江軍

摘 要 在大學(xué)物理中有二個(gè)重要定理：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理、質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理。這二個(gè)定理均可以從牛頓第二定律和微積分知識(shí)嚴(yán)格地推導(dǎo)出來(lái)，從而可以讓學(xué)生對(duì)這二個(gè)定理有更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解。

關(guān)鍵詞 大學(xué)物理 質(zhì)點(diǎn)系 動(dòng)量定理 動(dòng)能定理

中圖分類號(hào)：O313.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

凡是學(xué)習(xí)過(guò)物理的學(xué)生都知道質(zhì)點(diǎn)體系的動(dòng)量定理：任何一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量。下面給出嚴(yán)格的證明。

1.1單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理

對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)而言，假設(shè)該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是m，所受的外力是，其加速度為，根據(jù)頓第二定律：

（1）

而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

由（1）、（2）可得： 在經(jīng)典力學(xué)的范圍可以認(rèn)為m是常量。

從而可等到：（3）? ?質(zhì)點(diǎn)所受的元沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的微分。

如果外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的時(shí)間是這段時(shí)間間隔內(nèi)，則對(duì)（3）式取定積分：

（4）

其中合外力的沖量，則有：

（5）

即單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。

1.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1、m2…、mn組成，第1個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1所受的合外力是，受到第2個(gè)至第n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力分別是、，第1個(gè) 質(zhì)點(diǎn)末時(shí)刻的動(dòng)量是，初時(shí)刻的動(dòng)量是，則對(duì)第1個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理（4），顯然有：

（5）

同理對(duì)第2…n個(gè)質(zhì)點(diǎn)可以列出類似的方程：

=? ? ? ?（6）

……

=? ?（7）

這n個(gè)方程全部相加：考慮到：牛頓第三定律內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，大小相等，方向相反，作用在同一直線上。所以：全部?jī)?nèi)力的沖量相加后一定等于零，即：

所以最后可得到：

=

簡(jiǎn)化上述表達(dá)式，其中：是系統(tǒng)所受的合外力的沖量

是系統(tǒng)末時(shí)刻的動(dòng)量

是系統(tǒng)初時(shí)刻的動(dòng)量

最后得到：，這就是力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律：一個(gè)系統(tǒng)所受的合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量。

2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)體系的動(dòng)能定理：對(duì)一個(gè)系統(tǒng)而言，所有外力的功加上所有內(nèi)力的功等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。下面給出嚴(yán)格推導(dǎo)。

2.1單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

假設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m所受的合外力是，在的作用下質(zhì)點(diǎn)m沿著任一曲線從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在 A點(diǎn)的 速率是v，在B點(diǎn)的速率是v0，是在此路徑上一段無(wú)限短的位移，則在上外力所做的元功是：

（8）

采用自然坐標(biāo)系，顯然有：

（9）? ? （注：t表示切線方向，n表示法線方向）

而： （注：ds是位移段上的路程）? ? ? （10）

把（9）、（10）帶入（8）式可得到：（注意：）

（11）

根據(jù)牛頓第二定律：

（12）

將（12）式代入（11）可得到：

（注： ）? ? ? ? ?（13）

則整個(gè)過(guò)程中做的總功：

（14）

即，單個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)而言，所有外力的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。

2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

同樣，假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1、m2…、mn組成，對(duì)第1個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1而言，所有外力的做的功是W1，所有內(nèi)力做的功是w1，則使用單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理（14），可得到：

（15）

同理對(duì)第2……n個(gè)質(zhì)點(diǎn)亦可列出類似（下轉(zhuǎn)第147頁(yè)）（上接第135頁(yè)）的方程：

（16）

……

（17）

將這n個(gè)方程全部相加，

（18）

簡(jiǎn)化上述表達(dá)式，令：

表示系統(tǒng)所有外力的功

表示系統(tǒng)所有內(nèi)力的功（注：系統(tǒng)所有內(nèi)力能相互抵消，但所有內(nèi)力的功是不能相互抵消的）

表示系統(tǒng)在末時(shí)刻的動(dòng)能

表示系統(tǒng)在初時(shí)刻的動(dòng)能

則上述方程（18）可以簡(jiǎn)化為：

這就是力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：對(duì)一個(gè)系統(tǒng)而言，所有外力的功加上所有內(nèi)力的功等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。

參考文獻(xiàn)

[1] 馬文蔚，周雨青.物理學(xué)（上冊(cè)）[M].高等教育出版社.

[2] 張三慧等譯.哈里德大學(xué)物理學(xué)[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2009.

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[4] 王少燈.在功和動(dòng)能定理教學(xué)中加強(qiáng)參照系和系統(tǒng)的概念[J].鄭州輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1993（12）.