(內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 內(nèi)蒙古包頭 014010)

引言

全球工業(yè)進(jìn)入高速發(fā)展階段，使得環(huán)境問題日益加劇。對(duì)清潔能源的深入研究已經(jīng)成為科研者們探尋的主要方向。對(duì)于人類賴以生存，且取之不盡用之不竭的氣體研究已經(jīng)成為研究的焦點(diǎn)。重型卡車是工業(yè)運(yùn)輸?shù)难}，以往的重型卡車多以液壓作為制動(dòng)媒介，如今氣動(dòng)制動(dòng)已經(jīng)在重型卡車的制動(dòng)系統(tǒng)中占有主導(dǎo)地位。制動(dòng)系統(tǒng)的好壞關(guān)系到卡車的安全性和舒適性，因此制動(dòng)管路的研究就有著重要意義。

李范波等[1]通過分析閥的動(dòng)作頻率設(shè)計(jì)了一種氣動(dòng)優(yōu)化程度更高的高速開關(guān)閥，也得到了閥體在氣動(dòng)過程中由閥產(chǎn)生不同脈動(dòng)的開關(guān)形式。方桂花等[2]在分析管路過程中通過幾種差分格式的分析對(duì)比，證明利用一階迎風(fēng)差分格式相比中心差分與二階的Lax-Wendroff格式分析精確度更高，穩(wěn)定性更強(qiáng)。另外通過迎風(fēng)差分格式的分析也同時(shí)為緊致插值的在氣動(dòng)管路中的研究進(jìn)行了很好的鋪墊作用。權(quán)凌霄等[3]分析液壓管路在隨機(jī)振動(dòng)下的疲勞強(qiáng)度，通過應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度函數(shù)并利用有限元方法對(duì)管路結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)部位疲勞壽命進(jìn)行預(yù)估。ZHAO等[4-5]在分析流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，基于差分格式下的緊致插值方法解雙曲偏微分方程，通過圓柱繞流、堤壩實(shí)驗(yàn)等證明了利用緊致插值方法在流體的研究中精度更高、穩(wěn)定性更好。YANG等[6]利用差分方法應(yīng)用于氣動(dòng)管路中，并證明管路長度是影響制動(dòng)時(shí)長的主要原因，其方法更加接近于真實(shí)變化。牧彬等[7]通過充氣試驗(yàn)臺(tái)對(duì)管路充氣過程進(jìn)行仿真通過把管路進(jìn)行網(wǎng)格化，在時(shí)間和空間上進(jìn)行差分計(jì)算，利用該研究方法得出研究管路中變量參數(shù)的理論狀態(tài)解。余先鋒等[8]在進(jìn)行開洞結(jié)構(gòu)風(fēng)壓實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果表明：下流區(qū)域比例閥開口變化對(duì)管路部分影響較大，長時(shí)間充氣提高管路部分的疲勞壽命。在提高管路部分研究理論依據(jù)的過程中，利用氣體動(dòng)力學(xué)方程的分離變量方法得出不同開口產(chǎn)生共振頻率。吳炳勝[9]進(jìn)行振動(dòng)故障的診斷,并分析了出現(xiàn)這些振動(dòng)故障的原因，提出了減小振動(dòng)故障的改進(jìn)措施。張振乾[10]利用ANSIS軟件分析了管路的幾階振動(dòng)頻率，并通過差分格式利用微分變換法將氣動(dòng)管路進(jìn)行了固有頻率計(jì)算。為了避免由氣動(dòng)脈沖引起的管路共振，通過合理分配管路長度減小對(duì)管路部分的損害，從而提高管路壽命。黃玲璐等[11]通過對(duì)彈性梁內(nèi)外共振和激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的研究，證明振動(dòng)產(chǎn)生的破壞的最大形式是通過頻率相一致導(dǎo)致振動(dòng)所導(dǎo)致的。國忠金等[12]研究系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下諧波在振動(dòng)頻率隨著系統(tǒng)非線性項(xiàng)系數(shù)，利用振幅和顯性系數(shù)等變化趨勢(shì)，同時(shí)給出了初始振幅和非線性項(xiàng)系數(shù)等因素對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率響應(yīng)的影響。

1 緊致插值方法

1.1 緊致插值模型介紹

緊致插值方法是模擬流體變化的一種較為成熟的算法，主要應(yīng)用于流體內(nèi)部交叉和流體表面變化復(fù)雜形狀的界面移動(dòng)問題。當(dāng)遇到流體數(shù)值擴(kuò)散和不穩(wěn)定等問題，需要對(duì)流體網(wǎng)格內(nèi)部信息得到更加準(zhǔn)確的數(shù)值。于是需要大量的網(wǎng)格應(yīng)用于計(jì)算仿真當(dāng)中，然而一階導(dǎo)數(shù)對(duì)于網(wǎng)格的分析精度較低，于是可以利用三次多項(xiàng)式進(jìn)行插值近似。其方法所得到的都是時(shí)間和空間上的三階精度顯示穩(wěn)定格式。氣體作為一種特殊流體已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)當(dāng)中，利用精度更高的方法作為研究氣體狀態(tài)的依據(jù)是非常有必要的。

下面公式為氣體的一般偏微分方程：

(1)

如果u是正數(shù)且為常數(shù)，則分析方法為f(t,x)=f(t-Δt,x-Δx)，這就意味著節(jié)點(diǎn)的值到下一個(gè)時(shí)間段的值可以通過目前時(shí)刻的值獲得，下面給出一階差分格式工作原理圖。

如圖1所示，其中由圖1a～圖1c分別是迎風(fēng)差分格式在分析過程中的原理圖，通過原初始波在經(jīng)過uΔt后波之間的關(guān)系由點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線連接來展示函數(shù)情況的。而圖1d是緊致插值方法采用一種獨(dú)特的方式，在1個(gè)網(wǎng)格內(nèi)實(shí)現(xiàn)了高階差分格式，通過利用空間網(wǎng)格點(diǎn)的變量值及其空間導(dǎo)數(shù)值，來描述該網(wǎng)格內(nèi)的信息，可逼真地再現(xiàn)網(wǎng)格內(nèi)的信息，函數(shù)是通過uΔt形式進(jìn)行漂移的。

圖1 緊致插值工作原理

1.2 緊致插值原理

如果所知的(x-uΔt)是在2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間，那么需要通過在2節(jié)點(diǎn)間插值，即高精度的插值方程為：

f(x)=ai(x-xi-1)3+bi(x-xi-1)2+

(2)

上式中系數(shù)由下面方程得：

(3)

(4)

(5)

di=fi

(6)

于是可以得到下一個(gè)時(shí)間段函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值：

(7)

(8)

式中,ai，bi，ci，di分別表示緊致插值系數(shù)。

對(duì)于一階迎風(fēng)差分格式來說，它利用直線的方式聯(lián)立相鄰2個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息來工作，而忽略了網(wǎng)格內(nèi)部的信息，會(huì)引較大的數(shù)值耗散。為了真實(shí)地再現(xiàn)網(wǎng)格內(nèi)部的信息，需要借助緊致插值方法對(duì)氣動(dòng)制動(dòng)管路進(jìn)行分析。

1.3 緊致插值方法下波動(dòng)方程的分析

靜止氣體內(nèi)的聲速表達(dá)式為：

(9)

其中各式參數(shù)為，T為絕熱溫度；R為氣體常數(shù)；k為絕熱指數(shù)；g為重力加速度。

由連續(xù)方程和運(yùn)動(dòng)方程的偏微分變換整理可得脈動(dòng)壓力的一般偏微分方程為：

(10)

式中，p—— 壓力

t—— 時(shí)間

x—— 為空間距離

通過帶入相關(guān)參數(shù)，利用有限差分格將式(10)進(jìn)行MATLAB數(shù)值仿真，再通過精度更高、穩(wěn)定性更強(qiáng)的緊致插值方法與所提供基頻進(jìn)行數(shù)值仿真，最終通過相對(duì)誤差的計(jì)算分析來判斷氣柱頻率的振動(dòng)誤差。

2 數(shù)值仿真分析

2.1 有限差分波動(dòng)的分析

重型卡車的一般制動(dòng)壓力為6.5～8.5 MPa，設(shè)進(jìn)氣壓力為8.5 MPa，通過MATLAB軟件對(duì)管路模型進(jìn)行差分計(jì)算。管路距離一般為20～50 m，時(shí)間為2.5 s，時(shí)間和空間步長為100和1000。分別在20 m和50 m管路的進(jìn)氣口輸入一個(gè)頻率為1.7 Hz和4.25 Hz的余弦信號(hào)8.4 cos(3.4×π×t)和8.4 cos(8.5×π×t)作為模擬邊界條件，管路下游邊界條件壓力均為0。利用波動(dòng)方程式(10)仿真計(jì)算可得有限差分波動(dòng)和頻率，如圖2～圖5所示。

圖2 20 m有限差分波動(dòng)圖

如圖2～圖5所示，通過有限差分進(jìn)行仿真計(jì)算后，得到的頻率圖像，將該數(shù)據(jù)進(jìn)行緊致插值分析有限差分方程在快速傅里葉變換后所表示的頻率與振幅情況，將振幅值進(jìn)行絕對(duì)值處理|x|，把所有頻率所對(duì)應(yīng)的振幅均描述為正方向，其便于觀察曲線變化情況。利用緊致插值的方法把相關(guān)有限差分格式通過MATLAB仿真程序進(jìn)行理論求解，將緊致插值原理介入波動(dòng)理論解當(dāng)中。

圖3 20 m有限差分頻率圖

圖4 50 m有限差分波動(dòng)圖

圖5 50 m有限差分頻率圖

如圖6～圖9所示，緊致插值分析后頻率與真實(shí)頻率值完全一致，也證明了該方法在氣動(dòng)管路分析中的有效性。圖像為了表達(dá)更清晰，在有限差分和緊致插值的過程中頻率均增大25倍。通過圖6～圖9也可以看出緊致插值壓力位移圖與有限差分的耦合性良好，也證明該方法在氣動(dòng)研究過程中的準(zhǔn)確性。

圖6 20 m緊致插值壓力位移圖

圖7 20 m緊致插值振動(dòng)頻率分析圖

圖9 50 m緊致插值振動(dòng)頻率分析圖

2.2 關(guān)于頻率相對(duì)誤差分析

氣流脈動(dòng)是引起管路振動(dòng)的主要原因，通過頻率的相對(duì)誤差δ可以更準(zhǔn)確的分析氣柱振動(dòng)情況，從而避免氣流脈動(dòng)所引起的振動(dòng)問題，如圖10～圖11所示。

圖10 20 m相對(duì)誤差頻率圖

圖11 50 m相對(duì)誤差頻率圖

通過對(duì)氣動(dòng)管路氣柱頻率相對(duì)誤差的數(shù)學(xué)仿真，可以得出與理論計(jì)算結(jié)果頻率相對(duì)誤差在±0.02 Hz。

3 結(jié)論

通過對(duì)氣動(dòng)制動(dòng)管路頻率波動(dòng)的研究，得到了以下結(jié)論：

(1) 由于緊致插值方法降低了差分網(wǎng)格內(nèi)部的數(shù)值耗散，在基于有限差分分析后緊致插值算法提高了氣動(dòng)管路中氣柱分析的精確度，通過緊致插值的壓力位移圖證明該方法穩(wěn)定性的同時(shí)也證明了緊致插值方法研究氣動(dòng)的有效性；

(2) 通過對(duì)20 m和50 m頻率相對(duì)誤差的分析，證明無論是傳統(tǒng)有限差分分析還是穩(wěn)定性更強(qiáng)、精確度更高的緊致插值方法分析氣動(dòng)管路，計(jì)算頻率相對(duì)誤差為±0.02 Hz。從而為氣動(dòng)制動(dòng)管路研究提供了有效的方法。