李葉磊，梁泂航，盛正卯

（浙江大學物理學系，浙江杭州310027）

非對易關系是數(shù)學物理領域中非常重要的概念，在數(shù)學中稱不可交換性。例如，環(huán)和群中的元素在一般情況下是不可交換的。在量子理論中非對易關系也非常重要，[xμ,pν]=i?δμν是量子力學中最基本的非對易關系式。根據(jù)弦理論，時空應該是非對易的，即時空具有測不準關系。在非對易空間中,除了坐標和動量之間是非對易的，坐標算符之間也將是非對易的。為了通過實驗確定時空是否是非對易的，需要尋找對非對易效應敏感的體系。

非對易時空必然會對建立在一般時空的物理體系產(chǎn)生影響，當考慮時空的非對易性質(zhì)時，量子理論需要做出一定的修正，若能預知這些修正，并通過實驗驗證之，則可以確定非對易時空的參數(shù)。因此，非對易情形下的量子力學引起了物理學工作者的廣泛興趣[1-4]。

本文的重點是提出方案。在充分了解非對易空間中氫原子體系的能級變化下，希望通過加入一個可實現(xiàn)的且可調(diào)控的中心勢給出非對易參數(shù)θ的新界限，因此，考慮引入一個二參數(shù)的高斯勢（V1(r)=Ωe-r2/K2），研究在加入該勢之后的能級變化以及能級變化與非對易參數(shù)θ的關系。

1 非對易空間的代數(shù)方法

在非對易空間中，坐標算符與坐標算符之間不再對易，坐標算符與動量算符之間的對易關系和動量算符與動量算符之間的對易關系保持不變。則新的對易關系式為分別代表在非對易空間中的坐標和動量算符，{θμν}是一個反對稱矩陣。

定義以下乘法運算為星乘積運算：

f(x),g(x)是非對易空間中的任意函數(shù)，在非對易空間中,普通的乘積f(x)g(x)將由非對易乘法f(x)×g(x)代替。表示為

Bopp變換是解決非對易空間問題的另一種方法。其主要思想是通過在對易空間中的空間坐標算符和動量算符進行線性組合，從而得到滿足非對易空間中對易式的非對易空間坐標算符和動量算符。即

其中，xμ,Pμ,Pν分別表示對易空間中的空間坐標和動量算符。

通過Bopp變換,相應的哈密頓量可寫成

2 非對易空間下高斯勢中的氫原子能譜

引入一個二參數(shù)的勢能:

其中Ω，K都是可以調(diào)整的參數(shù)。

非對易空間中氫原子在高斯勢下的總勢能V(r~)為

為便于對比非對易空間中的計算結(jié)果，先求解對易空間中該體系的能級。對該體系的精確求解是十分困難的，無法求出其解析的能級和波函數(shù)。因此采用近似方法求解。調(diào)節(jié)參數(shù)Ω到足夠小，可以把高斯勢看作微擾，用微擾論處理。

應用簡并微擾論得：

R是氫原子的徑向波函數(shù)。

下面求解非對易空間下高斯勢中的氫原子問題，其哈密頓量為

則可得

對式（10）做泰勒展開并忽略θ的高階量，得

令

因HG比較復雜，無法直接求其波函數(shù)和能級。將Hnc看作微擾。應用微擾論得：

其中a為波爾半徑。

由非對易產(chǎn)生的效應

以下著重研究由引入的二參數(shù)高斯勢能所引起的非對易效應。取氫原子的2p態(tài)進行計算，可得

其中，Erfc(x)為互補誤差函數(shù)。

其中C為常數(shù)。

可作ΔENCG(ρ)關于ρ的函數(shù)圖，如圖1所示。顯然ΔENCG(ρ)有一最大值。通過近似方法可得ρ約為1.6時ΔENCG(ρ)取值最大，即K取3.2a。

圖1 ΔE-P函數(shù)圖Fig.1 Function graph ofΔE-P

通過調(diào)控參數(shù)K的取值可使非對易效應達到最大。而對于此二參數(shù)高斯勢能V1(r)=Ωe-r2/K2，K的取值代表該勢能的“寬度”。可見當K取3.2個波爾半徑時，非對易效應產(chǎn)生的能級差最大，即對該勢能的“寬度”有所約束。

3 結(jié) 論

計算了引入高斯勢能后對易空間中的氫原子的能級變化，得到部分能級發(fā)生分裂的結(jié)果。在計算非對易空間能級的變化時，發(fā)現(xiàn)能級修正與磁量子數(shù)相關，能級簡并度完全解除。代入具體的2p態(tài)函數(shù)，可以得到由于非對易效應產(chǎn)生的能級修正與參數(shù)K的函數(shù)關系，發(fā)現(xiàn)能級修正有極值，通過近似方法得到取極值時的參數(shù)K的值。雖然前人已經(jīng)計算過非對易空間中的氫原子能譜[11-12]，但由于不包含可調(diào)變量，加之非對易效應非常微弱，因此，僅靠測量能級的移動很難確定其是由非對易效應引起的。而本文方案可以通過觀察能級移動與勢參量的關系來確定是否由非對易效應引起，當確定是由非對易效應引起后，可通過式(13)進行定量比較，確定非對易參數(shù)θ。文中引入的高斯勢，可以考慮由激光場產(chǎn)生，但激光的能量不能過強，否則會使氫原子電離。

本文的結(jié)論需要進一步實驗驗證，要求有超高精度的能級或光譜測量方案。