“三定”問(wèn)題 高考解析幾何的?？?/h1>
2019-12-20 03:05:06楊文金
中學(xué)課程輔導(dǎo)·高考版 2019年12期
楊文金
解析幾何中的“三定”是定值、定點(diǎn)、定線問(wèn)題，“三定”問(wèn)題仍是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn)，該類問(wèn)題知識(shí)綜合性強(qiáng)，方法靈活，對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力和推理能力要求較高，因而成為了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).主要以解答題形式考查，往往處在倒數(shù)第二題位置，起到拉開距離，選拔優(yōu)生的目的.一般以橢圓或拋物線為背景，考查定值、定點(diǎn)、定線問(wèn)題，試題難度較大.定點(diǎn)、定值、定線問(wèn)題都是探求“變中有不變的量”.因此要用全面的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀點(diǎn)看待并處理此類問(wèn)題.從整體上把握問(wèn)題給出的綜合信息，并注意挖掘問(wèn)題中各個(gè)量之間的相互關(guān)系，恰當(dāng)適時(shí)地運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊到一般、相關(guān)點(diǎn)法、設(shè)而不求、換元、消元等基本思想方法.在解答這類問(wèn)題過(guò)程中，既有探索性的歷程，又有嚴(yán)密的邏輯推理及復(fù)雜的運(yùn)算，成為考查同學(xué)們邏輯思維能力、知識(shí)遷移能力和運(yùn)算求證能力的一道亮麗的風(fēng)景線，真正體現(xiàn)了考試大綱中“重知識(shí)，更重能力”的指導(dǎo)思想.解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì)，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程（組）的方法，掌握一元二次方程的知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用，掌握使用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入的解題方法;其次注意分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等的應(yīng)用.
一、解析幾何中的定值問(wèn)題
在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成了定值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果，選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義、方程、幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理求出結(jié)果;另一種思路是通過(guò)考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問(wèn)題的突破口，將該問(wèn)題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的.同時(shí)有許多定值問(wèn)題，通過(guò)特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索.如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比較奏效.
例1 （2018年高考北京理）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）.過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.
（1）求直線l的斜率的取值范圍;
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，QM=λQO，QN=μQO，求證：1λ+1μ為定值.
分析：（1）先確定p，再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=-3;（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2.再由QM=λQO，QN=μQO得λ=1-yM，μ=1-yN，利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)1λ+1μ可得結(jié)論.
解：（1）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x.
由題意可知直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）.
由y2=4xy=kx+1得k2x2+（2k-4）x+1=0.
依題意Δ=（2k-4）2-4×k2×1>0，解得k<0或0又PA，PB與y軸相交，故直線l不過(guò)點(diǎn)（1，-2）.從而k≠-3.
所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）.
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.
由（1）知x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2.
直線PA的方程為y-2=y1-2x1-1（x-1）.
令x=0，yM=-y1+2x1-1+2=-kx1+1x1-1+2.
同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN=-kx2+1x2-1+2.
由QM=λQO，QN=μQO，
得λ=1-yM，μ=1-yN.
所以1λ+1μ=11-yM+11-yN
=x1-1（k-1）x1+x2-1（k-1）x2
=1k-1·2x1x2-（x1+x2）x1x2=1k-1·2k2+2k-4k21k2
=2，
故1λ+1μ為定值.
點(diǎn)睛：定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的.定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定值顯現(xiàn).
二、解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題
定點(diǎn)問(wèn)題是動(dòng)直線（或曲線）恒過(guò)某一定點(diǎn)的問(wèn)題，一般方法是先將動(dòng)直線（或曲線）用參數(shù)表示出來(lái)，再分析判斷出其所過(guò)的定點(diǎn).定點(diǎn)問(wèn)題的難點(diǎn)是動(dòng)直線（或曲線）的表示，一旦表示出來(lái)，其所過(guò)的定點(diǎn)就一目了然了.所以動(dòng)直線（或曲線）中，參數(shù)的選擇就至關(guān)重要.解題的關(guān)鍵在于尋找題中用來(lái)聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過(guò)整理，變形轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線系、曲線系來(lái)解決.定點(diǎn)問(wèn)題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的證明.難度較大.定點(diǎn)問(wèn)題是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn).化解這類問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.解析幾何中的“定點(diǎn)”問(wèn)題一般是在一些動(dòng)態(tài)事物（如動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線、動(dòng)弦、動(dòng)角、動(dòng)軌跡等）中，尋求某一個(gè)不變量——定點(diǎn)，這種問(wèn)題涉及面廣、綜合性強(qiáng).
例2 如圖，設(shè)點(diǎn)P是橢圓E：x24+y2=1上的任意一點(diǎn)（異于左，右頂點(diǎn)A，B）.設(shè)直線PA，PB分別交直線l：x=103于點(diǎn)M，N.求證：以MN為直徑的圓過(guò)x軸上的定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn).
思路：本題變化的幾何元素有：動(dòng)點(diǎn)P，M，N，動(dòng)直線AP，BP及動(dòng)圓.定點(diǎn)源自于動(dòng)圓，動(dòng)圓由M，N確定，引入?yún)?shù)表示出M，N的坐標(biāo)，從而表示出動(dòng)圓.
解析：（解法1）設(shè)kAP=k1，kBP=k2，P（x0，y0），
則AM：y=k1（x+2），M（103，163k1），
同理：N（103，43k2），
以MN為直徑圓的方程為
（x-103）2+[y-（83k1+23k2）]2=（8k1-2k23）2
化簡(jiǎn)為
（x-103）2+y2-（163k1+43k2）y+649k1k2=0，
∵k1k2=y0x0+2·y0x0-2=y20x20-4=1-14x20x20-4=-14，
所以（x-103）2+y2-（163k1-13k1）y-169=0，
圓過(guò)x軸上定點(diǎn)，令y=0，則x=2，x=143，
即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為（2，0）和（143，0）.
點(diǎn)睛：解法1從“變化的元素為動(dòng)直線入手”，設(shè)直線AP，BP斜率分別為k1，k2，用參數(shù)k1，k2表示動(dòng)圓方程;引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個(gè)參變量的圓的方程恒成立問(wèn)題”，關(guān)鍵是尋找兩個(gè)參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，此法中k1k2=-14，然后進(jìn)行消元或者化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)方程恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解.
（解法2）設(shè)P（x0，y0），x0≠±2，
則AM：y=y0x0+2（x+2），yM=163·y0x0+2，
同理：yN=43·y0x0-2，
以MN為直徑圓的方程為
（x-103）2+（y-163·y0x0+2）（y-43·y0x0-2）=0，
化簡(jiǎn)為（x-103）2+y2-（163·y0x0+2+43·y0x0-2）y+649y20x20-4=0，
又P（x0，y0）在橢圓上x204+y20=1，
故圓的方程（x-103）2+y2-（163·y0x0+2+43·y0x0-2）y-169=0，
圓過(guò)x軸上定點(diǎn)，令y=0，則x=2，x=143，
即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為（2，0）和（143，0）.
點(diǎn)睛：解法2從“變化的元素為動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）”入手，用參數(shù)x0，y0表示動(dòng)圓方程;引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個(gè)參變量的圓的方程恒成立問(wèn)題”，關(guān)鍵是尋找兩個(gè)參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，此法中x204+y20=1，然后進(jìn)行消元或者化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)方程恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解.
（解法3）設(shè)M（103，y1），N（103，y2），
由kAPkBP=-14，
即y1103+2·y2103-2=-14，y1y2=-169，
以MN為直徑圓的方程為
（x-103）2+（y-y1）（y-y2）=0，
即（x-103）2+y2-（y1+y2）y-169=0.
令y=0，則x=2，x=143，
即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為（2，0）和（143，0）.
點(diǎn)睛：解法3從“變化的元素為動(dòng)點(diǎn)M（103，y1），N（103，y2）”入手，用參數(shù)y1，y2表示動(dòng)圓的方程，引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個(gè)參變量的圓的方程恒成立問(wèn)題”，關(guān)鍵是尋找兩個(gè)參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，此法中y1y2=-169，然后進(jìn)行消元或者化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)方程恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解.
（解法4）當(dāng)P（0，1）時(shí)，M（103，83），N（103，-23），
圓方程為（x-103）2+（y-1）2=259，
令y=0，則x=2，x=143，
即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為T1（2，0）和T2（143，0）.
再證明一般情況下成立即可.
由解法一知，M（103，163k1），N（103，43k2），
T1M·T1N=（43，163k1）·（43，43k2）
=169+649k1k2=169+649（-14）=0.
故以MN為直徑圓是過(guò)定點(diǎn)T1（2，0），同理此圓過(guò)定點(diǎn)T2（143，0）.
點(diǎn)睛：先通過(guò)特殊化找到定點(diǎn)，再證明一般下情況成立，此法也是特殊到一般的解法，即先找后證.
（解法5）以MN為直徑圓過(guò)x軸上定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)為T（t，0）.
由解法三設(shè)M（103，y1），N（103，y2），得y1y2=-169，
由題意得TM·TN=0，（t-103）2+y1y2=0，
化簡(jiǎn)（t-103）2-169=0，
解得t=2或t=143，
即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為（2，0）和（143，0）.
點(diǎn)睛：本解法緊扣“定點(diǎn)在x軸上”，直接設(shè)出定點(diǎn)T（t，0），解法自然，過(guò)程簡(jiǎn)明快捷.
引申：若去掉“過(guò)x軸上”，本題又如何思考？
點(diǎn)睛：本題運(yùn)用前面四種解法即可，雖然解法五不可以直接應(yīng)用，但從對(duì)稱性可知，動(dòng)圓所過(guò)定點(diǎn)必在x軸上.
定點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)際上就是恒成立問(wèn)題，選設(shè)合理的參變量刻畫動(dòng)量是解決定點(diǎn)問(wèn)題的前提條件.引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個(gè)參變量的圓的方程恒成立問(wèn)題”，關(guān)鍵是尋找兩個(gè)參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，然后進(jìn)行消元或者化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)方程恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解.
定點(diǎn)問(wèn)題的解題處理方法有兩種：一是設(shè)參數(shù)，用參數(shù)表示動(dòng)曲線的方程，轉(zhuǎn)化為含參方程恒成立問(wèn)題;二是通過(guò)特殊位置先找后證.過(guò)程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法是化歸思想，即轉(zhuǎn)化思想，它能引導(dǎo)我們進(jìn)行合理解題，快捷地尋找解題突破口，形成解題思路.
三、解析幾何中的定線問(wèn)題
定線問(wèn)題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等.
例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)C（2，0）的直線與拋物線y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）.
（1）求證：y1y2為定值;
（2）是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求該直線方程和弦長(zhǎng);如果不存在，說(shuō)明理由.
分析：（1）設(shè)出過(guò)點(diǎn)C（2，0）的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去未知數(shù)x，由根與系數(shù)關(guān)系可得y1y2=-8為定值;（2）先設(shè)存在直線l：x=a滿足條件，求出以AC為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)表達(dá)式
2r2-d2=-4（1-a）x1+8a-4a2，
由表達(dá)式可知，當(dāng)a=1時(shí)，弦長(zhǎng)為定值.
解：（1）（解法1）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，
y1=22，y2=-22，因此y1y2=-8（定值）;
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），
由y=k（x-2）y2=4x得ky2-4y-8k=0，
∴y1y2=-8，
因此有y1y2=-8為定值.
（解法2）設(shè)直線AB的方程為my=x-2，
由my=x-2y2=4x得y2-4my-8=0，
∴y1y2=-8，因此有y1y2=-8為定值.
（2）設(shè)存在直線l：x=a滿足條件，則AC的中點(diǎn)E（x1+22，y12），AC=（x1-2）2+y21，
因此以AC為直徑的圓的半徑
r=12AC=12（x1-2）2+y21=12x21+4，
又E點(diǎn)到直線x=a的距離d=|x1+22-a|，所以所截弦長(zhǎng)為
2r2-d2=214（x21+4）-（x1+22-a）2=x21+4-（x1+2-2a）2=-4（1-a）x1+8a-4a2，當(dāng)1-a=0即a=1時(shí)，弦長(zhǎng)為定值2，這時(shí)直線方程為x=1.
點(diǎn)睛：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系，屬難題;解決圓錐曲線定值定點(diǎn)方法一般有兩種：（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無(wú)關(guān);（2）直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.
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楊文金
解析幾何中的“三定”是定值、定點(diǎn)、定線問(wèn)題，“三定”問(wèn)題仍是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn)，該類問(wèn)題知識(shí)綜合性強(qiáng)，方法靈活，對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力和推理能力要求較高，因而成為了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).主要以解答題形式考查，往往處在倒數(shù)第二題位置，起到拉開距離，選拔優(yōu)生的目的.一般以橢圓或拋物線為背景，考查定值、定點(diǎn)、定線問(wèn)題，試題難度較大.定點(diǎn)、定值、定線問(wèn)題都是探求“變中有不變的量”.因此要用全面的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀點(diǎn)看待并處理此類問(wèn)題.從整體上把握問(wèn)題給出的綜合信息，并注意挖掘問(wèn)題中各個(gè)量之間的相互關(guān)系，恰當(dāng)適時(shí)地運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊到一般、相關(guān)點(diǎn)法、設(shè)而不求、換元、消元等基本思想方法.在解答這類問(wèn)題過(guò)程中，既有探索性的歷程，又有嚴(yán)密的邏輯推理及復(fù)雜的運(yùn)算，成為考查同學(xué)們邏輯思維能力、知識(shí)遷移能力和運(yùn)算求證能力的一道亮麗的風(fēng)景線，真正體現(xiàn)了考試大綱中“重知識(shí)，更重能力”的指導(dǎo)思想.解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質(zhì)，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程（組）的方法，掌握一元二次方程的知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用，掌握使用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代入的解題方法;其次注意分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等的應(yīng)用.
一、解析幾何中的定值問(wèn)題
在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān)，這就構(gòu)成了定值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果，選定一個(gè)適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義、方程、幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點(diǎn)差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理求出結(jié)果;另一種思路是通過(guò)考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問(wèn)題的突破口，將該問(wèn)題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的.同時(shí)有許多定值問(wèn)題，通過(guò)特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索.如果試題是客觀題形式出現(xiàn)，特珠化方法往往比較奏效.
例1 （2018年高考北京理）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）.過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.
（1）求直線l的斜率的取值范圍;
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，QM=λQO，QN=μQO，求證：1λ+1μ為定值.
分析：（1）先確定p，再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最后根據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=-3;（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2.再由QM=λQO，QN=μQO得λ=1-yM，μ=1-yN，利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡(jiǎn)1λ+1μ可得結(jié)論.
解：（1）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x.
由題意可知直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）.
由y2=4xy=kx+1得k2x2+（2k-4）x+1=0.
依題意Δ=（2k-4）2-4×k2×1>0，解得k<0或0 又PA，PB與y軸相交，故直線l不過(guò)點(diǎn)（1，-2）.從而k≠-3. 所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）. （2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）. 由（1）知x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2. 直線PA的方程為y-2=y1-2x1-1（x-1）. 令x=0，yM=-y1+2x1-1+2=-kx1+1x1-1+2. 同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN=-kx2+1x2-1+2. 由QM=λQO，QN=μQO， 得λ=1-yM，μ=1-yN. 所以1λ+1μ=11-yM+11-yN =x1-1（k-1）x1+x2-1（k-1）x2 =1k-1·2x1x2-（x1+x2）x1x2=1k-1·2k2+2k-4k21k2 =2， 故1λ+1μ為定值. 點(diǎn)睛：定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的.定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定值顯現(xiàn). 二、解析幾何中的定點(diǎn)問(wèn)題 定點(diǎn)問(wèn)題是動(dòng)直線（或曲線）恒過(guò)某一定點(diǎn)的問(wèn)題，一般方法是先將動(dòng)直線（或曲線）用參數(shù)表示出來(lái)，再分析判斷出其所過(guò)的定點(diǎn).定點(diǎn)問(wèn)題的難點(diǎn)是動(dòng)直線（或曲線）的表示，一旦表示出來(lái)，其所過(guò)的定點(diǎn)就一目了然了.所以動(dòng)直線（或曲線）中，參數(shù)的選擇就至關(guān)重要.解題的關(guān)鍵在于尋找題中用來(lái)聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過(guò)整理，變形轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線系、曲線系來(lái)解決.定點(diǎn)問(wèn)題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的證明.難度較大.定點(diǎn)問(wèn)題是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn).化解這類問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.解析幾何中的“定點(diǎn)”問(wèn)題一般是在一些動(dòng)態(tài)事物（如動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線、動(dòng)弦、動(dòng)角、動(dòng)軌跡等）中，尋求某一個(gè)不變量——定點(diǎn)，這種問(wèn)題涉及面廣、綜合性強(qiáng). 例2 如圖，設(shè)點(diǎn)P是橢圓E：x24+y2=1上的任意一點(diǎn)（異于左，右頂點(diǎn)A，B）.設(shè)直線PA，PB分別交直線l：x=103于點(diǎn)M，N.求證：以MN為直徑的圓過(guò)x軸上的定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn). 思路：本題變化的幾何元素有：動(dòng)點(diǎn)P，M，N，動(dòng)直線AP，BP及動(dòng)圓.定點(diǎn)源自于動(dòng)圓，動(dòng)圓由M，N確定，引入?yún)?shù)表示出M，N的坐標(biāo)，從而表示出動(dòng)圓. 解析：（解法1）設(shè)kAP=k1，kBP=k2，P（x0，y0）， 則AM：y=k1（x+2），M（103，163k1）， 同理：N（103，43k2）， 以MN為直徑圓的方程為 （x-103）2+[y-（83k1+23k2）]2=（8k1-2k23）2 化簡(jiǎn)為 （x-103）2+y2-（163k1+43k2）y+649k1k2=0， ∵k1k2=y0x0+2·y0x0-2=y20x20-4=1-14x20x20-4=-14， 所以（x-103）2+y2-（163k1-13k1）y-169=0， 圓過(guò)x軸上定點(diǎn)，令y=0，則x=2，x=143， 即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為（2，0）和（143，0）. 點(diǎn)睛：解法1從“變化的元素為動(dòng)直線入手”，設(shè)直線AP，BP斜率分別為k1，k2，用參數(shù)k1，k2表示動(dòng)圓方程;引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個(gè)參變量的圓的方程恒成立問(wèn)題”，關(guān)鍵是尋找兩個(gè)參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，此法中k1k2=-14，然后進(jìn)行消元或者化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)方程恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解. （解法2）設(shè)P（x0，y0），x0≠±2， 則AM：y=y0x0+2（x+2），yM=163·y0x0+2， 同理：yN=43·y0x0-2， 以MN為直徑圓的方程為 （x-103）2+（y-163·y0x0+2）（y-43·y0x0-2）=0， 化簡(jiǎn)為（x-103）2+y2-（163·y0x0+2+43·y0x0-2）y+649y20x20-4=0， 又P（x0，y0）在橢圓上x204+y20=1， 故圓的方程（x-103）2+y2-（163·y0x0+2+43·y0x0-2）y-169=0， 圓過(guò)x軸上定點(diǎn)，令y=0，則x=2，x=143， 即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為（2，0）和（143，0）. 點(diǎn)睛：解法2從“變化的元素為動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）”入手，用參數(shù)x0，y0表示動(dòng)圓方程;引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個(gè)參變量的圓的方程恒成立問(wèn)題”，關(guān)鍵是尋找兩個(gè)參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，此法中x204+y20=1，然后進(jìn)行消元或者化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)方程恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解. （解法3）設(shè)M（103，y1），N（103，y2）， 由kAPkBP=-14， 即y1103+2·y2103-2=-14，y1y2=-169， 以MN為直徑圓的方程為 （x-103）2+（y-y1）（y-y2）=0， 即（x-103）2+y2-（y1+y2）y-169=0. 令y=0，則x=2，x=143， 即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為（2，0）和（143，0）. 點(diǎn)睛：解法3從“變化的元素為動(dòng)點(diǎn)M（103，y1），N（103，y2）”入手，用參數(shù)y1，y2表示動(dòng)圓的方程，引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個(gè)參變量的圓的方程恒成立問(wèn)題”，關(guān)鍵是尋找兩個(gè)參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，此法中y1y2=-169，然后進(jìn)行消元或者化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)方程恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解. （解法4）當(dāng)P（0，1）時(shí)，M（103，83），N（103，-23）， 圓方程為（x-103）2+（y-1）2=259， 令y=0，則x=2，x=143， 即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為T1（2，0）和T2（143，0）. 再證明一般情況下成立即可. 由解法一知，M（103，163k1），N（103，43k2）， T1M·T1N=（43，163k1）·（43，43k2） =169+649k1k2=169+649（-14）=0. 故以MN為直徑圓是過(guò)定點(diǎn)T1（2，0），同理此圓過(guò)定點(diǎn)T2（143，0）. 點(diǎn)睛：先通過(guò)特殊化找到定點(diǎn)，再證明一般下情況成立，此法也是特殊到一般的解法，即先找后證. （解法5）以MN為直徑圓過(guò)x軸上定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)為T（t，0）. 由解法三設(shè)M（103，y1），N（103，y2），得y1y2=-169， 由題意得TM·TN=0，（t-103）2+y1y2=0， 化簡(jiǎn)（t-103）2-169=0， 解得t=2或t=143， 即以MN為直徑圓過(guò)定點(diǎn)為（2，0）和（143，0）. 點(diǎn)睛：本解法緊扣“定點(diǎn)在x軸上”，直接設(shè)出定點(diǎn)T（t，0），解法自然，過(guò)程簡(jiǎn)明快捷. 引申：若去掉“過(guò)x軸上”，本題又如何思考？ 點(diǎn)睛：本題運(yùn)用前面四種解法即可，雖然解法五不可以直接應(yīng)用，但從對(duì)稱性可知，動(dòng)圓所過(guò)定點(diǎn)必在x軸上. 定點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)際上就是恒成立問(wèn)題，選設(shè)合理的參變量刻畫動(dòng)量是解決定點(diǎn)問(wèn)題的前提條件.引導(dǎo)同學(xué)們思考“含有兩個(gè)參變量的圓的方程恒成立問(wèn)題”，關(guān)鍵是尋找兩個(gè)參變量之間的內(nèi)在關(guān)系，然后進(jìn)行消元或者化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有參數(shù)方程恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解. 定點(diǎn)問(wèn)題的解題處理方法有兩種：一是設(shè)參數(shù)，用參數(shù)表示動(dòng)曲線的方程，轉(zhuǎn)化為含參方程恒成立問(wèn)題;二是通過(guò)特殊位置先找后證.過(guò)程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法是化歸思想，即轉(zhuǎn)化思想，它能引導(dǎo)我們進(jìn)行合理解題，快捷地尋找解題突破口，形成解題思路. 三、解析幾何中的定線問(wèn)題 定線問(wèn)題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等. 例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)C（2，0）的直線與拋物線y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）. （1）求證：y1y2為定值; （2）是否存在平行于y軸的定直線被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求該直線方程和弦長(zhǎng);如果不存在，說(shuō)明理由. 分析：（1）設(shè)出過(guò)點(diǎn)C（2，0）的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去未知數(shù)x，由根與系數(shù)關(guān)系可得y1y2=-8為定值;（2）先設(shè)存在直線l：x=a滿足條件，求出以AC為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)表達(dá)式 2r2-d2=-4（1-a）x1+8a-4a2， 由表達(dá)式可知，當(dāng)a=1時(shí)，弦長(zhǎng)為定值. 解：（1）（解法1）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)， y1=22，y2=-22，因此y1y2=-8（定值）; 當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2）， 由y=k（x-2）y2=4x得ky2-4y-8k=0， ∴y1y2=-8， 因此有y1y2=-8為定值. （解法2）設(shè)直線AB的方程為my=x-2， 由my=x-2y2=4x得y2-4my-8=0， ∴y1y2=-8，因此有y1y2=-8為定值. （2）設(shè)存在直線l：x=a滿足條件，則AC的中點(diǎn)E（x1+22，y12），AC=（x1-2）2+y21， 因此以AC為直徑的圓的半徑 r=12AC=12（x1-2）2+y21=12x21+4， 又E點(diǎn)到直線x=a的距離d=|x1+22-a|，所以所截弦長(zhǎng)為 2r2-d2=214（x21+4）-（x1+22-a）2=x21+4-（x1+2-2a）2=-4（1-a）x1+8a-4a2，當(dāng)1-a=0即a=1時(shí)，弦長(zhǎng)為定值2，這時(shí)直線方程為x=1. 點(diǎn)睛：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系，屬難題;解決圓錐曲線定值定點(diǎn)方法一般有兩種：（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無(wú)關(guān);（2）直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.
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