張桀睿，聶欽博，于常利，夏紅偉，馬廣程，王常虹

(1.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院·哈爾濱·150001;2.上海航天控制技術研究所·上?！?01109)

0 引 言

隨著空間技術的發(fā)展，大型化、低剛度和撓性化已成為現(xiàn)代航天器發(fā)展的一個重要趨勢。撓性附件的彈性振動導致姿態(tài)振蕩甚至導致衛(wèi)星姿態(tài)發(fā)散的事故在歷史上有很多例子。因此，為了避免相應事故的發(fā)生，確保航天任務的萬無一失，研究撓性結構對衛(wèi)星主體的影響,在地面上進行物理仿真實驗具有重大的意義。美國航天局[1]、荷蘭的歐洲空間技術研究中心[2]、北京控制工程研究所[3]、哈爾濱工業(yè)大學[4-6]等研究機構均研制了地面全物理仿真平臺，研究撓性結構對衛(wèi)星主體的影響。

關于撓性結構抑制研究中需要解決一系列問題，比如：將反饋控制環(huán)節(jié)設計在什么位置能夠取得較好的撓性振動抑制效果；如何消除重力場及工作環(huán)境的影響；怎樣對撓性桁架進行數學建模[7-9]。結合桁架結構在實際工作中的情況，本文針對一類典型低頻大撓性桁架結構[10]開展研究，設計了一種衛(wèi)星大撓性結構抑制技術地面試驗系統(tǒng)，給出了撓性抑制算法，并通過仿真驗證了方法的有效性。

1 整體方案設計

1.1 系統(tǒng)主動控制方案設計

針對類似圖1的一類低頻大撓性桁架系統(tǒng)[7]，本文的控制思想為：在大撓性桁架結構的連接處將其離散為有限個子系統(tǒng)，利用模態(tài)分析方法建立系統(tǒng)模型，控制器同時控制每個子系統(tǒng)，通過優(yōu)化所選取的子系統(tǒng)的位置和數目，給出最優(yōu)的控制方案。

桁架結構子系統(tǒng)的主動控制結構圖如圖2所示。將傳感器和執(zhí)行機構放置在適當的連接結構處構成閉環(huán)控制環(huán)節(jié)，不同連接結構處的閉環(huán)控制環(huán)節(jié)對不同的振型有控制作用。在本系統(tǒng)中，被控對象是低頻大撓性桁架結構的某個桁架節(jié)點；傳感器是加速度計和陀螺儀，將其測量出的物理量轉換成該節(jié)點處的振動線位置和振動角位置；選用伺服電機作為執(zhí)行機構來抑制該節(jié)點的振動。桁架結構的撓性振動得到抑制的表現(xiàn)是：當圖1中系統(tǒng)的期望輸入為零時，受到激勵后，各節(jié)點處的振動位置曲線趨于零。

圖1 低頻大撓性桁架結構Fig.1 Low frequency large flexible structure

圖2 桁架結構子系統(tǒng)主動控制結構圖Fig.2 Active control structure diagram of truss structure subsystem

1.2 重力補償方案設計

航天器的實際工作環(huán)境中并不存在重力，但地面仿真實驗環(huán)境卻存在重力場的問題。在對桁架模擬件進行地面仿真實驗時，可以通過懸掛系統(tǒng)來實現(xiàn)對重力的補償。

結合對國內外撓性結構抑制技術研究現(xiàn)狀的分析，考慮到項目中的具體要求，通過有限元分析方法對比各種方案，本文采取將撓性梁主體豎直懸掛在固定邊界上的方式(如圖3所示)。與水平懸掛(支撐)的方式相比，豎直方向的懸掛方式能夠模擬桁架結構在兩個自由度上的撓性振動，更好地模擬航天器的實際工作環(huán)境。

圖3 懸掛方式示意圖Fig.3 Schematic diagram of suspension mode

1.3 地面驗證系統(tǒng)組成

為了模擬太空環(huán)境，減小外界環(huán)境對撓性桁架的影響，將撓性桁架放置于真空室中，工作人員在控制室對系統(tǒng)進行管控。通過MATLAB/xPC Target的雙機運行模式和以太網連接實現(xiàn)無線通信。能夠將控制算法無線下載到控制器中，實時監(jiān)測系統(tǒng)狀態(tài)，實時修改系統(tǒng)控制參數。

撓性模擬系統(tǒng)結構示意圖如圖4所示(以豎直向下方向為Z軸，根據右手定則建立坐標系)。撓性桁架系統(tǒng)主要由撓性梁主體，基于H型平臺的激勵發(fā)生裝置，基于十字軸式萬向節(jié)的二自由度力矩電機組以及基于十字導軌的二自由度伺服電機組以及陀螺儀、加速度計組成。

圖4 系統(tǒng)結構示意圖Fig.4 Schematic diagram of system structure

激勵發(fā)生裝置位于①處，結構如圖5所示，是一個H型的直線電機二維運動平臺，由三臺直線電機和三條導軌組成，由直線電機3的導軌構成X軸，直線電機1、2的導軌構成Y軸。直線電機1與直線電機2的運動高度同步，電機與梁有一定的承重性能。

圖5 激勵發(fā)生裝置示意圖Fig.5 Schematic diagram of excitation generator

研究表明，當只在一對連接位置處施加控制作用時，在取得相近的振動抑制效果的前提下，在距離固定支撐位置越遠的地方，所施加的控制力矩越??；而設置兩對或兩對以上反饋控制環(huán)節(jié)與設置一對反饋控制環(huán)節(jié)相比，振動抑制效果相同，但增加反饋控制環(huán)節(jié)的數目能夠減小反饋作用力矩，在實際系統(tǒng)中可以解決執(zhí)行機構輸出飽和的問題[11]。因此，本文在分析桁架振型特點和執(zhí)行機構輸出能力的基礎上，設計了基于十字軸式萬向節(jié)的二自由度力矩電機組和基于十字導軌的二自由度伺服電機組作為執(zhí)行機構，并將其放置在撓性梁主體的相應位置上[12]。

二自由度力矩電機組位于②處。十字軸結構如圖6所示，4個力矩電機分別安裝在十字軸的兩個相互垂直的方向上(如圖7所示)，與④處(頂部)的二自由度陀螺儀形成閉環(huán)(與⑤處的配重塊對應)。要求每兩個相對方向的力矩電機運動高度一致，該機構能夠輸出繞X軸、Y軸轉動的二自由度力矩。

圖6 十字軸結構Fig.6 Cross-axis structure

圖7 力矩電機安裝示意圖Fig.7 Drawing for installation of torque motor

二自由度伺服電機組位于③處，如圖8所示，由兩個導軌和兩個伺服電機組成(每個伺服電機配備一個加速度計進行閉環(huán)控制)，可以輸出兩自由度的力。

圖8 二自由度伺服電機組示意圖Fig.8 Schematic diagram of two-degree-of-freedom servo motor unit

二自由度伺服電機組在撓性桁架上的安裝如圖9所示。

圖9 二自由度伺服電機組安裝示意圖Fig.9 Installation schematic diagram of two-degree-of-freedom servo motor set

位于④處(底部)的加速度計和陀螺儀計算撓性桁架底部的運動狀態(tài)，以此檢驗振動抑制效果。至此，本文給出了衛(wèi)星大撓性結構抑制技術地面驗證系統(tǒng)的整體方案設計。

2 基于模態(tài)分析方法的數學建模

2.1 撓性桁架的有限元模型

對低頻大撓性桁架結構的振動進行抑制的前提是建立描述撓性結構振動的數學表達方式。本文利用有限元分析方法[13-14]建立某型號撓性桁架的有限元模型[15]。建立系統(tǒng)的振動微分方程并進行解耦。

2.2 多自由度系統(tǒng)的振動微分方程

對于單個撓性桁架節(jié)點，即單自由度彈性-阻尼系統(tǒng)，有

(1)

其中m為質點質量，u為質點位移，c為阻尼系數，k為彈性系數，f為合外力。

將其推廣至多個桁架節(jié)點，即多自由度彈性-阻尼系統(tǒng)，有

(2)

其中M為質量矩陣，C為阻尼矩陣，K為剛度矩陣，u為位移向量，f為合外力向量。

由于式(2)的常微分方程組中各個微分方程相互耦合，無法得到傳遞函數。因此，要將此微分方程組解耦。

2.3 多自由度系統(tǒng)振動微分方程的解耦坐標變換

對于線性時不變的n自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)任一點i的響應u均可表示為各階模態(tài)值與模態(tài)坐標向量q的乘積，即各階模態(tài)在這個位置產生的響應的線性疊加。

系統(tǒng)響應u和模態(tài)坐標向量q有式(3)的關系。

u=Φq

(3)

(4)

(5)

Φ為模態(tài)矩陣。由n個測點的振型值所組成的列向量φi，是第r階模態(tài)向量。

將式(3)代入式(2)中，有

(6)

忽略阻尼影響，有

(7)

根據模態(tài)振型的正交性質，有

ΦTMΦ=E

(8)

(9)

將式(8)、式(9)代入式(7)，有

(10)

實現(xiàn)了多自由度系統(tǒng)振動微分方程的解耦。

某型號撓性桁架部分模態(tài)振型特征參數如表1所示[15]。

表1 某型號撓性桁架部分模態(tài)振型Tab.1 Partial modal modes of a certain type of flexible truss

取6個集中質量點，2個振動模態(tài)0.90Hz、0.91Hz進行分析，代入式(10)即可得到式(11)、(12)的系統(tǒng)振動微分方程。

《兒子與情人》主要描寫了主人公保羅和他的母親莫瑞爾太太、他的初戀情人米麗安以及情人克拉拉三個女人之間的情感糾葛。其中，保羅與后兩者的戀愛故事，充分展現(xiàn)了勞倫斯對人類兩性之間的精神之愛與肉體之愛的深刻思索。

(11)

(12)

本節(jié)對撓性桁架模型進行了簡化分析，建立了完整的數學模型，下一節(jié)給出控制器的設計方法。

3 控制算法設計及仿真驗證

3.1 比例-微分-積分控制律設計

在工程實際中，應用最為廣泛的控制律就是比例-微分-積分(Proportion-Integral-Differential，PID)控制率。根據上一節(jié)推導出的數學模型，進行拉普拉斯變換得到系統(tǒng)的傳遞函數，搭建PID控制律數學仿真模型，仿真結果如圖10、圖11所示。圖中ui為系統(tǒng)中第i個點的響應。

圖10 PID控制律系統(tǒng)響應Fig.10 Response of PID control law system

圖11 PID控制律系統(tǒng)響應Fig.11 Response of PID control law system

從仿真結果可以看出，PID控制律的控制效果不是很理想，超調量與震蕩次數均較多，下一小節(jié)將進行線性二次型調節(jié)器(Linear Quadratic Regulator，LQR)控制律設計，可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，構成閉環(huán)最優(yōu)控制。

3.2 線性二次型調節(jié)器控制律設計

設有一狀態(tài)變量均可測量的線性系統(tǒng)

(13)

其中，u為輸入矢量，y為輸出矢量，x為狀態(tài)矢量，A為系統(tǒng)矩陣，B為輸入矩陣或控制矩陣，C為輸出矩陣。

設能量函數為

(14)

其中Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。最優(yōu)的控制軌跡應設計狀態(tài)反饋控制器u=-kx，使該能量函數最小。

此時

(15)

將u=-kx代入能量函數(14)得到

(16)

為了求出K，不妨假設存在一個常量矩陣P使得

(17)

假設閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，將式(17)代入式(16)得到

(18)

(19)

取

K=R-1BTP

(20)

假設系統(tǒng)輸入為零，將式(16)、(20)代入式(19)，有

ATP+PA+Q+PBR-1BTP=0

(21)

求解式(21)的Riccati方程，代入式(20)即可解算出反饋矩陣K。

由于該系統(tǒng)的狀態(tài)變量為模態(tài)坐標，不可以直接測量，無法進行LQR設計，所以需構建全維狀態(tài)觀測器。構建其超調量為5%，調整時間為0.5s，設計其極點為-16±12j、-300、-400。

取LQR的參數如式(22)、(23)所示，得到狀態(tài)反饋K如式(24)所示。

R=diag(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)

(22)

Q=diag(10000,0,10000,0)

(23)

(24)

仿真結果如圖12、13所示。

圖12 LQR控制律系統(tǒng)響應Fig.12 Control law system response of LQR

圖13 LQR控制律系統(tǒng)響應Fig.13 Control law system response of LQR

由系統(tǒng)響應可知，與PID控制律相比，LQR能夠取得更好的控制效果，超調量、振蕩次數均大幅減少。

本節(jié)在建立了桁架結構數學模型的基礎上，設計了PID控制律和LQR控制律。仿真結果表明，針對該多輸入多輸出的線性系統(tǒng)，LQR能夠取得更好的控制效果。

4 結 論

本文針對低頻大撓性桁架結構，給出了衛(wèi)星大撓性結構抑制技術的主動控制方案，包括基于H型平臺的激勵發(fā)生裝置，基于十字軸式萬向節(jié)的二自由度力矩電機組以及基于十字導軌的二自由度伺服電機組；基于模態(tài)分析方法建立了撓性桁架的數學模型，并給出了PID控制律和LQR的設計與仿真，驗證了本文方法的有效性。