張軍徽，佟安，武娜，劉應(yīng)華

1.北方工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，北京 100144 2.清華大學(xué) 航天航空學(xué)院，北京 100084

光對被照射物體的壓力稱為光壓。依靠光壓推進(jìn)的太陽帆航天器無需消耗推進(jìn)劑，可以實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)航天器無法實(shí)現(xiàn)的各種非開普勒軌道，被認(rèn)為是最可行的星際探測技術(shù)。2010年日本IKAROS號太陽帆[1]和2011年美國Nanosail-D號太陽帆[2]的相繼成功發(fā)射把人類星際旅行的夢想照進(jìn)了現(xiàn)實(shí)。繞地球飛行軌道是太陽帆進(jìn)入星際軌道的起點(diǎn)，更是各種近地球任務(wù)太陽帆運(yùn)行的主要場所。太陽帆在繞地軌道中將會周期性地進(jìn)出地球陰影，經(jīng)歷熱環(huán)境的劇烈變化，在熱輻射沖擊作用下，太陽帆這種大柔性空間結(jié)構(gòu)的熱致響應(yīng)值得研究。

熱致結(jié)構(gòu)響應(yīng)的研究最早可以追溯到1956年，Boley在熱致結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析中引入慣性項(xiàng)，提出了熱誘發(fā)振動的概念[3]。熱誘發(fā)振動影響航天器正常工作的事件屢有發(fā)生，其中，最為著名的是太陽翼熱誘發(fā)振動造成的哈勃太空望遠(yuǎn)鏡成像模糊畸變事故。Thornton和Kim考慮結(jié)構(gòu)變形對熱載荷的影響，建立了太陽翼的熱-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)模型，數(shù)值再現(xiàn)了哈勃望遠(yuǎn)鏡太陽翼在突加熱流載荷作用下的彎扭耦合熱誘發(fā)振動[4]。Gulick和Thornton研究了自旋穩(wěn)定衛(wèi)星軸向天線的熱誘發(fā)振動，研究表明：當(dāng)衛(wèi)星的自旋速度等于天線的彎曲振動頻率，衛(wèi)星天線將發(fā)生不穩(wěn)定的熱誘發(fā)振動，即熱顫振[5]。Song等研究了復(fù)合材料薄壁梁的熱誘發(fā)振動穩(wěn)定性問題[6]。Zhao等推導(dǎo)了考慮熱輻射的復(fù)合材料板的有限元方程，為分析航天器柔性復(fù)合材料薄板附件的熱誘發(fā)振動提供了工具[7]。Shen等基于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法推導(dǎo)了梁的熱-結(jié)構(gòu)耦合方程，得益于絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法的優(yōu)點(diǎn)，該方程不但能計(jì)算晝夜轉(zhuǎn)換熱沖擊引起的梁熱顫振，也能計(jì)算由于大轉(zhuǎn)動引起的梁熱誘發(fā)振動[8]。Zhang等在Graham和Thorton等工作的基礎(chǔ)上，建立了懸臂梁在空間熱輻射作用下的熱顫振準(zhǔn)則：若空間熱流入射角大于梁自由端的準(zhǔn)靜態(tài)轉(zhuǎn)角，則熱顫振不會發(fā)生[9]。Li和Yan研究了蜂窩復(fù)合材料太陽翼在近地軌道的熱誘發(fā)振動[10]。Su等在空間環(huán)境模擬器中對復(fù)雜桁架的熱致響應(yīng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，成功觀測到了空間桁架的熱誘發(fā)振動[11]。Wang和Li研究了熱載荷作用下索-梁結(jié)構(gòu)的參激振動[12]。Shen和Hu研究了熱誘發(fā)振動對自旋穩(wěn)定航天器姿態(tài)的影響，數(shù)值結(jié)果表明熱誘發(fā)振動引起了Ulysses衛(wèi)星姿態(tài)角的跳變[13]。Liu和Pan建立了剛-柔-熱耦合的多體動力學(xué)模型，考慮太陽熱輻射和地球熱輻射等的影響，研究了帶有柔性太陽翼航天器在近地軌道的熱誘發(fā)振動[14]。Chen等研究了預(yù)應(yīng)力對復(fù)合材料薄板熱誘發(fā)振動的影響[15]。Azadi等研究了近地軌道衛(wèi)星的壓電智能太陽帆板的熱誘發(fā)振動[16]。Liu等研究了熱結(jié)構(gòu)耦合作用下柔性航天器的姿態(tài)控制問題[17]。Xue等提出了傅立葉溫度單元方法，大大提高了薄壁結(jié)構(gòu)非線性溫度場的求解效率，并將該方法用于大型柔性空間結(jié)構(gòu)的熱-結(jié)構(gòu)耦合分析中，促進(jìn)了熱致結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析的工程應(yīng)用[18-20]。

目前，國內(nèi)外關(guān)于太陽帆的研究集中在總體設(shè)計(jì)[21-22]、軌道和姿態(tài)控制[23-27]、帆膜制備和展開[28-30]等方面。按照展開和維持帆面構(gòu)型的方式不同，太陽帆總體設(shè)計(jì)可分為旋轉(zhuǎn)展開無桅桿式和機(jī)械展開有桅桿式兩大類，圖1所示為NASA研制的方形有桅桿式太陽帆[2]。通常認(rèn)為有桅桿式太陽帆具有展開可靠性高，姿態(tài)控制簡單和消耗控制能量小等優(yōu)點(diǎn)[31]。但是，有桅桿式太陽帆在繞地軌道熱輻射沖擊作用下，桅桿截面溫差可能引起太陽帆結(jié)構(gòu)的熱致響應(yīng)，從而影響太陽帆順利進(jìn)入星際軌道，或者影響近地球任務(wù)太陽帆的工作性能。目前，國內(nèi)外關(guān)于有桅桿式太陽帆在繞地軌道中的熱誘發(fā)振動問題未見報(bào)道。

圖1 NASA研制的Nanosail-D太陽帆[2]Fig.1 Solar sail Nanosail-D designed by NASA[2]

本文以方形有桅桿式太陽帆為研究對象，考慮熱輻射等非線性因素，建立太陽帆的熱-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)模型，分析太陽帆在繞地軌道中遭受熱輻射沖擊作用時的結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)，為繞地軌道太陽帆的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、軌道設(shè)計(jì)和姿態(tài)控制提供理論依據(jù)。

1 模型與假設(shè)

本文以正方形五點(diǎn)連接式太陽帆為研究對象，總體結(jié)構(gòu)如圖2所示，三角形薄膜帆面通過張拉索與對角線桅桿連接，帆面薄膜(簡稱：帆膜)在預(yù)應(yīng)力作用下保持平整，有效載荷安裝在太陽帆中心。

圖2 五點(diǎn)連接式方形太陽帆Fig.2 Five-point suspension square solar sail

本文太陽帆熱-結(jié)構(gòu)耦合分析采用如下假設(shè)：

1) 光壓很小，太陽帆結(jié)構(gòu)發(fā)生小變形。

2) 帆膜褶皺幅值較小，忽略褶皺對光壓壓心位置和帆膜吸熱的影響。

3) 帆膜通過張拉索與桅桿相連，忽略桅桿與帆膜之間的熱傳導(dǎo)。

4) 太陽帆結(jié)構(gòu)對稱。

2 太陽帆的熱-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)方程

太陽帆由地球陰影區(qū)進(jìn)入光照區(qū)，桅桿-帆膜結(jié)構(gòu)的溫度場在突加太陽熱流的作用下將發(fā)生瞬態(tài)變化。由于熱彈性效應(yīng)，薄壁桅桿和帆膜的瞬態(tài)溫度變化將在桅桿和帆膜內(nèi)部產(chǎn)生沖擊熱應(yīng)力，進(jìn)而引發(fā)太陽帆結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)。本節(jié)建立太陽帆桅桿-帆膜結(jié)構(gòu)的熱-結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程。

2.1 瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程

太陽帆進(jìn)入光照區(qū)后，薄壁桅桿受到太陽輻射熱流S0的作用如圖3所示，(O,x,y,z)為桅桿局部坐標(biāo)系;θ0為太陽輻射熱流入射方向與桅桿外表面法線的夾角;h為桅桿截面壁厚。

圖3 太陽輻射熱流作用下的太陽帆薄壁桅桿Fig.3 Thin-walled boom subjected to solar heat flux

忽略沿桅桿壁厚方向的溫度變化，薄壁桅桿的溫度場為二維分布：T(x,φ,t)，滿足如下非線性偏微分方程：

(1)

式中：c為桅桿比熱；ρ為桅桿密度；t為時間；R為桅桿截面的平均半徑；φ為桅桿截面壁厚中線的周向角坐標(biāo)；kx，kφ分別為桅桿沿x向，φ向的熱傳導(dǎo)系數(shù)；ε為桅桿外表面的熱輻射系數(shù)；σ為Stefan-Boltzman常數(shù)；q為桅桿外表面吸收的太陽輻射熱量：

(2)

其中：αs為桅桿外表面的熱輻射吸收系數(shù)；S0為太陽輻射熱流S0的幅值。

將T(x,φ,t)在桅桿截面內(nèi)的分布近似為截面平均溫度Ta(x,t)和截面攝動溫度Tp(x,t)的疊加[4]：

T(x,φ,t)≈Ta(x,t)+Tp(x,t)cosφ

(3)

將式(3)代入式(1)，并在桅桿截面內(nèi)進(jìn)行積分，可將式(1)解耦為如下2個偏微分方程：

(4)

(5)

式中：k為熱傳導(dǎo)系數(shù)。其初始條件為：Ta(x,t0)=T0和Tp(x,t0)=0，其中T0為太陽帆結(jié)構(gòu)初始溫度，t0表示初始時刻。

太陽輻射熱流S0作用下，帆膜的溫度場也將發(fā)生變化。考慮到帆膜厚度很小，忽略膜厚方向的溫度變化，且不考慮褶皺對吸熱的影響，則帆膜溫度場在整個帆膜結(jié)構(gòu)內(nèi)均勻分布：Tm(t)，滿足如下微分方程：

(6)

其初始條件為：Tm(t0)=T0。式中：cm為帆膜比熱；ρm為帆膜密度；εm為帆膜表面的熱輻射系數(shù)；αm為帆膜表面的吸收系數(shù)；tm為帆膜厚度。

式(4)～式(6)即為描述太陽帆桅桿-帆膜結(jié)構(gòu)瞬態(tài)溫度場的熱傳導(dǎo)方程。

2.2 結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程

由于熱彈性效應(yīng)，截面平均溫度Ta的升降將引起桅桿沿軸向的伸縮變形，截面攝動溫度Tp的變化將引起桅桿的彎曲變形，這些變形可等效為分別由外載荷熱軸力FT和熱彎矩MT引起的，其計(jì)算公式為

眾創(chuàng)空間是集聚創(chuàng)客、高校、企業(yè)和科研機(jī)構(gòu)等各類主體的協(xié)同創(chuàng)新合作體系，可以實(shí)現(xiàn)跨行業(yè)跨領(lǐng)域的創(chuàng)新資源彈性配置，并形成聚合效應(yīng)和疊加效應(yīng)。它不僅為創(chuàng)客團(tuán)隊(duì)提供了實(shí)現(xiàn)突破性創(chuàng)新的要素和資源，還為協(xié)同創(chuàng)新搭建了深度互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)平臺，有助于創(chuàng)客團(tuán)隊(duì)進(jìn)行全向度創(chuàng)新。而且眾創(chuàng)空間在協(xié)同創(chuàng)新過程中能夠不斷演化，形成正反饋鏈條，從而加速產(chǎn)品創(chuàng)新和迭代速度，打造出融合、開放、多元的協(xié)同創(chuàng)新生態(tài)圈。

FT=αTEA(Ta-T0)

(7)

(8)

式中：αT為桅桿熱膨脹系數(shù)；A為桅桿截面面積；E為桅桿彈性模量；I為桅桿截面關(guān)于z軸的慣性矩。

對于帆膜結(jié)構(gòu)，由于帆膜厚度很小，帆膜厚度方向的溫差變化無法形成帆膜熱彎矩，因而不會引起帆膜的熱誘發(fā)振動，但是，帆膜溫度Tm將引起帆膜預(yù)應(yīng)力的變化，從而影響張拉索作用在桅桿上的拉力Fm。

根據(jù)對稱性，太陽帆桅桿可看作為薄壁懸臂梁結(jié)構(gòu)，其受到熱軸力FT、熱彎矩MT和張拉索拉力Fm的作用，如圖4所示。

采用Euler-Bernoulli梁理論，太陽帆桅桿在熱載荷作用下的運(yùn)動方程為

(9)

圖4 熱應(yīng)力作用下的太陽帆薄壁桅桿Fig.4 Thin-walled boom subjected to thermally- induced loads

需滿足的邊界條件為

w(0,t)=0

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

設(shè)w(x,t)可近似表示為

w(x,t)=W1(t)N1(x)+W2(t)N2(x)

(11)

式中：W1(t)和W2(t)為廣義位移；N1(x)和N2(x)為形函數(shù)?？紤]強(qiáng)制邊界條件式(10a)和式(10b)，可取N1(x)=x2，N2(x)=x3。

采用伽遼金加權(quán)余量法，分別取罰函數(shù)為N1(x)和N2(x)，考慮到邊界條件式(10c)和式(10d)，可得式(9)的等效積分格式：

+N1(l)[EIw″(l,t)+MT(l,t)]+

N1(l)[EIw′″(l,t)+Fe]=0

(12)

+N2(l)[EIw″(l,t)+MT(l,t)]+

N2(l)[EIw′″(l,t)+Fe]=0

(13)

將式(11)分別代入式(12)和式(13)，并在桅桿域內(nèi)分部積分，可得

(14)

式中：

式(14)和式(4)～式(6)共同構(gòu)成了描述太陽帆桅桿-帆膜結(jié)構(gòu)熱誘發(fā)振動的熱-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)方程組。

2.3 熱-結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程的求解

太陽帆桅桿-帆膜結(jié)構(gòu)的熱-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)方程組可采用直接積分法求解，由于熱輻射項(xiàng)的存在，其中式(4)和式(6)是非線性的，在每個時間步還需要迭代求解，其具體求解流程如圖5所示。

圖5 熱-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)方程的求解流程Fig.5 Solving algorithm of thermal-structure coapling dynamic equations

按照上述求解流程，本文使用Visual-Fortran 90編寫了太陽帆桅桿-帆膜的熱-結(jié)構(gòu)動力學(xué)計(jì)算程序。

3 太陽帆的熱誘發(fā)振動分析

文獻(xiàn)[4]考慮桅桿靜態(tài)變形、屈曲載荷、總質(zhì)量等約束條件，以太陽帆特征加速度達(dá)到1 mm/s2為目標(biāo)給出了邊長100 m的方形太陽帆優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，本文對該太陽帆方案進(jìn)行熱致結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析，其結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)見表1和表2。

表1 太陽帆結(jié)構(gòu)尺寸Table 1 Structural dimensions of solar sail

表2 太陽帆材料參數(shù)Table 2 Material parameters of solar sail

太陽帆繞地運(yùn)行，由地球陰影進(jìn)入光照區(qū)，受到突加太陽熱流S0=1 350 W/m2和突加光壓P0=9.12×10-6Pa的作用。

3.1 太陽帆的熱致結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)

以太陽帆進(jìn)入光照區(qū)為初始時刻t0=0 s，設(shè)太陽帆桅桿截面初始平均溫度Ta(x,0)=290 K,初始攝動溫度Tp(x,0)=0 K，熱流入射角度為0°。

圖6為太陽帆桅桿截面平均溫度隨時間變化的歷程圖，桅桿截面平均溫度Ta在太陽輻射熱流作用下緩慢上升，在t=450 s后達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度413 K。

圖6 桅桿自由端截面平均溫度時間歷程Fig.6 Variation of average temperature of boom cross-section with time

圖7為太陽帆桅桿截面攝動溫度隨時間變化的歷程圖，桅桿截面攝動溫度Tp在太陽輻射熱流作用下快速上升，在t=250 s后達(dá)到穩(wěn)定，桅桿截面最大溫差達(dá)到了92.98 K。

圖7 桅桿自由端截面攝動溫度時間歷程Fig.7 Variation of perturbation temperature of boom cross-section with time

圖8給出了桅桿自由端截面內(nèi)的溫度變化，可以看出桅桿溫度在截面內(nèi)的正弦分布，光照面的最大溫度達(dá)到了496 K，背光面的溫度為329.9 K，桅桿截面內(nèi)的溫差達(dá)到了166 K。

圖8 桅桿自由端截面溫度分布Fig.8 Temperature distribution on cross-section of boom tip

太陽帆桅桿截面內(nèi)的溫差將引起熱彎矩，其作用在桅桿上會引起太陽帆桅桿的動態(tài)響應(yīng)，圖9給出了沖擊熱彎矩引起的桅桿自由端位移時間歷程。

圖9 桅桿自由端的位移-時間歷程Fig.9 Displacement-time history of boom tip

由圖9可以看出，在太陽輻射熱沖擊作用下，太陽帆桅桿發(fā)生了明顯的熱誘發(fā)振動，振動形式為圍繞準(zhǔn)靜態(tài)變形的等幅振動，其準(zhǔn)靜態(tài)變形為3.16 m，平均振幅為0.75 m，最大動態(tài)位移達(dá)到了4.10 m。

3.2 太陽帆熱誘發(fā)振動的參數(shù)分析

太陽帆發(fā)生熱誘發(fā)振動的條件和特點(diǎn)取決于太陽帆結(jié)構(gòu)剛度、進(jìn)入光照區(qū)的姿態(tài)角和帆膜預(yù)應(yīng)力等因素，本小節(jié)對這些影響太陽帆熱誘發(fā)振動的因素進(jìn)行參數(shù)分析。

太陽帆進(jìn)入光照區(qū)的姿態(tài)會造成太陽輻射熱流相對于結(jié)構(gòu)的入射角θ0不同，從而影響結(jié)構(gòu)吸收熱量的不同。圖10為不同熱流入射角下，桅桿平均溫度隨時間變化的歷程圖，可以看出隨著輻射熱流由垂直入射變?yōu)樾鄙?，桅桿表面吸收熱量減少，太陽帆桅桿截面平均溫度Ta的穩(wěn)態(tài)值變?。河纱怪比肷洇?=0°的時的413.1 K，逐漸減小為θ0=75°的時的294.5 K。圖11為不同熱流入射角下，桅桿截面攝動溫度隨時間變化的歷程圖，同樣，隨著熱流由垂直入射變?yōu)樾鄙?，桅桿截面的溫差Tp也逐漸減小：由垂直入射θ0=0°時的83.2 K，逐漸減小為θ0=75°時的32.0 K。

圖10 熱流入射角度對桅桿截面平均溫度的影響Fig.10 Effect of incident angle of heat flux on average temperature of boom cross-section

圖11 熱流入射角度對桅桿截面攝動溫度的影響Fig.11 Effect of incident angle of heat flux on perturbation temperature of boom cross-section

如前所述，攝動溫度Tp會對桅桿的熱彎矩造成影響，圖12為不同熱流入射角下，桅桿自由端位移隨時間變化的歷程圖，可以看出熱流入射角的增大造成熱彎矩減小，使得桅桿熱誘發(fā)振動的準(zhǔn)靜態(tài)變形和振幅均有所減小。熱流垂直入射θ0=0°時的太陽帆桅桿熱誘發(fā)振動最為劇烈，當(dāng)熱流入射角θ0=75°時桅桿的熱誘發(fā)振動可近似看作靜態(tài)的熱致變形。

圖13為桅桿壁厚參數(shù)變化時，桅桿自由端位移隨時間變化的歷程圖，隨著桅桿剛度增大，桅桿熱誘發(fā)振動的振幅和準(zhǔn)靜態(tài)變形減小，頻率增大，即太陽帆桅桿剛度的增大有利于抑制熱誘發(fā)振動的發(fā)生。

提高帆膜預(yù)應(yīng)力可以有效減小帆面的褶皺，提高光壓的反射效率，但是，帆膜預(yù)應(yīng)力也會造成桅桿軸力的變化，從而影響桅桿的熱致振動響應(yīng)。圖14為帆膜預(yù)應(yīng)力引起桅桿軸力變化時，桅桿自由端位移隨時間變化的歷程圖，其中Pcr為桅桿的一階屈曲載荷值?？芍S著軸力增大，桅桿熱誘發(fā)振動的振幅增大，頻率減小。當(dāng)軸力增大至一定程度，熱誘發(fā)振動將會發(fā)散，因此，帆膜預(yù)應(yīng)力對于熱誘發(fā)振動是不利因素，須適當(dāng)設(shè)計(jì)。

圖13 太陽帆桅桿截面壁厚對熱誘發(fā)振動的影響Fig.13 Effect of boom thickness on thermally-induced vibration of solar sail

4 結(jié) 論

本文首次建立了太陽帆桅桿-薄膜結(jié)構(gòu)的熱-結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型，給出了熱-結(jié)構(gòu)耦合動力學(xué)方程組的求解流程，分析了太陽帆桅桿-薄膜結(jié)構(gòu)熱誘發(fā)振動的特點(diǎn)和影響因素。得到了以下結(jié)論：

1) 繞地運(yùn)行的方形桅桿支撐式太陽帆，由地球陰影進(jìn)入光照區(qū)將會發(fā)生明顯的熱誘發(fā)振動，振動形式為圍繞準(zhǔn)靜態(tài)變形的等幅振動。

2) 太陽帆由陰影區(qū)進(jìn)入光照區(qū)的姿態(tài)角會影響太陽帆結(jié)構(gòu)的熱誘發(fā)振動，太陽熱流垂直入射時，桅桿截面的平均溫度和攝動溫度最大，熱誘發(fā)振動最劇烈，隨著熱流入射角的增大，桅桿截面攝動溫度減小，熱誘發(fā)振動減弱，頻率不變。

3) 隨著桅桿壁厚增加，剛度增大，桅桿熱誘發(fā)振動的振幅和準(zhǔn)靜態(tài)變形減小，頻率增大，桅桿剛度增大有利于抑制太陽帆結(jié)構(gòu)發(fā)生熱誘發(fā)振動。

4) 帆膜預(yù)應(yīng)力將造成桅桿軸力的變化，影響桅桿的熱致振動響應(yīng)，隨著桅桿軸力增大，桅桿熱誘發(fā)振動的振幅增大，頻率減小。當(dāng)軸力增大至一定程度，熱誘發(fā)振動將會發(fā)散。