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        備受青睞的概率結(jié)果
        ——P(B)=

        2019-12-16 03:06:36文眭亞燕
        初中生世界 2019年43期

        文眭亞燕

        “等可能條件下的概率”是初中數(shù)學(xué)概率部分的重點(diǎn),用畫樹(shù)狀圖法或列表法列舉所有等可能事件的結(jié)果來(lái)計(jì)算概率是學(xué)好本章的關(guān)鍵,也是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。本文以蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“等可能條件下的概率(一)”中的例4“摸球試驗(yàn)”為基本模型,以所求結(jié)果“P(B)=”為主線,讓同學(xué)們體會(huì)不同背景下蘊(yùn)含的相同數(shù)學(xué)本質(zhì)。

        【基本模型】蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“等可能條件下的概率(一)”中的例4(P136):

        圖1

        如圖1,一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球,這些球除顏色外都相同,攪勻后從中任意摸出1個(gè)球,記錄顏色后放回、攪勻,再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球,求兩次都摸到紅球的概率。

        【解析】本題考查的是用列表法或畫樹(shù)狀圖法求概率。列表法或畫樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件。

        解法一:把2個(gè)紅球編號(hào)為紅1、紅2,用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果:

        第二次結(jié)果白紅1紅2第一次白紅1紅2(白,白)(紅1,白)(紅2,白)(白,紅1)(紅1,紅1)(紅2,紅1)(白,紅2)(紅1,紅2)(紅2,紅2)

        由表格可知,共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們都是等可能的?!皟纱味济郊t球”記為事件B,它的發(fā)生有4種可能,所以事件B發(fā)生的概率即兩次都摸到紅球的概率是

        解法二:用樹(shù)狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,如圖2所示:

        圖2

        由樹(shù)狀圖可知,共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們都是等可能的。“兩次都摸到紅球”記為事件B,它的發(fā)生有4種可能,所以事件B發(fā)生的概率,即兩次都摸到紅球的概率是

        【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)步驟(例如摸兩個(gè)球)并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目不多時(shí),為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表法或畫樹(shù)狀圖法。解題時(shí)要注意此題屬于放回試驗(yàn)。

        一、用基本模型解決拋擲骰子問(wèn)題

        例1 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,求點(diǎn)數(shù)之積小于9的概率。

        圖3

        【解析】考慮到該試驗(yàn)涉及兩個(gè)步驟并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多,故選擇用列表法解決本題。

        解:用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果:

        結(jié)果第二次第一次1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 1 0 3 3 6 9 1 2 4 4 8 1 2 5 5 1 0 6 6 1 2 12 15 18 16 20 24 15 20 25 30 18 24 30 36

        由表格可知,共有36種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們都是等可能的?!包c(diǎn)數(shù)之積小于9”記為事件B,它的發(fā)生有16種可能,所以事件B發(fā)生的概率P(B),即點(diǎn)數(shù)之積小于9的概率是

        【點(diǎn)評(píng)】本題的試驗(yàn)背景雖然是“拋擲骰子”,解題方法也只是優(yōu)選了表格法,但依然可以得到結(jié)果——

        二、用基本模型解決轉(zhuǎn)盤游戲問(wèn)題

        例2 小剛與小亮一起玩一種轉(zhuǎn)盤游戲。如圖4是兩個(gè)完全相同的轉(zhuǎn)盤,每個(gè)轉(zhuǎn)盤分成面積相等的三個(gè)區(qū)域,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3。同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,任其自由停止。若兩指針?biāo)傅臄?shù)字和為奇數(shù),則小剛獲勝;否則,小亮獲勝。若指針恰好停在分界線上,則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,直到指針指向某一個(gè)數(shù)為止。問(wèn)在該游戲中小剛獲勝的概率是多少?

        圖4

        【解析】考慮到該試驗(yàn)涉及兩個(gè)步驟并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目不多,故選擇用畫樹(shù)狀圖法解決本題。

        解:用樹(shù)狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,如圖5所示:

        圖5

        由樹(shù)狀圖可知,共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們都是等可能的?!皟芍羔?biāo)傅臄?shù)字和為奇數(shù)”記為事件B,它的發(fā)生有4種可能,所以事件B發(fā)生的概率P(B)=即在該游戲中小剛獲勝的概率是

        【點(diǎn)評(píng)】本題的試驗(yàn)背景雖然是“轉(zhuǎn)盤游戲”,解題方法也只選用了畫樹(shù)狀圖法,但仍然可以得到結(jié)果——

        三、用基本模型解決乘坐公交問(wèn)題

        例3 小明周末要乘坐公交車到植物園游玩,從地圖上查找路線時(shí)發(fā)現(xiàn),幾條線路都需要換乘一次。在出發(fā)站點(diǎn)可選擇空調(diào)車X、空調(diào)車Y、普通車a,換乘站點(diǎn)可選擇空調(diào)車M、空調(diào)車N、普通車b,且均在同一站點(diǎn)換乘??照{(diào)車投幣2元,普通車投幣1元。求小明到達(dá)植物園恰好花費(fèi)4元公交費(fèi)的概率。(用畫樹(shù)狀圖法)

        【解析】該試驗(yàn)涉及兩個(gè)步驟并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目不多,按照常規(guī)解法既可以選擇列表法,也可以用畫樹(shù)狀圖法解決本題。但是本題末尾括號(hào)內(nèi)規(guī)定“畫樹(shù)狀圖法”,所以只能選擇畫樹(shù)狀圖法。

        解:用樹(shù)狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,如圖6所示:

        圖6

        由樹(shù)狀圖可知,共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們都是等可能的?!靶∶鞯竭_(dá)植物園恰好花費(fèi)4元公交費(fèi)”記為事件B,它的發(fā)生有4種可能,所以事件B發(fā)生的概率,即小明到達(dá)植物園恰好花費(fèi)4元公交費(fèi)的概率是

        【點(diǎn)評(píng)】本題的試驗(yàn)背景雖然是“乘坐公交”,解題方法也規(guī)定了只能用畫樹(shù)狀圖法,但依然可以得到結(jié)果——

        四、用基本模型自編一組概率問(wèn)題

        聰明的你能否也來(lái)編一組概率問(wèn)題,使得最終結(jié)果也為P(B)

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