朱東方，劉付成，黃 靜，孫祿君，黃庭軒

(1. 上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109；2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室·上?！?01109)

0 引 言

隨著空間遙感探測任務(wù)對高品質(zhì)載荷的需求不斷提升，航天器的結(jié)構(gòu)尺寸不斷趨向大型化發(fā)展。隨著航天器結(jié)構(gòu)尺寸的增大，傳統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)在質(zhì)量、體積和成本等方面的代價越來越大，并且由于機械展開式大型空間機構(gòu)有大量旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)或驅(qū)動機構(gòu)，使得其制造復(fù)雜和可靠性差。相對于傳統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)存在的上述弊端，采用形狀記憶復(fù)合材料(Shape-Memory-Polymer-based Composites，SMPC)的可展桁架結(jié)構(gòu)憑借其質(zhì)量小、形狀回復(fù)率大、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等優(yōu)點，在航空航天領(lǐng)域得到了迅速發(fā)展與應(yīng)用[1-3]。

同時，柔性可展桁架結(jié)構(gòu)的自由度高、構(gòu)型復(fù)雜、運行環(huán)境特殊，使得對其進行動力學(xué)分析時建模難度大、耗時耗力，且難以用于結(jié)構(gòu)的設(shè)計與振動控制。因此，建立復(fù)雜柔性可展桁架結(jié)構(gòu)的合理簡化模型是開展動力學(xué)分析與控制的關(guān)鍵之一。Noor等提出了空間周期性桁架結(jié)構(gòu)連續(xù)體等效模型研究方法[4-7]，基于能量等效原理，分別將梁式和板式的周期桁架單元等效為梁模型和板模型，得到了等效連續(xù)體模型的剛度和質(zhì)量系數(shù)，并通過靜力學(xué)、動力學(xué)和熱分析驗證了等效模型的精度。Lee運用能量等效原理將周期桁架結(jié)構(gòu)等效為考慮拉伸、剪切與彎曲之間耦合的Timoshenko梁模型，結(jié)合有限單元法推導(dǎo)等效連續(xù)梁結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量矩陣，并對其進行了結(jié)構(gòu)振動特性分析[8]。郭宏偉和楊慧等對直線式類梁桁架和環(huán)形類梁桁架進行了連續(xù)體模型等效，對其振動特性進行對比分析[9-10]。劉福壽等研究了環(huán)形周期桁架結(jié)構(gòu)的等效連續(xù)體模型，對環(huán)形桁架結(jié)構(gòu)面內(nèi)和面外的振動特性進行了分析[11]。雖然連續(xù)體等效建模可以對柔性桁架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性進行分析，但較難建立適用于含作動執(zhí)行機構(gòu)的智能桁架結(jié)構(gòu)主動振動控制器設(shè)計的動力學(xué)模型。為了建立上述模型，需要采用能夠保留局部作動執(zhí)行機構(gòu)特性的建模方法。模態(tài)綜合建模方法是將整體結(jié)構(gòu)按照一定策略進行分解，分析分解得到的多個子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動力學(xué)特性，然后將子結(jié)構(gòu)按照原始界面幾何連續(xù)原則進行裝配連接，根據(jù)子結(jié)構(gòu)間存在不獨立坐標得到動力學(xué)方程，最終建立整體結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型。由于模態(tài)變換過程中，針對各個子結(jié)構(gòu)僅選取少數(shù)模態(tài)進行綜合，因而通過子結(jié)構(gòu)方法降低整體結(jié)構(gòu)求解階數(shù)，既能提高計算效率，同時還可以對更大更復(fù)雜的模型進行仿真計算。Hurty于20世紀60年代首次提出固定界面模態(tài)綜合技術(shù)[12]，Craig和Bampton提出Craig-Bampton方法對Hurry的固定界面模態(tài)綜合技術(shù)進行改進[13]，目前自由界面模態(tài)綜合技術(shù)通常指Craig-Bampton方法。自由界面模態(tài)綜合技術(shù)由Hou S N于1969年提出，綜合過程中完全將高階模態(tài)忽略導(dǎo)致計算精度難以保證，Rubin在剩余柔度基礎(chǔ)上引入剩余慣性項，提出2階近似剩余模態(tài)綜合方程極大提高了計算精度[14]，王文亮等采用李茲法給出自由界面模態(tài)綜合方程[15]。楊文山等采用模態(tài)綜合方法研究了一種基于子結(jié)構(gòu)方法的艦艇整體結(jié)構(gòu)模態(tài)信息求解方法和水下爆炸載荷作用下沖擊環(huán)境預(yù)報技術(shù)[16]。

在建立了柔性結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型后，需要設(shè)計適用的控制器實現(xiàn)對其撓性振動抑制。主動振動抑制控制理論也是研究的重點，目前學(xué)者們已經(jīng)研究了許多控制方法可以有效地抑制大型柔性結(jié)構(gòu)的振動，例如混合正反饋(Hybrid Positive Feedback，HPF)控制設(shè)計[17]、正位置反饋(Positive Position Feedback，PPF)[18]、基于最小能量的控制器[19]、基于Lyapunov函數(shù)的非線性振動系統(tǒng)的控制方法[20]、極點-配置-積分諧振控制方法等[21]。隨著柔性結(jié)構(gòu)的尺度變大，控制元件的選擇和控制方法的合理設(shè)計是兩個影響抑振效果的主要因素。Wang等使用可控性指標對壓電執(zhí)行機構(gòu)-傳感器對的尺寸和位置進行了優(yōu)化[22]。Yang等采用最大化的能量耗散作為性能指標實現(xiàn)執(zhí)行機構(gòu)的優(yōu)化配置與系統(tǒng)的控制[23]。Liu等將閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣的空間H2范數(shù)作為執(zhí)行機構(gòu)優(yōu)化配置的性能指標[24]。Güney等提出了同時設(shè)計H∞控制器和優(yōu)化執(zhí)行機構(gòu)傳感器位置方法[25]。當(dāng)給定執(zhí)行機構(gòu)的優(yōu)化性能指標后，需要考慮如何求解最優(yōu)位置。不同的方法已經(jīng)用于求解最優(yōu)配置問題，如禁忌算法、粒子群算法、模擬退火算法、遺傳算法等。盡管Wang等使用粒子群算法實現(xiàn)了執(zhí)行機構(gòu)的最優(yōu)配置，但是粒子群算法在求解最優(yōu)配置問題中只能得到非凸函數(shù)的全局最優(yōu)解[26]。Sadri等使用遺傳算法得到了各向同性板上執(zhí)行機構(gòu)的優(yōu)化位置[27]。Sheng等研究了一系列的微型遺傳算法用于大量數(shù)目的執(zhí)行機構(gòu)的優(yōu)化配置問題，討論了微型遺傳算法在不同隨機種子產(chǎn)生器、不同算法重啟標準以及不同數(shù)目執(zhí)行機構(gòu)條件下的求解效果[28]。雖然上述研究方法針對典型結(jié)構(gòu)或典型問題目前已經(jīng)取得了相應(yīng)研究成果，但對于柔性可展桁架結(jié)構(gòu)的主動振動抑制問題需要開展針對性的研究。

本文針對采用形狀記憶復(fù)合材料的智能柔性可展桁架結(jié)構(gòu)，首先基于模態(tài)綜合的方法建立其整體動力學(xué)模型，然后采用動態(tài)滑模控制律設(shè)計主動振動控制器，并基于遺傳算法對作動執(zhí)行機構(gòu)的布局配置進行優(yōu)化，最后通過數(shù)值仿真驗證所設(shè)計方法的有效性和精度。

1 智能柔性可展桁架結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模

智能柔性可展桁架結(jié)構(gòu)是柔性可展桁架結(jié)構(gòu)與作動執(zhí)行機構(gòu)共同構(gòu)成。作動執(zhí)行結(jié)構(gòu)串接在柔性可展桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)部，主要是在柔性可展桁架結(jié)構(gòu)展開鎖定的狀態(tài)下工作；在保證柔性可展桁架結(jié)構(gòu)具備相應(yīng)剛度的基礎(chǔ)上，提供作動執(zhí)行力矩，實現(xiàn)對柔性可展桁架結(jié)構(gòu)撓性振動的主動抑制控制。

1.1 柔性可展桁架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型

柔性可展桁架結(jié)構(gòu)采用文獻[29]中的結(jié)構(gòu)形式，主要由復(fù)合材料縱梁、連接隔板、斜拉索和矩陣板構(gòu)成，橫截面為三角形，展開鎖定后的柔性桁架結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 柔性可展開桁架結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the integral structure

根據(jù)圖1中柔性可展桁架整體結(jié)構(gòu)的幾何特征可見，其結(jié)構(gòu)具有周期特性，單節(jié)桁架結(jié)構(gòu)可作為其周期胞元。對于超大尺度的柔性可展桁架結(jié)構(gòu)，為了建立適用于控制器設(shè)計的低階動力學(xué)模型，結(jié)合其周期性特征，采用固定界面模態(tài)綜合建模方法。單節(jié)桁架結(jié)構(gòu)采用有限單元法對結(jié)構(gòu)進行離散化(見圖2)，將連接界面的交界面節(jié)點自由度定義為界面自由度，將其余節(jié)點統(tǒng)稱為內(nèi)部節(jié)點，相關(guān)自由度定義為內(nèi)部自由度。

圖2 單節(jié)桁架結(jié)構(gòu)有限單元法離散后節(jié)點定義Fig.2 The nodes of a single truss structure discretized by the finite element method

(1)

其中(1)m和(1)k分別為質(zhì)量矩陣與剛度矩陣。

為了建立低階模型，將物理坐標(1)u變換到模態(tài)坐標(1)p，并選擇交界面節(jié)點的物理坐標作為廣義坐標，則采用模態(tài)坐標描述為

(2)

在(1)ΦN中略去對系統(tǒng)響應(yīng)貢獻度較小的高階模態(tài)，僅保留k階主模態(tài)(1)Φk時，自由度減縮后的變換為

(3)

其中，固定界面主模態(tài)(1)Φk可通過求解界面固定狀態(tài)下的單節(jié)桁架結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程得到，約束模態(tài)(1)ΨIJ可通過逐一釋放界面自由度使其產(chǎn)生單位位移而得到的各組靜態(tài)變形構(gòu)成。

將式(3)代入式(1)，建立單節(jié)桁架結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標方程為

(4)

(5)

根據(jù)界面位移協(xié)調(diào)條件(i)uJ=(i+1)uJ，則柔性可展開桁架結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標可轉(zhuǎn)換為

(6)

其中，T2為波爾矩陣，(c)uJ表示所有子結(jié)構(gòu)各界面中的獨立節(jié)點坐標向量。

p=T1T3q

(7)

根據(jù)式(4)和式(7)，可以建立由各子結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程組裝成的總體動力學(xué)方程為

(8)

其中，

1.2 作動執(zhí)行機構(gòu)的動力學(xué)模型

作動執(zhí)行機構(gòu)提供兩個方向的控制力矩，實現(xiàn)對柔性可展開桁架結(jié)構(gòu)彎曲振動形態(tài)的主動控制。作動執(zhí)行機構(gòu)的原理圖和結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

(a)原理圖

(b)結(jié)構(gòu)圖圖3 作動執(zhí)行機構(gòu)的原理圖與結(jié)構(gòu)圖Fig.3 The schematic and structural drawings of the actuator

根據(jù)圖3中定義，建立作動執(zhí)行機構(gòu)的力矩平衡方程為

(9)

其中，M表示音圈電機產(chǎn)生的力矩，J表示動平臺轉(zhuǎn)動慣量，θ表示動平臺轉(zhuǎn)動角度，c表示系統(tǒng)阻尼系數(shù)，mc表示電機動子質(zhì)量，l表示轉(zhuǎn)動力臂，x表示電機運動距離。

結(jié)合音圈電機原理，建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(10)

其中，c′表示音圈電機阻尼系數(shù)，Km表示音圈電機驅(qū)動力系數(shù)，Ks表示電機力常數(shù)，R表示電阻，k表示系統(tǒng)剛度，I表示線圈中的電流。

由于作動執(zhí)行機構(gòu)轉(zhuǎn)動角度非常小，采用線性近似關(guān)系tan(θ)≈θ。由式(9)和式(10)，建立作動執(zhí)行機構(gòu)單自由度傳遞函數(shù)為

(11)

同理，可以建立作動執(zhí)行機構(gòu)另外一個自由度的傳力函數(shù)。

1.3 智能柔性可展桁架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型

對于智能柔性可展桁架結(jié)構(gòu)，是將作動執(zhí)行機構(gòu)安裝在柔性可展桁架結(jié)構(gòu)內(nèi)部，提供相應(yīng)的控制力矩。根據(jù)式(8)和式(11)，建立智能柔性可展桁架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型為

(12)

其中，F(xiàn)c表示作動執(zhí)行機構(gòu)的控制力矩，F(xiàn)表示柔性可展桁架結(jié)構(gòu)所受外部激勵作用。

2 智能柔性可展桁架結(jié)構(gòu)主動振動控制器設(shè)計

(13)

其中，A=-M-1K，B=M-1。

為了提高主動振動控制器的魯棒性，更好地適應(yīng)系統(tǒng)未建模動態(tài)的影響，采用魯棒性較強的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計控制律。為了降低滑模變結(jié)構(gòu)切換控制律的高頻切換抖動影響，采用動態(tài)滑模控制理論設(shè)計控制器，將不連續(xù)項轉(zhuǎn)移到控制的一階導(dǎo)數(shù)中，從而得到在時間上本質(zhì)連續(xù)的動態(tài)滑?？刂坡?。

定義系統(tǒng)的誤差和切換函數(shù)分別為

(14)

則

(15)

構(gòu)造新的動態(tài)切換函數(shù)為

(16)

根據(jù)到達條件，采用等速趨近律，設(shè)計系統(tǒng)的動態(tài)滑模控制律為

(17)

將控制律(17)積分，可以得到系統(tǒng)(13)的動態(tài)滑模變結(jié)構(gòu)控制律，然后結(jié)合式(11)可以獲得作動執(zhí)行機構(gòu)的實際輸出力矩。

3 作動執(zhí)行機構(gòu)布局優(yōu)化配置

在柔性可展桁架結(jié)構(gòu)復(fù)合材料縱梁的折疊約束下，為了保證作動執(zhí)行機構(gòu)的輸出能力，將作動執(zhí)行機構(gòu)安裝柔性可展開桁架子結(jié)構(gòu)連接的交界面節(jié)點處。為了實現(xiàn)作動執(zhí)行機構(gòu)最少的數(shù)量對柔性可展開桁架結(jié)構(gòu)的主動振動控制，需要對作動執(zhí)行機構(gòu)的位置進行布局優(yōu)化配置。

為了反映控制器增益、作動執(zhí)行機構(gòu)位置及數(shù)目與柔性可展桁架機構(gòu)振動控制性能間的影響關(guān)系，設(shè)計系統(tǒng)的線性二次型性能指標函數(shù)為

(18)

其中，Q和R分別為半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣和正定的控制輸入加權(quán)矩陣。

式(18)表示系統(tǒng)的能量主要由兩部分組成，第一項為結(jié)構(gòu)振動能量，第二項為控制能量。通過求解系統(tǒng)狀態(tài)的Riccati方程，可以得到系統(tǒng)(13)的控制律為

Fc=-KX(t)=-R-1BTPX(t)

(19)

其中，P為如下Riccati方程(22)的正定解。

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(20)

當(dāng)初始條件為X(0)時，t時刻方程的解為

(21)

將式(19)和式(21)代入式(18)可得

(22)

在最小化性能指標約束下，通過求解Riccati方程，可同時實現(xiàn)控制增益和作動器布局優(yōu)化配置。但由于性能指標函數(shù)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有直接關(guān)系，可能會影響最終的優(yōu)化結(jié)果，所以假定系統(tǒng)的初始狀態(tài)是在n維單位球上均勻分布的隨機量，用性能指標函數(shù)的平均值作為目標函數(shù)進行計算，以避免系統(tǒng)初始狀態(tài)的影響。

則式(22)可轉(zhuǎn)化為

(23)

對于優(yōu)化問題(23)，可采用遺傳優(yōu)化算法等多種智能優(yōu)化算法進行求解。

4 仿真研究

選擇4節(jié)桁架子結(jié)構(gòu)構(gòu)成的桁架結(jié)構(gòu)作為仿真對象，桁架結(jié)構(gòu)的幾何尺寸參數(shù)和材料屬性參數(shù)如表1和表2所示。

表1 桁架結(jié)構(gòu)的幾何尺寸參數(shù) Tab.1 Geometrical parameters of truss members

表2 桁架結(jié)構(gòu)的材料屬性參數(shù)Tab.2 Material parameters of truss members

根據(jù)上述參數(shù)，采用1節(jié)中的建模方法，每個子結(jié)構(gòu)保留7階主模態(tài)，建立懸臂態(tài)的4節(jié)桁架結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型。然后將4個子結(jié)構(gòu)的12個連接交界面節(jié)點處均作為初始候選位置，選擇5個最優(yōu)位置，采用遺傳優(yōu)化算法進行優(yōu)化配置。優(yōu)化后的作動執(zhí)行機構(gòu)的布局優(yōu)化配置圖如圖4所示。

圖4 作用執(zhí)行機構(gòu)布局優(yōu)化初始位置(紅點位置)與優(yōu)化位置圖(黑點位置)Fig.4 Optimized initial position (red spot position) and optimized position (black spot position) of actuators

優(yōu)化后最優(yōu)適應(yīng)度值與平均適應(yīng)度值收斂如圖5所示。

圖5 最優(yōu)適應(yīng)度值與平均適應(yīng)度值收斂曲線Fig.5 Convergence curve of optimal fitness value and average value

根據(jù)優(yōu)化的作動執(zhí)行機構(gòu)位置，在4節(jié)桁架結(jié)構(gòu)的自由端頂點前1s施加50N與矩形板法線平行的階躍干擾力，采用動態(tài)滑?？刂坡?17)，進行閉環(huán)控制仿真。

圖6 無控制下柔性桁架結(jié)構(gòu)自由端節(jié)點位移響應(yīng)Fig.6 Displacement response of free end node of flexible truss structure without control

圖7 不同數(shù)量作動執(zhí)行機構(gòu)作用時柔性桁架結(jié)構(gòu)自由端節(jié)點位移響應(yīng)Fig.7 Displacement response of free end node of flexible truss structure with different actuating actuators

從圖6和圖7對比可以看出，采用作動執(zhí)行機構(gòu)實施主動控制作用時，能夠快速衰減柔性桁架結(jié)構(gòu)的撓性振動，并且能夠有效地降低干擾作用產(chǎn)生的振動的幅值。從圖7中不同數(shù)量作動執(zhí)行機構(gòu)作用下柔性桁架結(jié)構(gòu)的響應(yīng)對比可以看出，經(jīng)過布局優(yōu)化配置后，僅采用5個作動執(zhí)行機構(gòu)即可實現(xiàn)與所有作動執(zhí)行機構(gòu)全部工作時相當(dāng)?shù)目刂菩Ч炞C了布局優(yōu)化算法的有效性。

5 結(jié) 論

本文針對柔性可展桁架結(jié)構(gòu)的主動振動控制問題，采用模態(tài)綜合方法、動態(tài)滑?？刂品椒ê瓦z傳算法等提出一種主動振動控制器設(shè)計方法。主要結(jié)論如下：

(1)根據(jù)柔性可展桁架結(jié)構(gòu)的周期性幾何特征，采用模態(tài)綜合方法在建立周期胞元單節(jié)桁架結(jié)構(gòu)的降階模型基礎(chǔ)上，基于固定界面協(xié)調(diào)條件，綜合建立整體桁架結(jié)構(gòu)適用于控制器設(shè)計的低階模型；進而建立作動執(zhí)行機構(gòu)的動力學(xué)模型，建立智能柔性可展桁架結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型。

(2)針對柔性可展桁架結(jié)構(gòu)易受到外部干擾影響問題，設(shè)計了魯棒性強的動態(tài)滑模控制器，將不連續(xù)切換項引入到控制的一階導(dǎo)數(shù)，大大削弱了控制作用的高頻抖動。

(3)設(shè)計了作動執(zhí)行機構(gòu)布局優(yōu)化配置的線性二次型性能指標函數(shù)，采用遺傳算法獲得了最優(yōu)安裝位置。

(4)仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的主動振動控制器保證了系統(tǒng)的魯棒性，達到了控制要求，具有較好的工程應(yīng)用前景。