賴文星，賈 軍，鮑 然，丁士洲

(上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

現(xiàn)代化空襲作戰(zhàn)由包括巡航導(dǎo)彈、彈道導(dǎo)彈、制導(dǎo)炸彈、轟炸機、攻擊機、直升機在內(nèi)的多種武器相互配合完成，傳統(tǒng)防空武器攔截方案設(shè)計方法難以適應(yīng)全天候、全空域、多層次、飽和式的空襲模式。目前，防空武器攔截方案設(shè)計方法尚未形成一套完善的理論體系，大部分研究僅針對特定實際問題，依據(jù)一定的假設(shè)準(zhǔn)則建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，難以同時實現(xiàn)防空效能與攔截成本的最優(yōu)化。

文獻[1]將要地防空區(qū)域網(wǎng)格化，建立以防御貢獻程度為目標(biāo)的單目標(biāo)優(yōu)化模型，并采用Memetic算法進行求解，最終實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)化火控系統(tǒng)下對防空武器單元的優(yōu)化。文獻[2]基于排隊論的敵方空襲目標(biāo)突防概率計算方法，建立以防空覆蓋程度、武器密集程度、防線劃分為優(yōu)化目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化模型，最終獲得滿足部署地形條件、防空網(wǎng)絡(luò)完整覆蓋的扇形要地防空攔截方案，但扇形要地防空適應(yīng)范圍受限。文獻[3]以防空部署均勻程度、防空攔截縱深、防空部署前伸、防空掩護部署、防空武器接力制導(dǎo)為優(yōu)化目標(biāo)，建立多層次攔截防線、靠前均勻部署、縱深掩護制導(dǎo)的高維要地防空武器攔截的數(shù)學(xué)模型，但僅僅考慮防空能力并未考慮部署成本。在考慮防空武器性能參數(shù)、部署地形條件約束、敵方來襲目標(biāo)的進攻方式等條件下，當(dāng)前已有的數(shù)學(xué)模型可靠度不高、算法優(yōu)化結(jié)果不理想，還有待進一步深入研究。

針對由多種類型(遠程、中程、近程等)防空武器混編構(gòu)成的火力攔截體系，本文通過建立防空武器多目標(biāo)攔截方案的數(shù)學(xué)模型，采用NSGA-II多目標(biāo)進化算法進行求解，最終獲得同時滿足空襲目標(biāo)突防概率最小化和攔截成本最小化的防空武器攔截方案。

1 防空武器攔截方案多目標(biāo)優(yōu)化模型

1.1 攻防雙方基本假設(shè)

防御方在保衛(wèi)目標(biāo)周圍混合部署著m種不同類型的防空武器M1,M2,…,Mm，每種類型的防空武器數(shù)量分別為X1,X2,…,Xm。進攻方由n種不同類型空襲目標(biāo)T1,T2,…,Tn執(zhí)行一體化飽和式空襲任務(wù)，每種類型的空襲目標(biāo)數(shù)量分別為N1,N2,…,Nn，并且同一類型的空襲目標(biāo)編隊飛行。不同防空武器對不同空襲目標(biāo)的殺傷概率如表1所示。

表1 各類防空武器對空襲目標(biāo)的殺傷概率

不同類型防空武器對同一類型空襲目標(biāo)的單個目標(biāo)的攔截次數(shù)假設(shè)如表2所示。

表2 各類防空武器對空襲目標(biāo)的攔截次數(shù)Tab.2 The interception numbers of air defense weapons against air strike targets

1.2 單類型空襲目標(biāo)突防建模

某一類型防空武器Mi對1個某一類型空襲目標(biāo)Tj的殺傷概率為pij，進行xij次攔截。該空襲目標(biāo)存活概率為(1-pij)xij，被摧毀概率為1-(1-pij)xij，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(1)

Nj個某一類型空襲目標(biāo)Tj分別經(jīng)過某一類型防空武器Mi的xij次攔截后，空襲目標(biāo)存活數(shù)量隨機變化類似馬爾科夫過程[4]，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(2)

式中，Zr,s表示r個某一類型空襲目標(biāo)Tj經(jīng)過某一類型防空武器Mi的xij次攔截后存活數(shù)量為s個的概率。空襲目標(biāo)存活數(shù)量概率隨機變化滿足二項分布，其計算公式為

(3)

1.3 多類型空襲目標(biāo)突防建模

按照1.2節(jié)的計算方法，n種不同類型的空襲目標(biāo)T1,T2,…,Tn，分別經(jīng)過m種不同類型的防空武器M1,M2,…,Mm的攔截后，每種類型空襲目標(biāo)的突防概率分別為1-A01×A11×…Am1×e1，1-A02×A12×…Am2×e2，…，1-A0n×A1n×…Amn×en。

若空襲目標(biāo)T1,T2,…,Tn的威脅值分別為W1,W2,…,Wn，則敵方全部類型空襲目標(biāo)的總體突防威脅值計算公式為

f1=W1(1-A01×A11×…Am1×e1)+W2(1-A02×A12×…Am2×e2)+…+Wn(1-A0n×A1n×…Amn×en)

(4)

若防空武器M1,M2,…,Mm的單次攔截成本分別為C1,C2,…,Cm，則防空武器總體防御成本為

(5)

1.4 攔截方案的多目標(biāo)優(yōu)化模型

以敵方空襲目標(biāo)的總體突防威脅值最小化和防空武器的總體防御成本最小化為優(yōu)化目標(biāo)，建立防空攔截方案的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，即

minf1=W1(1-A01×A11×…Am1×e1)+W2(1-A02×A12×…Am2×e2)+…+Wn(1-A0n×A1n×…Amn×en)

(6)

式中，xijmin、xijmax分別是Mi型防空武器對Tj型空襲目標(biāo)攔截次數(shù)xij的最小值和最大值，可根據(jù)防空武器的戰(zhàn)技指標(biāo)和部署情況進行設(shè)置。

2 多目標(biāo)優(yōu)化算法

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化

2.1.1多目標(biāo)優(yōu)化問題

多目標(biāo)優(yōu)化問題由決策變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件3個部分組成，數(shù)學(xué)表達為[5]

minf(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x)](n=1,2,…,N)

(7)

s.t.

式中：x為決策變量；f(x)為目標(biāo)函數(shù)；D為決策變量數(shù)量；N為目標(biāo)函數(shù)數(shù)量；g(x)為不等式約束條件；h(x)為等式約束條件；xd_max和xd_min為決策變量的上下界。

2.1.2Pareto優(yōu)化定義

Pareto優(yōu)化是一種對多目標(biāo)優(yōu)化問題解集的比較評價方式，通過多目標(biāo)優(yōu)化算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的過程是尋找Pareto解集的過程[6]。Pareto優(yōu)化概念的相關(guān)定義如下：

定義2：當(dāng)f(x*)與f(x)滿足以下條件，對?n,fn(x*)≤fn(x)(n=1,2,…,N)且?n0,fn0(x*)

定義3：當(dāng)且僅當(dāng)在變量可行域內(nèi)不存在x，使得fn(x)≤fn(x*)(n=1,2,…,N)，稱x*為非支配最優(yōu)解，但是絕大部分多目標(biāo)優(yōu)化問題都不存在全局最優(yōu)解；

定義4：Pareto解集又稱非支配解集，是所有非支配解構(gòu)成的集合。Pareto邊界是由Pareto解集對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成的圖形，在空間中呈現(xiàn)為邊界線或邊界面。

2.2 NSGA-II多目標(biāo)進化算法

本文采用的NSGA-II是一種基于Pareto優(yōu)化理論的多目標(biāo)進化算法，憑借簡單、高效等優(yōu)點，成為求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的熱門算法之一。NSGA-II由快速非支配排序、擁擠距離比較、精英保留策略、進化操作組成。

1) 快速非支配排序與擁擠距離比較

NSGA-II采用快速非支配排序，計算復(fù)雜度降為mN2[7]，并采用基于擁擠距離的分布性保持方法，需要計算非支配集中個體的擁擠距離，其計算公式為

(8)

當(dāng)種群全部個體完成快速非支配排序和擁擠距離計算之后，任意個體i都有兩個屬性：非支配層級ranki和擁擠距離Di。在NSGA-II中，先比較ranki，再比較Di。種群中任意兩個個體i和j，若滿足以下條件，則個體i優(yōu)于個體j，優(yōu)先獲得保留的機會。

{rankiDj}

(9)

2) 精英保留策略

為避免父代種群中精英個體在進化迭代過程中流失，NSGA-II將父代種群和子代種群混合，進行快速非支配排序和擁擠距離比較，從中篩選精英個體進入下一代種群[8]。

3) 進化操作

NSGA-II采用模擬二進制交叉和多項式變異產(chǎn)生子代個體。首先，從父代種群中隨機選取兩個個體P1、P2，若進入交叉操作，兩個子代個體Q1、Q2計算公式為

(10)

式中，β與隨機數(shù)μ∈[0,1]有關(guān)，計算公式為

(11)

式中，ηc為交叉分布指數(shù)，ηc越大，交叉互換產(chǎn)生的子代個體與父代個體越相近。

若進入變異操作，則從父代種群中隨機選取一個個體P3，變異產(chǎn)生一個子代個體Q3的計算公式為

(12)

式中：隨機數(shù)r∈[0,1]；xmax和xmin分別為變量x的上下限；ηm為變異分布指數(shù),ηm是自定義參數(shù)，與ηc一樣，可以根據(jù)具體進化情況進行調(diào)整。

4) 算法流程

NSGA-II的算法流程基本步驟如下：

① 隨機初始化產(chǎn)生規(guī)模為N的第一代父代種群P1，由P1交叉互換產(chǎn)生規(guī)模為N的第一代子代種群Q1，將P1和Q1合并組成規(guī)模為2N的第一代混合種群R1，進入②；

② 對第t代混合種群Rt進行快速非支配排序和擁擠距離比較，從中篩選N個個體組成第t+1代父代種群Pt+1，由Pt+1交叉互換產(chǎn)生第t+1代子代種群Qt+1，進入③；

③ 判斷是否滿足進化終止條件，若滿足則退出進化，若不滿足則進入④；

④ 將Pt+1和Qt+1合并組成規(guī)模為2N的第t+1代混合種群，循環(huán)進入②。

3 算例仿真

本文以一個由遠程、中程、近程3種防空武器混合部署構(gòu)成的防御體系和由低空巡航導(dǎo)彈、中空制導(dǎo)彈藥、高空作戰(zhàn)飛機組成的空襲體系為例，對面向多層次飽和式空襲模式的攔截方案進行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，以同時實現(xiàn)空襲目標(biāo)總體突防威脅值最小化和防空武器總體防御成本最小化。

不同類型防空武器對不同類型空襲目標(biāo)的殺傷概率、空襲目標(biāo)數(shù)量、空襲目標(biāo)威脅值如表3所示。

表3 防空武器和空襲目標(biāo)輸入?yún)?shù)Tab.3 The input parameters of air defense weapons and air strike targets

遠程防空武器、中程防空武器、近程防空武器的單次攔截成本分別為200萬元、100萬元、50萬元。根據(jù)防空武器混合部署的實際情況，確定不同類型防空武器對不同空襲目標(biāo)的最大攔截次數(shù)。本算例作如下假設(shè)：遠程防空武器對低空巡航導(dǎo)彈、中空制導(dǎo)彈藥、高空作戰(zhàn)飛機的最大攔截次數(shù)分別為1次、2次、3次；中程防空武器對低空巡航導(dǎo)彈、中空制導(dǎo)彈藥、高空作戰(zhàn)飛機的最大攔截次數(shù)分別為2次、2次、2次；近程防空武器對低空巡航導(dǎo)彈、中空制導(dǎo)彈藥、高空作戰(zhàn)飛機的最大攔截次數(shù)分別為1次、1次、1次。

根據(jù)式(6)，建立防空武器攔截方案的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用NSGA-II多目標(biāo)進化算法求解。NSGA-II算法參數(shù)設(shè)置為：最大進化代數(shù)200，采用模擬二進制交叉和多項式變異的遺傳操作，交叉參數(shù)ηc=20，交叉概率Pc=0.9，變異分布指數(shù)ηm=20，變異概率Pm=0.1。計算結(jié)果如圖1所示。

如圖1所示，根據(jù)防空武器攔截方案多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto解集，可以獲得遠程防空武器、中程防空武器、近程防空武器分別對低空巡航導(dǎo)彈、中空制導(dǎo)彈藥、高空作戰(zhàn)飛機的優(yōu)化攔截次數(shù)，以及相應(yīng)的空襲目標(biāo)總體突防威脅值和防空武器總體防御成本。由于篇幅有限，選取圖中部分Pareto解集的結(jié)果進行分析，如表4所示，其中T1、T2、T3分別表示防空武器對低空巡航導(dǎo)彈、中空制導(dǎo)彈藥、高空作戰(zhàn)飛機的攔截次數(shù)。

圖1 防空攔截方案的多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Fig.1 Multi-objective optimization results of air defense interception scheme

解集序號遠程防空武器中程防空武器近程防空武器T1T2T3T1T2T3T1T2T3突防威脅值防御成本(萬元)11232121112.7005185021122221103.0618150030122221114.0489135040112221116.4767115050112221108.35981100601122210010.52241050701121211012.61191000801121200025.0535900900221101025.90278501000212010025.99057501100121101131.18127001200111111134.43046501300111011144.55005501400111001163.66505001500011111169.60004501600110010177.355040017001100000107.030030018001000100117.1700250

由表4可知，隨著防空武器總體防御成本逐漸下降，空襲目標(biāo)總體突防威脅值逐漸上升。根據(jù)圖1可知：當(dāng)空襲目標(biāo)總體突防威脅值f1從2.70緩慢增長至12.61時，防空武器總體防御成本f2從1 850萬元快速下降至1 000萬元；而當(dāng)空襲目標(biāo)總體突防威脅值f1從25.90快速增長至117.17時，防空武器總體防御成本f2從850萬元緩慢下降至250萬元。因此，工程人員可根據(jù)Pareto解集的變化，選擇空襲目標(biāo)總體突防威脅值小幅增長、總體防御成本大幅下降的攔截方案?；诙嗄繕?biāo)優(yōu)化的防空武器攔截方案設(shè)計方法，能提供多種滿足約束條件、總體突防威脅值最小化和總體防御成本最低化的解集，實際工程應(yīng)用中可根據(jù)自身需求進行選擇。

此次算例仿真主要是為了驗證防空武器攔截方案多目標(biāo)優(yōu)化模型和NSGA-II多目標(biāo)進化算法的應(yīng)用，實際工程中可以根據(jù)實際情況更改空襲目標(biāo)規(guī)模、種類、威脅值以及防空武器的規(guī)模、種類、殺傷概率、攔截次數(shù)、攔截成本、約束條件等參數(shù)。

4 結(jié)束語

本文建立了多種不同類型空襲目標(biāo)通過多種防空武器混編防御體系的突防模型；構(gòu)建了以總體突防威脅值最小化和總體防御成本最小化為目標(biāo)的防空武器攔截方案多目標(biāo)優(yōu)化模型，并采用NSGA-II多目標(biāo)進化算法進行求解。仿真結(jié)果表明，基于多目標(biāo)優(yōu)化的防空武器攔截方案提供了多種滿足約束條件的優(yōu)化設(shè)計方案，可根據(jù)自身需求選擇合適的攔截方案，在提高防空體系作戰(zhàn)效能和抗飽打擊能力的同時，降低總體防御成本，為實際工程應(yīng)用提供一定的借鑒和參考。