文李燕華

概率屬于初中數(shù)學(xué)中“統(tǒng)計與概率”的知識范疇，是描述一類事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)學(xué)模型。它是中考必考的知識點(diǎn)，重點(diǎn)考查大家數(shù)據(jù)剖析與數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。在學(xué)習(xí)過程中，許多同學(xué)對概率知識的理解不準(zhǔn)確，往往會出現(xiàn)各種錯誤，下面結(jié)合幾種常見的錯誤類型進(jìn)行歸類剖析，希望對同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)有所幫助與啟迪。

一、頻率與概率混淆不清易出錯

例1 小明拋擲一枚硬幣20次，有13次正面朝上，當(dāng)他拋第21次時，正面朝上的概率是_____。

【錯解

【剖析】錯誤的原因是沒有真正理解概率的本質(zhì)，把概率與頻率混為一談。概率與頻率是兩個不同的概念，概率是事件的本質(zhì)屬性，其取值不依賴于試驗(yàn)的次數(shù)。當(dāng)然兩者又具有密切的關(guān)系：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時，頻率會穩(wěn)定在概率附近，所以概率的大小可以通過數(shù)次試驗(yàn)得到的穩(wěn)定頻率去估計，但要注意頻率并不等同于概率。況且本例中試驗(yàn)的次數(shù)太少，所以不能把頻率作為概率的估計值。

拋擲一枚硬幣時，因?yàn)槊看卧囼?yàn)都有2種等可能的結(jié)果，而拋到正面朝上的只有1種，所以第21次時與前面每次情況一樣，正面朝上的概率都是

【正解】

二、概率計算公式不清易出錯

例2 相同方向行駛的兩輛汽車經(jīng)過同一個“T”字路口時，可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)。如果這兩種可能性大小相同，則這兩輛汽車經(jīng)過該路口時，都向右轉(zhuǎn)的概率是（ ）。

【錯解】D。

【剖析】有些同學(xué)錯誤地認(rèn)為，經(jīng)過同一個“T”字路口時，選擇一條路有向左轉(zhuǎn)、向右轉(zhuǎn)兩種結(jié)果，概率都是出現(xiàn)這種錯誤想法的根本原因是對等可能條件下概率的計算方法模糊不清，沒有考慮到所有等可能的結(jié)果數(shù)。

【正解】A。

畫樹狀圖剖析如下：

∵共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，都向右轉(zhuǎn)的只有1種結(jié)果，

三、試驗(yàn)次數(shù)分辨不清易出錯

例3 甲、乙、丙三位同學(xué)在操場上互相傳球，假設(shè)他們相互間傳球是等可能的，并且由甲首先開始傳球。

（1）經(jīng)過2次傳球后，球仍回到甲手中的概率是_______；

（2）請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求經(jīng)過3次傳球后，球仍回到甲手中的概率。

【錯解】（1

畫樹狀圖如下：

∵共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，經(jīng)過2次傳球后，球仍回到甲手中的有2種結(jié)果，∴P（球仍回到甲手中）=

（2）畫樹狀圖如下：

∵共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，經(jīng)過三次傳球，球仍回到甲手中的有2種結(jié)果，∴P（球仍回到甲手中）=

【剖析】（1）本題求解錯誤的同學(xué)不理解“甲首先開始傳球”的意義，想當(dāng)然地以為開始就傳給甲、乙、丙三人。如果我們可以設(shè)身處地地想一下，甲首先傳球的結(jié)果中是不可能再傳給自己的。

（2）有的同學(xué)不理解“三次傳球”的結(jié)果的意義，以為“甲首先開始傳球”就是一次了，其實(shí)這只是“甲開始傳球”，不是第一次傳出球的結(jié)果，這樣就不能正確畫出樹狀圖。

【正解】（1）畫樹狀圖為：

∵共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，經(jīng)過2次傳球后，球仍回到甲手中的有2種結(jié)果，∴P（球仍回到甲手中）=

（2）畫樹狀圖為：

∵共有8種等可能的結(jié)果數(shù)，經(jīng)過三次傳球，球仍回到甲手中的有2種結(jié)果，∴P（球仍回到甲手中）

四、是否放回未分辨易出錯

例4 三張外觀相同的卡片分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，從中隨機(jī)一次抽出兩張，這兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的概率是_______。

【錯解】

畫樹狀圖得：

∵共有9種等可能的結(jié)果，而兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的有4種結(jié)果，

【剖析】導(dǎo)致本題求解錯誤的原因是審題不清，忽略了問題中的一個重要條件“從中隨機(jī)一次抽出兩張”，有些同學(xué)不能很好地理解其含義，其類似于“從中隨機(jī)抽出一張不放回，再從剩下的抽出一張”，故在此條件下進(jìn)行試驗(yàn)，最后結(jié)果中不可能出現(xiàn)抽出的兩張卡片上的數(shù)字完全相同的情況。

【正解】畫樹狀圖得：

∵共有6種等可能的結(jié)果，而兩張卡片上的數(shù)字恰好都小于3的有2種結(jié)果，

五、實(shí)際應(yīng)用理解不當(dāng)易出錯

例5 湯姆斯杯世界男子羽毛球團(tuán)體賽小組賽比賽規(guī)則：兩隊(duì)之間進(jìn)行五局比賽，其中三局單打，兩局雙打，五局比賽必須全部打完，贏得三局及以上的隊(duì)獲勝。假如甲，乙兩隊(duì)每局獲勝的機(jī)會相同?，F(xiàn)甲隊(duì)在前兩局比賽中已取得2∶0的領(lǐng)先，那么甲隊(duì)最終獲勝的概率是多少？

【錯解】畫樹狀圖為：

∵共有4種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲至少勝一局的有3種結(jié)果，

【剖析】部分同學(xué)不理解此題中“五局比賽必須全部打完”“甲隊(duì)在前兩局比賽中已取得2：0的領(lǐng)先”的意義。有的同學(xué)認(rèn)為再打兩局，甲隊(duì)勝一局就勝，有的同學(xué)認(rèn)為再打三局，甲隊(duì)要全勝才最終勝，有的同學(xué)認(rèn)為要求5次的概率，太麻煩了……沒有真正理解在那樣的條件下，再打三局，只要找出甲至少勝一局的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解。

【正解】畫樹狀圖為：

∵共有8種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲至少勝一局的有7種結(jié)果，