趙 斌，朱傳祥，仝 云，胡 陽，李 權(quán)，蔣瑞民

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，陜西 西安 710072； 2. 西北工業(yè)大學機電學院，陜西 西安 710072；3. 上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

精確打擊是現(xiàn)代戰(zhàn)爭的主要作戰(zhàn)形式，是加速戰(zhàn)爭進程，決定戰(zhàn)爭勝負的關(guān)鍵要素。導彈的制導系統(tǒng)是導彈的大腦和中樞神經(jīng)，它直接決定著制導性能和制導精度[1]。早期的制導方法大都基于比例導引及其各類改進方法實現(xiàn)[2-3]，此類方法在目標勻速直線運動且忽略速度衰減的條件下被證明是最優(yōu)制導方法[4]。

然而，隨著技術(shù)的發(fā)展，來襲目標速度越來越高，同時具有機動能力，這要求導彈不僅要準確命中目標，而且要以特定的攻擊角度命中目標以充分發(fā)揮戰(zhàn)斗部的毀傷效能。因此，研究具有終端攻擊角度約束的制導律成為新的挑戰(zhàn)。

最早的角度約束制導律從比例導引法發(fā)展而來[5-8]，這些方法針對靜止目標和非機動目標具有較好的攔截效果，而在攔截大機動目標時，由于缺少目標運動信息，攔截精度難以保證。

為了有效應對目標未知機動引起的系統(tǒng)不確定問題，變結(jié)構(gòu)控制被用于進行制導律設(shè)計[9-12]。此類方法只需要保證滑模變量符號項的系數(shù)大于不確定上界，就可以實現(xiàn)對于參數(shù)攝動和外部擾動的魯棒性。由于目標機動是未知的，因此該參數(shù)的選擇具有一定困難。如果選擇過大，會導致系統(tǒng)制導指令抖動較大；如果選擇太小，則又難以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

針對以上問題，本文提出一種基于非奇異終端滑模[13-14]的終端角度約束制導律。針對目標機動引起的不確定性設(shè)計了一種新型自適應二階滑模觀測器，以實現(xiàn)對系統(tǒng)不確定性的有限時間估計，在此基礎(chǔ)上證明了閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間收斂特性。

1 數(shù)學建模

圖1 二維彈-目相對關(guān)系Fig.1 Two-dimensional engagement geometry

考慮二維場景下的彈-目相對運動關(guān)系如圖1所示。M,T分別代表導彈和目標；VM,AM代表導彈的速度和加速度；VT,AT代表目標的速度和加速度；r,q分別是彈-目相對距離和慣性系視線角；γM,γT分別為導彈與目標的航跡角。

由此，可建立非線性彈-目相對運動方程[1]，即

(1)

不失一般性，本文制導律設(shè)計時引入如下假設(shè)：

1) 假設(shè)1： 忽略導彈自動駕駛儀和導引頭的動態(tài)特性，即認為彈體可以理想實現(xiàn)制導過程；

2) 假設(shè)2： 在短暫的末制導過程中，假設(shè)導彈與目標速度大小不變。

定義末制導的終端角θ(te)為命中瞬間導彈速度與目標速度方向的夾角。該角度與終端彈目視線角q(te)存在一一對應關(guān)系[15]，即

(2)

(3)

其中：不確定性Δ=ATcos(q-γT)/r表征由目標加速度引起的干擾項；u=AMcos(q-γM)為待設(shè)計制導指令。

本文的目標是設(shè)計制導律u，使得在未知干擾Δ存在的情況下，狀態(tài)方程(3)所示系統(tǒng)的狀態(tài)有限時間收斂至零。

2 引理及定義

定義1：非奇異終端滑模態(tài)[16]和快速非奇異終端滑模[17]分別定義為

(4)

(5)

其中：x∈R；sigβ(x)=|x|βsign(x)；s為滑模變量。

根據(jù)定義，可知其一階微分可表述為

(6)

(7)

1) 有限時間穩(wěn)定[16]：

(8)

其中：t>t0，t0是系統(tǒng)運行的初始時刻。若式(8)成立，則該函數(shù)將在有限時間收斂至零，且收斂時間T1滿足

(9)

2) 快速有限時間穩(wěn)定[17]：

(10)

若式(10)成立，則該函數(shù)有限時間收斂至零，且收斂時間T2滿足

(11)

3 自適應滑模觀測器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

給定非線性狀態(tài)方程

(12)

其中：d為系統(tǒng)不確定；dU為未知的不確定微分上界。設(shè)計其自適應參數(shù)及自適應律選擇為

(13)

選擇Lyapunov函數(shù)為

Vζ=L-2ζTP(t)ζ

(14)

(15)

根據(jù)矩陣及向量相關(guān)知識可知

(16)

同時對向量ζ進行求導可得

(17)

定理1： 對于式(12)所示系統(tǒng)選擇式(13)所示的自適應律及式(14)所示的Lyapunov函數(shù)，并且相關(guān)矩陣參數(shù)滿足

(18)

其中，Q(t)=-ATP(t)-P(t)A=

則系統(tǒng)狀態(tài)ξ1(t),ξ2(t)有限時間內(nèi)收斂于零。

證明：對式(14)所示的Lyapunov函數(shù)求導可得

(19)

將式(13)、式(17)代入式(19)可得

(20)

根據(jù)式(18)可知

(21)

(22)

最終，綜合式(18)～(22)可知

(23)

因此，根據(jù)引理1可知，系統(tǒng)狀態(tài)ξ1(t),ξ2(t)有限時間內(nèi)收斂于零。

基于定理1可以設(shè)計如下的干擾觀測器，對狀態(tài)方程(3)所示系統(tǒng)中目標機動引起的不確定性進行精確估計，即

(24)

根據(jù)定理1可知，干擾估計偏差在有限時間內(nèi)將收斂至有界范圍中，即滿足

(25)

4 終端角度約束制導律設(shè)計與分析

定理2: 針對狀態(tài)方程(3)所示系統(tǒng)設(shè)計非奇異快速終端滑模(如式(5)所示)，設(shè)計式(24)所示的干擾觀測器，同時設(shè)計制導律為

(26)

式中：h1,h2>0；0<μ<1。由此可得：

1) 滑模變量有限時間收斂于|s|≤Δ1；

2) 狀態(tài)有限時間收斂于|x1|≤Δ2,|x2|≤Δ3。

其中，各個收斂域為

(27)

證明：該定理證明過程可以分為兩步完成。

1) 證明滑模變量的有限時間收斂

對滑模變量求導，并代入式(3)和式(26)可得

(28)

由于α2>0,1<β2<2，可知α2β2|x2|β2-1>0。

根據(jù)式(25)和代數(shù)不等式可知

(29)

選擇Lyapunov函數(shù)為

(30)

對式(30)求導，并代入式(28)～(29)可得

(31)

其中：

(32)

① 當x2≠0時，若選擇參數(shù)滿足

(33)

② 當x2=0且s≠0時，將式(26)代入狀態(tài)方程(3)中的第2式，可得

(33)

由于s≠0，因此系統(tǒng)狀態(tài)x2不會一直停留在x2=0,s≠0，則x2=0不是系統(tǒng)的吸引子。

2) 給出相關(guān)變量的收斂域

式(33)給出了滑模變量有限時間收斂的條件，由此可知滑模變量的收斂域可表述為

(34)

此外式(5)所示滑模面可等價寫為

(35)

(36)

因此，對比式(35)、式(36)和式(5)，可知

(37)

(38)

證明完畢。

5 數(shù)學仿真與分析

本章通過數(shù)學仿真對上述算法進行驗證。算法的制導律參數(shù)見表1，干擾觀測器參數(shù)見表2，初始仿真場景見表3。仿真周期選擇為1 ms，過載限幅為20g。仿真結(jié)果如圖2～3所示。

表 1 制導律參數(shù)

表2 干擾觀測器參數(shù)Tab.2 Parameters of the disturbance observer

表3 導彈與目標初始條件Tab.3 Initial conditions for missile and target

圖2 場景1下的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results in scenario 1

圖3 場景2下的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results in scenario 2

仿真場景1：AM=5gcos(πt/4)，目標正弦機動，設(shè)置終端約束角度為20°；

仿真場景2：AT=5g，目標常值機動，設(shè)置終端角度為30°。

為了便于分析系統(tǒng)命中精度，定義新的變量

(39)

具體分析如下：

2) 從圖2(b)和圖3(b)可以看出，兩種場景下最終視線角分別收斂于20°和30°，這與仿真預設(shè)的終端約束角度一致，說明了算法對于終端角度約束的有效性；

3) 從圖2(c)和圖3(c)可以看出，所設(shè)計的干擾觀測器工作良好，可以實現(xiàn)有限時間內(nèi)對目標機動引起的不確定性的精確估計，這符合定理1的相關(guān)結(jié)論；

4) 從圖2(d)和圖3(d)可以看出，整個制導過程中導彈加速度指令光滑有界，適合彈體自動駕駛儀的跟蹤；

5) 從圖2(e)和圖3(e)可以看出，所設(shè)計的非奇異快速終端滑模變量均有限時間收斂至零，這符合定理2的相關(guān)結(jié)論。

5 結(jié)束語

本文提出了一種考慮終端角度約束的機動目標攔截制導律。針對目標未知機動引起的系統(tǒng)不確定性，采用本文提出的自適應滑模干擾觀測器，實現(xiàn)了估計誤差的有限時間收斂，該方法也可推廣用于其他干擾微分有界的不確定系統(tǒng)?；诳焖俜瞧娈惤K端滑模，結(jié)合有限時間收斂理論，可以確保系統(tǒng)狀態(tài)在滑模趨近階段以及滑模面上運動的有限時間有界收斂特性。