董瑞琦，吳愛國，張 穎，賀 亮

(1. 哈爾濱工業(yè)大學 機電工程與自動化學院·深圳·518055；2. 上海航天控制技術研究所·上?！?01109)

0 引 言

姿態(tài)穩(wěn)定控制律設計是航天器控制系統(tǒng)設計最重要的一部分，為了滿足姿態(tài)控制系統(tǒng)設計的高精度、高穩(wěn)定度的要求[1]，很多控制方法被提出，比如比例微分(Proportion Differentiation，PD)控制算法[2]、滑?？刂品椒╗3]以及自適應律[4]。

滑?？刂坡?Sliding Mode Control, SMC)是一種非線性控制策略，由于它自身的強魯棒性和易實現(xiàn)性，吸引了很多學者的注意。實際上，滑?？刂坡蛇€具有對于模型匹配不確定性以及外部干擾的不敏感性[5]等優(yōu)點。因此，滑?？刂坡杀粡V泛應用于航天器姿態(tài)控制律設計中。在文獻[6]中，通過解一個簡化模型的最優(yōu)控制問題，提出了滑模控制律。該文基于姿態(tài)角速度和姿態(tài)角信息構造了最優(yōu)的切換面。為了進一步提高到達滑模面過程中系統(tǒng)狀態(tài)的瞬態(tài)響應，文獻[7]提出了光滑的模型參考滑?？刂坡?。在文獻[8]中，滑模控制律用于解決航天器的姿態(tài)跟蹤問題。為了處理滑模控制律的抖振問題，文獻[9]針對剛體航天器設計了高階滑模控制律。文獻[10]針對撓性航天器設計滑模姿態(tài)控制律。

前述的滑模控制律包含兩個部分：由被控系統(tǒng)的名義部分推導得到的等效控制，以及處理系統(tǒng)的不確定性和外部干擾的控制項。并且上述文獻中提出的算法在設計滑?？刂坡蛇^程中，要求由系統(tǒng)不確定性和外部干擾構成的函數的上界可以得到。然而，在實際應用中，這個函數的上界很難得到。因此，解決該問題非常保守的辦法就是選擇一個非常大的切換增益，以保證設計的控制律對于系統(tǒng)的不確定和干擾有足夠的魯棒性。然而，非常大的控制增益會激發(fā)抖振，甚至導致航天器姿態(tài)系統(tǒng)失穩(wěn)[11]。目前，有兩種主要的策略可以解決不確定性和干擾上界未知的問題。一種方法是利用文獻[12]描述的干擾觀測器方法，利用該方法設計控制律時，通常假設干擾和模型的不確定性由線性外源性系統(tǒng)引發(fā)[13]。由于參數不確定性和干擾很難預測，因此該條件在實際應用中很難滿足。另一種方法是利用參數自適應策略。通過假設不確定性上界與系統(tǒng)狀態(tài)線性相關，文獻[14]提出了兩種自適應滑模控制律。但是，該文獻中構造的滑模函數是非連續(xù)的，不連續(xù)的滑模函數可以引起抖振。為了減弱抖振問題，文獻[15]對滑模面設計了一個邊界層，并且提出基于改進自適應律的滑?？刂坡?。此外，自適應滑?？刂品椒ū挥糜谔幚聿淮_定撓性航天器的魯棒姿態(tài)控制問題[16]。

上述提到的研究都是針對剛體航天器設計姿態(tài)控制律。然而，現(xiàn)代航天器攜帶大型的、復雜的輕質材料，比如太陽能電池板、天線等，因此現(xiàn)代航天器都是撓性的。航天器的這些撓性結構通常會有低頻的振動模態(tài)[1]。這些振動模態(tài)可能會導致一系列問題包括姿態(tài)控制精度，甚至會導致系統(tǒng)失穩(wěn)。此外，當航天器在軌運行時，材料消耗、撓性附件的伸展和收縮都可能會影響系統(tǒng)的轉動慣量。因此，撓性航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)設計必須要考慮轉動慣量不確定性。

本文是會議論文[17]的修改提高版本。本文內容安排如下：首先，簡單介紹撓性航天器系統(tǒng);其次，利用可獲得的姿態(tài)信息構造了部分狀態(tài)觀測器估計撓性航天器的撓性模態(tài)；再次，利用姿態(tài)信息設計滑模面，并且設計自適應律估計由不確定性和外部干擾組成的函數的上界；最后，利用Lyapunov穩(wěn)定理論設計了可以鎮(zhèn)定閉環(huán)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的自適應滑模姿態(tài)控制律。此外，采用本文設計的控制律和現(xiàn)有方法對一個撓性航天器進行對比試驗。

1 數學模型的建立

1.1 數學模型

本文采用單位四元數描述撓性航天器的姿態(tài)，得到如下航天器姿態(tài)運動學方程：

(1)

式中：q0和qv=[q1q2q3]T∈R3分別為單位四元數q的標量部分和向量部分；ω=[ω1ω2ω3]T∈R3為航天器本體角速度；T(q0,qv)為

(2)

其中，I3為3*3的單位矩陣，對于任意的向量x=[x1x2x3]T∈R3，x*的定義為：

(3)

顯然，對于任意的三維向量x，x*是一個反對稱矩陣。并且，單位四元數滿足如下的約束：

(4)

假設撓性附件的彈性形變很小[18]，利用歐拉定理，得到如下?lián)闲院教炱鞯淖藨B(tài)動力學方程[19]：

(5)

式中：Jmb為撓性航天器剛體部分的轉動慣量；Φ∈R3*4為撓性附件與航天器主體之間的耦合矩陣，用以描述撓性附件對航天器本體的影響；η為撓性附件的位移向量；ψ為中間變量；u為作用在航天器主體上面的外部輸入力矩；d為作用在航天器上的外部干擾力矩；C,K分別為撓性航天器的阻尼矩陣和剛性矩陣。針對本模型，考慮N階撓性模態(tài)，并且C,K為：

(6)

其中，ωni,i=1,2，…,N和ζi,i=1,2，…,N分別為自然頻率和阻尼系數。

注1：本文將文獻[20]中剛體航天器的結果推廣至撓性航天器。類似地，針對撓性航天器系統(tǒng)(5)，為了避免矩陣T(q0,qv)在q0=0時發(fā)生奇異，本文中對撓性航天器的工作區(qū)間給出如下約束：

(7)

下面引理給出矩陣T(q0,qv)的性質。

引理1[19]：針對矩陣T(q0,qv)，有下述關系式成立：

(8)

式中：x=[x1x2x3]T∈R3為任意一個三維列向量。

1.2 問題描述

2 主要結果

本節(jié)首先構造部分狀態(tài)觀測器估計不可測的撓性模態(tài)(η,ψ)。然后，基于姿態(tài)四元數q和姿態(tài)角速度ω設計滑模函數。其次，為了估計轉動慣量不確定性和外部干擾組成的函數的上界，提出自適應律。最后，推導帶有轉動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器的動態(tài)自適應滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。

2.1 撓性模態(tài)觀測器

為了估計不可測的撓性模態(tài)，構造下述撓性模態(tài)觀測器，

(9)

式中：矩陣P為下述Lyapunov方程的解

其中，矩陣Q滿足Q=QT>0。

利用構造的撓性模態(tài)觀測器(9)可以得到撓性模態(tài)位移的估計，利用估計得到的撓性模態(tài)信息，接下來設計撓性航天器(5)的動態(tài)自適應滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。

2.2 基于部分狀態(tài)觀測器的自適應滑模控制律

針對撓性航天器(5)，假設姿態(tài)四元數q和姿態(tài)角速度ω可測，我們將要設計動態(tài)自適應滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。首先，構造如下的滑模函數：

s=ω+Gqv

(10)

式中：G為3*3的對稱正定常數矩陣。接下來，通過下述定理給出構造的滑模函數的有效性，即證明姿態(tài)四元數q和姿態(tài)角速度ω在滑模面s=0上可以滑動至0。

定理1針對帶有轉動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器系統(tǒng)(5)，當系統(tǒng)的姿態(tài)四元數q和姿態(tài)角速度ω限制在滑模面s=0上時，系統(tǒng)的狀態(tài)最終趨于0。

證明：首先，選擇下述的Lyapunov函數：

(11)

利用條件s=0，以及引理1，可得

(12)

定理1證畢。

基于上述構造的滑模面，下面將要設計撓性航天器的動態(tài)自適應滑?？刂坡?。考慮下述形式的狀態(tài)反饋控制律：

u=ueq+ud+uh

(13)

(14)

通過撓性航天器系統(tǒng)(5)的第二個方程可得名義系統(tǒng)如下：

ΦT(Cψ+Kη-CΦω)+u]

(15)

將上述表達式和系統(tǒng)(5)的第一個方程代入(14)，可得ueq

ueq=ω*(Jmb0ω+ΦTψ)-ΦT(Cψ+Kη-

(16)

(17)

為了設計控制項ud，首先給出函數?的定義如下，

(18)

(19)

式中：函數ρ(t,ω)僅與姿態(tài)變量ω有關，而與ΔJ、d無關。

假設1：假設存在正數c0、c1使得下述等式成立：

(20)

基于上述假設，設計控制項ud如下：

(21)

(22)

最后，設計控制項uh如下：

uh=-Ws-DF(s)

(23)

式中：W、D均為正定對角矩陣，矩陣F為

(24)

總結前述推導，可以得到下述基于部分狀態(tài)觀測器動態(tài)自適應滑?？刂坡?，

(25)

接下來，通過下述定理驗證所設計的基于部分狀態(tài)觀測器的動態(tài)自適應滑?？刂坡傻挠行?。

定理2針對存在未知上界的轉動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器系統(tǒng)(5)，首先定義下述撓性模態(tài)觀測誤差：

(26)

采用動態(tài)自適應滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律(25)，撓性模態(tài)的觀測誤差eη、eψ以及切換函數s最終趨于0。

證明：選擇如下的Lyapunov函數：

V2(t)=V3(t)+V4(t)

式中：

(27)

(28)

對(27)和(28)分別求導可得：

(29)

(30)

將式(5)中的第一個等式和第二個等式代入(29)中可得，

(31)

(32)

根據式(18)和(26)可得：

ΦTKeη)+sT(?+ud)

(33)

通過利用式(21)可得，

(34)

利用式(20)和(22)，可得，

(35)

結合式(22)，可得，

(36)

對式(28)求導，并結合式(9)可得，

(37)

結合式(36)和(37)可得，

(38)

這表明，滑模函數最終趨于滑模面s=0，并且撓性模態(tài)的觀測誤差eη、eψ最終趨于0。證畢。

本文中提出的動態(tài)自適應滑模控制律適用于存在轉動慣量不確定性和外部干擾的航天器撓性模態(tài)不可測時的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題，并且該控制律不需要已知轉動慣量不確定性和外部干擾的上界。

3 仿真分析

為了驗證控制器(25)的有效性，參考文獻的仿真算例，將航天器各參數選取如下：

撓性航天器的名義轉動慣量的標稱值Jmb(kg·m2)為：

撓性附件與剛體之間的耦合矩陣Φ(kg1/2·m)為：

此外，考慮前四階撓性附件的振動頻率為：

ωn1=0.7681rad/s,ωn2=1.1038rad/s
ωn3=1.8733rad/s,ωn4=2.5496rad/s

和前四階撓性附件的振動阻尼為：

ζ1=0.005607,ζ2=0.00862
ζ3=0.01283,ζ4=0.02516

姿態(tài)四元數的初始值為：

q0(0)=0.173648

在仿真中，角速度的初始值設為：

撓性航天器撓性模態(tài)變量的初始值為：

ηi=0.001,ψi=0.001,i=1,2,3,4

外界干擾信號d為：

10-3(N·m)

控制器的可調參數選取為

G=diag{0.5,0.5,0.5},l0=5,l1=5
W=20I3*3,D=5I3*3,Q=2I3*3

考慮撓性航天器的旋轉角度為160°，歐拉軸為：

機動目標為：在40s內使撓性航天器從初始狀態(tài)機動到目標狀態(tài)，并且有效地抑制振動。

與文獻[21]中定理2提出的控制律(在本文中稱為Controller A)對比的仿真結果在圖1中。其中，實線代表本文提出的動態(tài)自適應滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律(Dynamical Adaptive Sliding Mode Control, DASMC)，藍色虛線代表文獻[21]中提出的Controller A。

通過總結仿真結果可得，本文提出的動態(tài)自適應滑?？刂坡刹粫a生抖振，并且在有限時間內可以鎮(zhèn)定撓性航天器系統(tǒng)。

(a)撓性模態(tài)位移響應

(b)控制力矩響應曲線

(c)姿態(tài)四元數響應

(d)姿態(tài)角速度響應圖1 DASMC控制律與 Controller A比較Fig.1 Comparison of DASMC law and controller A

4 結 論

本文主要研究了存在轉動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題，并設計基于觀測器的動態(tài)自適應滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。

本文設計的控制律不需要轉動慣量不確定性以及外部干擾的先驗知識，并且還適用于撓性模態(tài)不可測的情況。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析了撓性航天器閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。另外，通過將所設計的控制律運用于四階撓性模態(tài)撓性航天器系統(tǒng)中，驗證了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂性。