始緩慢增加，最后振幅迅速升高并達(dá)到最大值。

3 結(jié) 論

本文采用非線性動(dòng)力學(xué)方法探究水輪發(fā)電機(jī)組結(jié)構(gòu)參數(shù)異變性對(duì)沖擊式水電站軸系振動(dòng)擺度影響規(guī)律，得出如下結(jié)論：

(1) 分?jǐn)?shù)階階次值通過阻尼力響應(yīng)影響系統(tǒng)演化過程，對(duì)Hopf分岔影響不是很明顯，但對(duì)隨機(jī)振動(dòng)幅值有明顯影響。

(2) 上導(dǎo)軸承、下導(dǎo)軸承和水導(dǎo)軸承剛度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有著明顯影響；不同分?jǐn)?shù)階次下系統(tǒng)進(jìn)入隨機(jī)振動(dòng)方式也不相同：①從穩(wěn)定周期振蕩直接進(jìn)入隨機(jī)振蕩；②從Hopf分岔過渡至隨機(jī)振蕩；③系統(tǒng)先進(jìn)入小幅度隨機(jī)振蕩，而后迅速過渡到大幅度隨機(jī)振蕩狀態(tài)。

(3) 通過對(duì)系統(tǒng)失速后振動(dòng)幅度分析發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)振動(dòng)幅度會(huì)隨轉(zhuǎn)速升高出現(xiàn)明顯跳躍現(xiàn)象。

(1)

(2)

(3)

(4)

聯(lián)立公式(1)～(4)，得

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

聯(lián)立公式(6)～(9)，可以得到

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Mt-Me=(mt-me)MgB

(15)

聯(lián)立公式(5),(10)～(13)和(14)，得到

(16)

取

(17)

(18)

(19)

(20)

對(duì)公式(16)進(jìn)行化簡，得到

(21)

化簡可得發(fā)電機(jī)角速度為

(22)