徐希琳，付佳媛

(中國傳媒大學 數(shù)據(jù)科學與智能媒體學院，北京 100024)

1 引言

李群李代數(shù)是代數(shù)學的一個重要分支，不僅在代數(shù)學中占有重要地位，在人工智能領(lǐng)域也有著重要的應(yīng)用。 Virasoro代數(shù)和仿射李代數(shù)是兩類非常重要的李代數(shù)，其結(jié)構(gòu)和表示理論在李理論中應(yīng)用非常廣泛。 而Current Krichever-Novikov代數(shù)(以下簡稱KN代數(shù))跟上述兩類代數(shù)有著重要的聯(lián)系。[1]目前無扭的KN代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示理論已經(jīng)有了比較豐富的結(jié)果，但對于扭的情況，我們知之甚少，主要是其結(jié)構(gòu)的復雜導致原有的研究方法不在奏效。 本文我們首先定義了一類扭的Current Krichever-Novikov代數(shù)，給出了此類代數(shù)的一個中心擴張，并討論了中心擴張中具體的元素形式，進而確定了該中心擴張的維數(shù)。

泛中心擴張、導子和自同構(gòu)群是李代數(shù)結(jié)構(gòu)理論的重要研究內(nèi)容。 本文定義了扭的KN代數(shù)的一類中心擴張，并確定了其具體結(jié)構(gòu)，這對于證明此類代數(shù)泛中心擴張的存在性提供了必要的理論基礎(chǔ)。

2 預備知識

3 正文內(nèi)容

3.1 扭的Current Krichever-Novikov李代數(shù)定義

定義3.1.1：已知

P(t)=tm0(t-ω2)…(t-ω4n)∈[t]

其中ω是1的4n次本原根。 所以P(t)=t2n+1-t。

設(shè)

Rm(P(t))=[t±1，u|u2m0=P(t)]=[t±1]⊕[t±1]u⊕…⊕[t±1]u2m0-1

在G上定義如下運算：

滿足李代數(shù)的定義，則G叫做Current Krichever-Novikov李代數(shù)，簡稱KN李代數(shù)。[3]

定理3.1.1：由文獻[3]中定理15可知，Rm(P)上存在一個自同構(gòu)

σ1：Rm(P)→Rm(P)

滿足：

其中ε是1的2r次本原根(r|2n)，則σ1的階為2r。

證明：設(shè)σ1的階為k，則：

定義3.1.2映射σ：G→G，滿足：

易知，σ是G上的一個同構(gòu)映射。 規(guī)定

Gσ={x?f∈G|σ(x?f)=x?f}

對?x?f，y?g∈Gσ，有

σ[x?f，y?g]=[σ(x?f)，σ(y?g)]=[x?f，y?g]?Gσ

所以Gσ是G的子代數(shù)，顯然可以看出Gσ也是G在σ下的不動點子代數(shù)，且Gσ上的“[·，·]”作用與G上的“括積”作用相同。 我們把這樣的Gσ叫做扭的KN李代數(shù)。

3.2 σ的階

推論3.2.1：定義3.1.2中的線性映射σ，它的階為2r。

?

以此類推有

3.3 Gσ中的元素形式

所以

x?f=σ(x?f)=σ2(x)?σ1(f)=εix?εjf=εi+jx?f∈Gσ

其中

?f∈(Rm(P))2kr-i?σ1(f)=ε2kr-if=ε-if?f∈(Rm(P))-i

由P(t)，Rm(P)和σ1的定義可知σ1(fg)=σ1(f)σ1(g)，?f，g∈Rm(P)，規(guī)定us∈(Rm(P))s，有

σ1(P(t))=σ1(tm0+2n-tm0)=σ1(tm0+2n)-σ1(tm0)=ε2m0+4ntm0+2n-ε2m0tm0

=ε2m0tm0+2n-ε2m0tm0=ε2m0(tm0+2n-tm0)=ε2m0P(t)

?

(3.3.1)

以上即為Gσ中的元素形式。

3.4 Gσ的一個中心擴張

設(shè)F=R?R為一個左R-自由模，且有作用：a(b?c)=ab?c，?a，b，c∈R，令K為{1?ab-a?b-b?a|a，b∈R}生成的F的R-子模。

定義ΩR=F/K，典范映射d：R→ΩR，a|→1?a+K，?a∈R，即da=1?a+K，dR?ΩR，且有cda=c?a+K。

[Gσ，K]=[K，K]=0

3.5 中心擴張的維數(shù)

又由文獻[4]中性質(zhì)可推出

(xi，yj)=(σ2(xi)，σ2(yj))=(εixi，εjyj)=εi+j(xi，yj)

所以

(1-εi+j)(xi，yj)=0

又因為(xi，yj)≠0，所以

εi+j=1?j=2kr-i

所以

所以

K=span

(3.5.1)

對于?ti，tj∈R，有

ti?tj+K=ti(1?tj)+K=ti(1?tj+K)=ti(tj-1?t+t?tj-1+K)

=ti+j-1?t+ti+1?tj-1+K

ti+1?tj-1+K=ti+1(1?tj-1+K)=ti+1(tj-2?t+t?tj-2+K)

=ti+j-1?t+ti+2?tj-2+K

?

以此類推有

ti?tj+K=2ti+j-1?t+ti+2?tj-2+K=…=(j-1)ti+j-1?t+ti+(j-1)?t+K=jti+j-1?t+K

所以有

又因為u2m0=P(t)=tm0(t2n-1)，下面將P(t)簡記為P，我們有

所以duj=juj-1du。

性質(zhì)3.5.1：已知d：R→ΩR，所以dR?ΩR，因此在ΩR/dR上，有

ab|→1?ab+K=a?b+b?a+K?dR，?a，b∈R

由性質(zhì)3.5.1可知，對?ti，tj∈R，有

所以

在進行下述內(nèi)容研究前，我們規(guī)定

由(3.5.1)式可知2i=2kr-2j?j=kr-i。 又由(3.3.1)式知

-(k1r+i)tm0+(k1+k2)r-(l1+l2)+kr-1u2(l1+l2)-1dt

(3.5.3)

(3.5.4)

情況一：當m0|/q時，(3.5.4)式若要成立，只能有l(wèi)1+l2=0或m0。

1)當l1+l2=0時

有u2(l1+l2)-1=u-1，而在R中沒有u-1的項，所以l1+l2≠0。

2)當l1+l2=m0時

(3.5.2)式可簡化為

-(k2r+kr-i)t(k1+k2+k)r-1u2m0-1dt

所以

(tqr-1-t-1)u2m0-1dt是K的一個基底。 因此在情況一下dimK=2。

情況二：當m0|q時，即q=pm0

設(shè)w=l1+l2，由l1，l2∈{0，1，2…m0-1}可推出w∈{0，1，2…，2m0-2}，又因為P=u2m0，所以對u2(l1+l2)-1=u2w-1來說，w∈{0，1，2…，m0}就可以取遍P。又因為在情況一中討論過l1+l2≠0，所以w∈{1，2…，m0}接下來我們將(3.5.2)式化簡得

-(k2r+kr-i)t(k1 + k2 + k)r + m0 -w-1u2w-1dt

所以

方法與(1)中類似。 首先我們可以得到j(luò)=kr-i-1

(3.5.5)

(3.5.6)

(3.5.7)

情況一：當m0|/q時，(3.5.7)式若要成立，只能有l(wèi)1+l2+1=0或m0。

同(1)中情況一的方法類似，可以推出l1+l2+1≠0，l1+l2+1=m0時(3.5.5)式可簡化為

所以

(tqr-1-t-1)u2m0-1dt是K的一個基底。 因此在情況一下dimK=2。

情況二：當m0|q時，即q=pm0

方法同(1)中情況二類似，我們可以得知只要w=l1+l2∈{0，1，2…，m0-1}就可以取遍P。接下來我們將(3.5.5)式化簡得

所以

綜合(1)和(2)，我們可知