劉彥琦，王好奎，黃庭軒，曹東興

(1.北京市勞動(dòng)保護(hù)科學(xué)研究所·北京·100054；2.機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·北京·100124；3.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院·北京·100124;4.上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109)

0 引 言

2008年Ibrahim[2]等回顧了非線性被動(dòng)隔振器的進(jìn)展情況，詳細(xì)總結(jié)了近年來(lái)實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度的典型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案。對(duì)于準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的典型設(shè)計(jì)形式是用一根垂直正剛度彈簧和兩根傾斜的對(duì)稱彈簧來(lái)實(shí)現(xiàn)的[3-6]。此外，還有其他很多方法，利用歐拉壓桿受軸向力屈曲與正剛度彈簧并聯(lián)的設(shè)計(jì)方案[7-13]，利用設(shè)計(jì)滾子球面結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度特性并與正剛度并聯(lián)構(gòu)成隔振器的設(shè)計(jì)方案[14-17]，利用水平彈簧和連桿連接并與承載臺(tái)鉸接實(shí)現(xiàn)負(fù)剛度與正剛度并聯(lián)的設(shè)計(jì)方案[18-19]，此外，在減振體上安裝動(dòng)力吸振器同樣是一種可靠的減振措施[20-22]。但是目前大多數(shù)文獻(xiàn)多集中研究分析隔振器的剛度特性，對(duì)于阻尼特性沒(méi)有給予重點(diǎn)考慮。

本文設(shè)計(jì)一種具有準(zhǔn)零剛度特性的非線性低頻隔振器，引入非線性阻尼對(duì)隔振系統(tǒng)的影響。論文首先分析了系統(tǒng)的剛度和阻尼特性，對(duì)隔振帶寬進(jìn)行了優(yōu)化分析，最后利用諧波平衡法求解隔振器動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，分析了隔振器參數(shù)等對(duì)振幅放大系數(shù)和振動(dòng)傳遞率的影響。

1 基于正負(fù)剛度并聯(lián)原理的隔振器設(shè)計(jì)

圖1所示為本文設(shè)計(jì)的正負(fù)剛度并聯(lián)低頻隔振器。其正剛度由一根垂直彈簧提供，剛度為kv，且垂直方向上安裝一個(gè)阻尼系數(shù)為cv的阻尼器；負(fù)剛度由4根傾斜對(duì)稱安裝的彈簧提供，剛度值分別為kh，彈簧自由長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，彈簧上端鉸接點(diǎn)與下端鉸接點(diǎn)豎直方向距離為h，水平方向距離為a；與傾斜彈簧成對(duì)安裝傾斜阻尼器，阻尼系數(shù)為ch，阻尼連桿長(zhǎng)度為L(zhǎng)c，阻尼器上端鉸接點(diǎn)與下端鉸接點(diǎn)垂直方向距離為h。

圖1 隔振器原理圖Fig.1 The principle diagram of the vibration isolator

1.1 隔振器剛度分析

1.1.1 隔振器的負(fù)剛度特性分析

如果僅考慮傾斜彈簧作用，對(duì)如圖1所示隔振器進(jìn)行受力分析，系統(tǒng)的彈性力為：

(1)

進(jìn)行無(wú)量綱處理：

(2)

圖2 負(fù)剛度無(wú)量綱彈性力-位移曲線Fig.2 The curve of negative stiffness non-dimensional elastic force - displacement

隔振系統(tǒng)可以承受的最大無(wú)量綱力可以通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的極值得到。由

(3)

可得：

(4)

則可得出系統(tǒng)可以承受的最大無(wú)量綱力為：

(5)

由(2)可得，傾斜彈簧的剛度為：

(6)

研究負(fù)剛度的剛度位移特性，如圖3所示為無(wú)量綱傾斜彈簧不同參數(shù)α條件下的剛度—位移曲線。根據(jù)曲線可知：當(dāng)α=0時(shí)，即初始時(shí)傾斜彈簧處于垂直狀態(tài)，垂直方向上的剛度為一定值；當(dāng)α=1時(shí)，即初始時(shí)傾斜彈簧為水平狀態(tài)，垂直方向上的剛度大于0。當(dāng)α從0到1逐漸變大時(shí)，負(fù)剛度的峰值逐漸變小。

圖3 負(fù)剛度無(wú)量綱剛度-位移曲線Fig.3 The curve of negative stiffness non-dimensional stiffness - displacement

綜上，單純的傾斜彈簧特性曲線呈現(xiàn)非線性，且負(fù)剛度系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性。僅依靠負(fù)剛度無(wú)法實(shí)現(xiàn)隔離振動(dòng)的目的，但是系統(tǒng)的剛度特性的幾何非線性和負(fù)剛度特性，可以與正剛度元件一起組成隔振系統(tǒng)，使正負(fù)剛度并聯(lián)隔振系統(tǒng)具有高靜剛度低動(dòng)剛度的特性。

1.1.2 正負(fù)剛度并聯(lián)剛度特性

正負(fù)剛度并聯(lián)系統(tǒng)的彈性力為：

(7)

進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，令y=x-h，則式(7)變?yōu)椋?/p>

(8)

進(jìn)行無(wú)量綱，得到：

(9)

可得出無(wú)量綱剛度為：

(10)

(11)

(12)

研究正負(fù)剛度并聯(lián)的無(wú)量綱剛度特性。如圖4所示為μ=0.4條件下正負(fù)剛度并聯(lián)無(wú)量綱剛度—位移曲線。由圖可以得出：當(dāng)μ確定后，如果選取的α>αop，則靜平衡位置處的剛度值為正；反之如果選取的α<αop，則靜平衡位置處的剛度值為負(fù)。由于負(fù)剛度的不穩(wěn)定性，在正負(fù)剛度并聯(lián)隔振系統(tǒng)中必須避免出現(xiàn)負(fù)剛度。從理論上講，系統(tǒng)出現(xiàn)零剛度意味著可以隔離的頻率范圍從0Hz 開(kāi)始；但是實(shí)際中零剛度是很難出現(xiàn)并且?guī)缀醪豢赡艹霈F(xiàn)的(加工、安裝的誤差都會(huì)導(dǎo)致零剛度無(wú)法實(shí)現(xiàn)甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)負(fù)剛度情況)。

圖4 μ=0.4條件下正負(fù)剛度并聯(lián)無(wú)量綱剛度-位移曲線Fig.4 The curve of the positive and negative stiffness parallel non-dimensionless stiffness - displacement under the condition of μ=0.4

考慮到實(shí)際工程中的加工及裝配誤差因素，使系統(tǒng)在靜平衡位置處接近于0的一個(gè)正剛度是最理想的情況，則選取的參數(shù)應(yīng)為α=(1+ε)αop或μ=(1-ε)μop，其中ε為一小量。

設(shè)當(dāng)μ=(1-ε)μop，則μ<μop，

(13)

同理，當(dāng)α=αop(1+ε)，則a>aop，

(14)

當(dāng)α=(1+ε)αop或μ=(1-ε)μop時(shí)，系統(tǒng)在靜平衡位置處的剛度為正且為一個(gè)小量，既能滿足低頻超低頻隔振的需求，又可以在工程中實(shí)現(xiàn)。

1.2 隔振器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

1.2.1 位移隔振帶寬優(yōu)化

為研究正負(fù)剛度并聯(lián)情況下的隔振區(qū)域，如圖3所示d為隔振器的隔振帶寬。由式(10)可求得無(wú)量綱隔振位移帶寬為：

(15)

將μ=(1-ε)μop代入到上式，則無(wú)量綱隔振位移帶寬變?yōu)椋?/p>

(16)

圖5 隔振器無(wú)量綱隔振位移帶寬-初始幾何條件曲線Fig.5 The curve of vibration isolator’s non-dimensionless displacement bandwidth - the initial geometry

在工程實(shí)際中可以根據(jù)隔振需要，及期望隔振系統(tǒng)的無(wú)量綱剛度，合理設(shè)計(jì)參數(shù)，使隔振系統(tǒng)具有最大的隔振位移帶寬。

1.2.2 斜彈簧數(shù)量的影響

由式(10)可知去量綱的兩組非線性負(fù)剛度組成的系統(tǒng)剛度為：

一組非線性負(fù)剛度組成的系統(tǒng)剛度為：

(17)

圖6 不同數(shù)量負(fù)剛度情況隔振器無(wú)量綱剛度-位移曲線Fig.6 Different number of negative stiffness non-dimensionless stiffness - displacement curve

1.3 隔振器阻尼特性分析

豎直布置阻尼的阻尼力：

(18)

水平布置阻尼的阻尼力：

(19)

設(shè)響應(yīng)為余弦函數(shù)y=Ysin(ωt)，則式(18)、(19)可變?yōu)椋?/p>

(20)

(21)

圖7 阻尼力-位移無(wú)量綱曲線Fig.7 The curve of damping force - displacement

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 建立平衡方程

初始條件：承載質(zhì)量塊m處于靜平衡位置(靜平衡位置時(shí)傾斜彈簧處于水平狀態(tài)，即y=0)。在外激勵(lì)為F0cosωt作用下，得出系統(tǒng)的平衡方程如下：

(22)

其中

(23)

且滿足條件：mg=kvh

則平衡方程為

(24)

將式中的非線性項(xiàng)用3階Taylor近似表達(dá)：

(25)

(26)

諧波平衡法求解方程，設(shè)y(t)=Ycos(ωt+φ)，代入方程(26)中，同次諧波合并，消除高次項(xiàng)：

(27)

存在等式關(guān)系：

(28)

(29)

則可以求得：

Y=

(30)

則無(wú)量綱振動(dòng)響應(yīng)(振幅放大系數(shù))為

(31)

則振幅放大系數(shù)為：

(32)

振動(dòng)傳遞給地基的力為：

則對(duì)應(yīng)的幅值為：

(33)

可得振動(dòng)系統(tǒng)力的傳遞率為：

(34)

2.2 系統(tǒng)解析解正確性驗(yàn)證

對(duì)如上所述參數(shù)使用一次諧波平衡法進(jìn)行近似求解，并為了驗(yàn)證解的正確性，將該解與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示，實(shí)線部分為采用Rung-Kutta求解的數(shù)值解，虛線部分為使用一次諧波平衡法求得的近似解析解，由圖可知，二者在穩(wěn)態(tài)部分可以很好地重合，即可以認(rèn)為諧波平衡法求解的正確性。

圖8 諧波平衡法與Rung-Kutta法響應(yīng)對(duì)比Fig.8 Comparison of harmonic balance method and Rung-Kutta method

2.3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)振幅放大系數(shù)的影響

研究負(fù)剛度對(duì)振幅放大系數(shù)的影響，如圖9所示，F(xiàn)0、kv、L1、a不變的條件下，改變水平彈簧的剛度值，即改變隔振系統(tǒng)的負(fù)剛度值，從而研究剛度非線性對(duì)振幅放大系數(shù)的影響。曲線隨著水平彈簧剛度值變大向右移動(dòng)，且曲線的峰值降低。在0<λ<λ1頻率段，振幅放大系數(shù)Tm隨著水平彈簧剛度kh的增大而減??；在λ1<λ<λ2頻率段，振幅放大系數(shù)Tm按照水平彈簧剛度kh從小到大的順序分別大于水平彈簧剛度等于0時(shí)的Tm值；在λ2<λ<λ3頻率段，振幅放大系數(shù)Tm隨著水平彈簧剛度kh的增大而增大；當(dāng)λ>λ3頻率段，無(wú)論水平彈簧剛度kh如何變化，Tm都很小，且都等于水平彈簧剛度kh等于0時(shí)的值。即該隔振器增加水平彈簧剛度值有利于減小振動(dòng)物體響應(yīng)的峰值。

圖9 剛度非線性對(duì)振幅放大系數(shù)影響曲線Fig.9 Influence curve of stiffness nonlinearity on amplitude amplification coefficient

研究非線性阻尼對(duì)振幅放大系數(shù)的影響，如圖10所示，固定其他參數(shù)不變條件前提下，改變水平阻尼的阻尼系數(shù)，研究不同水平阻尼系數(shù)情況下，振幅放大系數(shù)的變化曲線。在0<λ<λ1及λ>λ2頻率段，無(wú)論水平阻尼系數(shù)ch如何變化，振幅放大系數(shù)Tm的曲線都近似重合，且隨著激勵(lì)的不斷增大，振幅放大系數(shù)Tm趨近于0；在λ1<λ<λ2頻率段，振幅放大系數(shù)Tm及其峰值隨著水平阻尼ch的增大而減小。即在低頻段和高頻段，水平阻尼對(duì)振幅放大系數(shù)影響不大，在中頻段，增大水平阻尼會(huì)降低振幅放大系數(shù)及其峰值?？傮w而言，增加水平阻尼，對(duì)于降低振幅放大系數(shù)是有利的。

圖10 阻尼非線性對(duì)振幅放大系數(shù)影響曲線Fig.10 Influence curve of damping nonlinearity on amplitude amplification coefficient

研究豎直阻尼對(duì)振幅放大系數(shù)的影響，如圖11所示在固定其他參數(shù)條件不變的前提下，改變豎直阻尼的阻尼系數(shù)，研究不同豎直阻尼系數(shù)情況下，振幅放大系數(shù)的變化曲線。曲線隨著豎直阻尼的增加向左移動(dòng)，且峰值降低；在0<λ<λ1頻率段，振幅放大系數(shù)Tm及其峰值隨著數(shù)值阻尼的增大而降低；在λ>λ1頻率段，不論豎直阻尼如何變化，振幅放大系數(shù)曲線近似重合，且隨著激勵(lì)的不斷增大，振幅放大系數(shù)Tm趨近于0。即增加阻尼的阻尼系數(shù)，有利于降低系統(tǒng)的振幅放大系數(shù)。

圖11 阻尼對(duì)振幅放大系數(shù)影響曲線Fig.11 Influence curve of damping on amplitude amplification coefficient

對(duì)比圖10和圖11，在相同參數(shù)情況下，改變豎直阻尼的阻尼系數(shù)相比于改變水平阻尼的阻尼系數(shù)，會(huì)對(duì)系統(tǒng)的振幅放大系數(shù)產(chǎn)生更大的影響。

研究激勵(lì)幅值對(duì)振幅放大系數(shù)的影響，如圖12所示kh、kv、L1、a不變的條件下，改變激勵(lì)幅值的大小，研究不同的激勵(lì)幅值情況下，振幅放大系數(shù)的變化曲線。振幅放大系數(shù)曲線隨著激勵(lì)幅值的增大向右移動(dòng)，且峰值降低。在0<λ<λ1頻率段，振幅放大系數(shù)Tm隨著激勵(lì)幅值F0的增大而減小；在λ1<λ<λ2頻率段，振幅放大系數(shù)Tm按照激勵(lì)幅值F0從小到大的順序分別大于激勵(lì)幅值為30時(shí)的Tm值；在λ2<λ<λ3頻率段，振幅放大系數(shù)Tm隨著激勵(lì)幅值F0的增大而增大；當(dāng)λ>λ3頻率段，無(wú)論激勵(lì)幅值如何變化，Tm都很小，且都接近于0。即對(duì)于該隔振器，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定后，對(duì)于不同的激勵(lì)幅值有不同的振幅放大系數(shù)特性，該隔振器對(duì)于較大的幅值激勵(lì)振幅放大系數(shù)更小。

圖12 激勵(lì)幅值對(duì)振幅放大系數(shù)影響曲線Fig.12 Influence curve of excitation amplitude on amplitude amplification coefficient

綜上，增加系統(tǒng)的非線性剛度和非線性阻尼及豎直阻尼，都利于降低系統(tǒng)的振幅放大系數(shù)，且在系統(tǒng)的系數(shù)都確定的情況下，對(duì)于不同的激勵(lì)幅值，激勵(lì)幅值越大，系統(tǒng)的振幅放大系數(shù)越小。

2.4 系統(tǒng)非線性項(xiàng)對(duì)振動(dòng)傳遞率的影響

為研究非線性剛度對(duì)振動(dòng)傳遞率的影響，如圖13所示，在固定系統(tǒng)其他參數(shù)，改變水平彈簧剛度值，即改變隔振系統(tǒng)的非線性剛度，從而研究非線性剛度對(duì)振動(dòng)傳遞率的影響。曲線隨著水平彈簧剛度的增加向右移動(dòng)且峰值降低。在0<λ<λ1頻率段，振動(dòng)傳遞率T隨著水平彈簧剛度kh的增大而減?。辉讦?<λ<λ2頻率段，振動(dòng)傳遞率按照水平彈簧剛度kh從小到大的順序分別大于水平彈簧剛度等于0時(shí)的振動(dòng)傳遞率T的值；在λ2<λ<λ3頻率段，振動(dòng)傳遞率T隨著水平彈簧剛度kh的增大而增大；當(dāng)λ>λ3頻率段，無(wú)論水平彈簧剛度kh如何變化，T都很小，且都等于水平彈簧剛度kh等于0時(shí)的振動(dòng)傳遞率值。即增加水平彈簧剛度值(增加隔振系統(tǒng)非線性剛度)對(duì)于提高系統(tǒng)隔振性能是有利的。

圖13 非線性剛度對(duì)振動(dòng)傳遞率影響曲線Fig.13 Influence curve of nonlinear stiffness on vibration transfer rate

為研究非線性阻尼對(duì)振動(dòng)傳遞率的影響，如圖14所示，固定系統(tǒng)其他參數(shù)，改變水平阻尼的阻尼系數(shù)ch，即改變非線性阻尼，從而研究非線性阻尼對(duì)振動(dòng)傳遞率的影響。在0<λ<λ1和λ>λ2頻率段，振動(dòng)傳遞率曲線不論水平阻尼的阻尼系數(shù)如何變化曲線都近似重合，且隨著激勵(lì)頻率逐漸增加，振動(dòng)傳遞率趨近于0；在頻率段λ1<λ<λ2段，振動(dòng)傳遞率曲線及其峰值隨著水平阻尼的增加降低。即增加水平阻尼對(duì)于降低系統(tǒng)的隔振率提高系統(tǒng)的隔振性能是有利的。

圖14 非線性阻尼對(duì)振動(dòng)傳遞率影響曲線Fig.14 Influence curve of nonlinear damping on vibration transfer rate

綜上，增加系統(tǒng)的非線性剛度和非線性阻尼都有利于降低系統(tǒng)隔振傳遞率，提高系統(tǒng)的隔振性能，雖然阻尼非線性對(duì)系統(tǒng)的隔振性能影響不大，但是不能忽略。

3 總 結(jié)

本文研究具有非線性剛度和非線性阻尼的一種基于正負(fù)剛度并聯(lián)原理的隔振器，對(duì)隔振器的剛度特性和阻尼特性進(jìn)行分析，并分析其位移隔振帶寬，對(duì)不同的斜彈簧數(shù)量進(jìn)行對(duì)比分析，研究該隔振器的優(yōu)勢(shì)及特點(diǎn)；對(duì)該隔振器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性分析，建立了系統(tǒng)的平衡方程，利用諧波平衡法求解系統(tǒng)響應(yīng)及系統(tǒng)的振幅放大系數(shù)和力傳遞率，并進(jìn)行了數(shù)值分析，解析解與數(shù)值解進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，分析了非線性剛度、非線性阻尼、阻尼特性以及激勵(lì)幅值等對(duì)隔振器振幅放大系數(shù)的影響，此外，數(shù)值分析了非線性剛度及非線性阻尼對(duì)隔振器激振力傳遞率的影響。研究結(jié)果表明，對(duì)本文提出的這類正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器設(shè)計(jì)，可以根據(jù)激勵(lì)情況及隔振要求進(jìn)行隔振器的剛度、阻尼及幾何參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。