張斌，周敬

北京控制工程研究所，北京 100190

近年來，關(guān)于平動點(diǎn)任務(wù)的研究受到越來越多的關(guān)注。本文討論的平動點(diǎn)屬于三體問題范疇，是天體力學(xué)領(lǐng)域的基本問題之一。Euler和Lagrange分別在1765年和1772年研究限制性三體問題(Restricted Three Body Problem, RTBP)時，發(fā)現(xiàn)RTBP存在5個平衡點(diǎn)，稱之為平動點(diǎn)或拉格朗日點(diǎn)[1]，其中，位于兩個主天體連線上的3個平動點(diǎn)稱為共線平動點(diǎn)。由于平動點(diǎn)獨(dú)特的動力學(xué)特性，將航天器部署到平動點(diǎn)上時，航天器在引力作用下，與主天體的相對位置保持不變。然而在真實(shí)空間環(huán)境下，平動點(diǎn)位置無法被精確確定，而相比于平動點(diǎn)，其附近的周期軌道更適用于航天任務(wù)。因此實(shí)際任務(wù)中通常將航天器部署在平動點(diǎn)附近的軌道上。

平動點(diǎn)的動力學(xué)內(nèi)涵十分豐富[2]，在其附近存在著豐富的軌道類型，包括周期軌道(如Lyapunov軌道、Halo軌道等)、擬周期軌道(如Lissajous軌道、擬Halo軌道等)以及不變流形等[3-5]。這些軌道為一些特殊的深空探測任務(wù)以及空間低能轉(zhuǎn)移提供了可能。例如，日地L2點(diǎn)因其獨(dú)特的空間位置和物理環(huán)境，為空間望遠(yuǎn)鏡等深空觀測衛(wèi)星提供了良好的部署條件[6]；日地L1點(diǎn)位于日地連線之間，是部署太陽活動監(jiān)測衛(wèi)星的絕佳地點(diǎn)[7]；地月L2點(diǎn)位于地月連線上月球的背面，選擇合適的軌道尺寸能夠使部署在上面的航天器有效規(guī)避月掩，是為地球與月球背面提供中繼通信的理想場所[8]；此外，平動點(diǎn)在太陽系中廣泛存在，這些平動點(diǎn)附近的不變流形相互連接，構(gòu)成了一系列蜿蜒錯綜的管道，稱為行星際高速公路(InterPlanetary Superhighway, IPS)，利用IPS，可以實(shí)現(xiàn)行星際的低能轉(zhuǎn)移[9]。

平動點(diǎn)軌道在實(shí)際任務(wù)中的應(yīng)用起步相對較晚。1978年，美國航空航天局(NASA)成功發(fā)射ISEE-3探測器，是平動點(diǎn)軌道第1次在實(shí)際任務(wù)中得到應(yīng)用。以ISEE-3的成功實(shí)踐為起點(diǎn)，拉開了利用平動點(diǎn)進(jìn)行深空探測的序幕[10]。在接下來的幾十年里，以NASA和歐洲航天局(ESA)為代表的航天機(jī)構(gòu)，先后成功實(shí)施了SOHO、ACE、MAP、Genesis、ARTEMIS等多次平動點(diǎn)任務(wù)[11]，在太陽活動監(jiān)測、深空觀測等領(lǐng)域取得了豐碩的成果。中國先后進(jìn)行了嫦娥二號、嫦娥五號T1以及“鵲橋”衛(wèi)星3次平動點(diǎn)任務(wù)，其中于2018年成功發(fā)射的“鵲橋”通信中繼衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)了人類歷史上首次月背中繼通信，為嫦娥四號進(jìn)行人類首次月背軟著陸探測提供了有力支撐。

雖然共線平動點(diǎn)附近存在著豐富的軌道類型，但由于其本身是不穩(wěn)定的，運(yùn)行在其附近軌道上的航天器若不施加控制，將會很快偏離標(biāo)稱軌道。因此，設(shè)計平動點(diǎn)任務(wù)時，進(jìn)行平動點(diǎn)軌道維持研究十分必要。針對平動點(diǎn)軌道維持問題，許多學(xué)者進(jìn)行了研究，并取得了一些成果。Simo等[12]利用Floquet模態(tài)理論針對擬Halo軌道和Halo軌道的維持問題進(jìn)行了研究；Breakwell等[13]最早利用線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)方法實(shí)現(xiàn)了對Halo軌道的維持控制；Howell和Pernicka[14]提出了利用靶點(diǎn)法維持平動點(diǎn)軌道的策略，并在ARTEMIS任務(wù)中得到了應(yīng)用；Lian等[15]利用離散時間滑?？刂茖?shí)現(xiàn)了對真實(shí)星歷下地月系平動點(diǎn)軌道的維持控制；Nazari等[16]分別利用時變LQR、退步控制和反饋線性化實(shí)現(xiàn)了地月L1附近Halo軌道的維持控制，并對3種方法的仿真結(jié)果進(jìn)行了對比分析；徐明和徐世杰[17]設(shè)計了一種線性周期控制策略實(shí)現(xiàn)了Halo軌道的維持控制。

基于特征模型的自適應(yīng)控制方法是由吳宏鑫院士在20世紀(jì)80年代初提出的一種從實(shí)際應(yīng)用角度出發(fā)的控制方法。經(jīng)過30多年的發(fā)展，不僅在理論上取得了重要進(jìn)展，同時還成功應(yīng)用于神舟飛船再入返回控制、交會對接等重大工程中[18]。所謂特征模型，即結(jié)合對象動力學(xué)特征、環(huán)境特征和控制性能要求而不是僅以對象精確動力學(xué)分析所建立的模型，其具有以下特點(diǎn)[19]：① 在同樣控制作用下，對象特征模型和實(shí)際對象在輸出上是等價的，在穩(wěn)定情況下，輸出是相等的；② 特征模型的形式和階次除考慮對象特征外，主要取決于控制性能要求；③ 特征模型建立的形式比原對象的動力學(xué)方程簡單，易于控制器設(shè)計，工程實(shí)現(xiàn)容易、方便；④ 特征模型與高階系統(tǒng)的降階模型不同，它是把高階模型有關(guān)信息都壓縮到幾個特征參量中，并不丟失信息，一般情況下用慢時變差分方程描述。

由于三體問題相對于二體問題更為復(fù)雜，而基于特征模型的控制方法具有將復(fù)雜問題簡單化的優(yōu)勢，因此本文基于特征模型理論，研究了地月系L2點(diǎn)附近Halo軌道的維持控制問題。本文結(jié)構(gòu)安排如下：第1節(jié)介紹兩類動力學(xué)模型及標(biāo)稱軌道的獲?。坏?節(jié)介紹黃金分割控制器和PD控制器的設(shè)計過程；第3節(jié)介紹仿真結(jié)果及結(jié)果分析；第4節(jié)總結(jié)全文，給出結(jié)論。

1 動力學(xué)模型與標(biāo)稱軌道

1.1 圓型限制性三體模型

圓型限制性三體問題(Circular Restricted Three Body Problem, CRTBP)是最簡化形式的三體問題，其可以描述為：一個質(zhì)量無窮小的天體在兩個大質(zhì)量天體的引力作用下的運(yùn)動，其中兩個大質(zhì)量天體(又稱為主天體)圍繞其公共質(zhì)心做圓形周期運(yùn)動。在航天應(yīng)用領(lǐng)域，常涉及的主天體主要是地球-月球或者太陽-地球/月球。

通常在如圖1所示的會合坐標(biāo)系下對CRTBP進(jìn)行研究。圖中:m3為航天器;M1和M2為兩個主天體(M1≥M2);坐標(biāo)原點(diǎn)O為它們的公共質(zhì)心，Ox由M1指向M2，Oz指向M1和M2運(yùn)動的角動量方向，xOy平面為M1和M2的運(yùn)動平面，Oxyz構(gòu)成右手坐標(biāo)系；r、r1、r2分別為由O、M1和M2指向m3的矢徑。為了方便計算，對各物理量進(jìn)行無量綱化處理。歸一化后的質(zhì)量、長度、時間單位分別為

圖1 會合坐標(biāo)系Fig.1 Syzygy frame

(1)

式中：等式右邊的各物理量均采用國際單位制，M1和M2分別為兩個主天體的質(zhì)量；L12為主天體之間的距離；G為萬有引力常量，則可得到歸一化后的主天體M1和M2的質(zhì)量分別為1-μ和μ，μ為質(zhì)量參數(shù)，形式為

(2)

主天體在會合坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(-μ,0,0)和(1-μ,0,0)。在地月系中，μ=0.012 150 585 61。

(3)

式中：Ω為有效勢，其形式為

(4)

(5)

1.2 雙圓限制性四體模型

CRTBP是最理想情況下的簡化模型，在實(shí)際情況中，航天器在平動點(diǎn)軌道上的運(yùn)動會受到第四體引力攝動、系統(tǒng)偏心率、太陽光壓等攝動因素的影響。對于地月三體系統(tǒng)，太陽引力攝動是影響航天器運(yùn)動的主要攝動源，因此在CRTBP基礎(chǔ)上，引入太陽引力攝動，建立雙圓限制性四體模型(BiCircular Restricted Four Body Model, BCRFBM)能夠更加精確地模擬真實(shí)力學(xué)環(huán)境。

雙圓限制性四體坐標(biāo)系如圖2所示，在BCRFBM假設(shè)下，太陽在地月運(yùn)動平面內(nèi)繞系統(tǒng)質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動。圖中:M4為太陽，坐標(biāo)軸定義與會合坐標(biāo)系相同；r、r1、r2、r4分別為由O、M1、M2和M4指向m3的矢徑；d4為O指向太陽的矢徑，θ4為d4與坐標(biāo)系x軸的夾角。

圖2 雙圓限制性四體坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of BCRFBM

在BCRFBM假設(shè)下，航天器m3的動力學(xué)方程為

(6)

式中：

(7)

1.3 標(biāo)稱Halo軌道

標(biāo)稱軌道是Halo軌道維持研究的基礎(chǔ)。Halo軌道是共線平動點(diǎn)附近的一類周期軌道，是水平Lyapunov軌道分岔的結(jié)果。由于三體動力學(xué)系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性特征，無法獲得Halo軌道的精確解析解，因此標(biāo)稱軌道通常采用數(shù)值積分的方式求解。

數(shù)值積分的初值，通常通過修正由近似解析解提供的近似初值獲得。Richardson[20]在1980年基于Lindstedt-Poincaré方法推導(dǎo)了Halo軌道的三階近似解析解，其表達(dá)式為

(8)

式中：τ1為Halo軌道的線性化相位角，τ1=τ0+ωt，τ0為初始相位角；Ax、Az分別為Halo軌道在平動點(diǎn)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的線性化振幅，且Ax和Az之間存在限制性條件：

(9)

式(8)和式(9)中的其他各參數(shù)定義見文獻(xiàn)[20]。

利用式(8)獲得的積分初值只是近似初值，直接利用此初值代入動力學(xué)方程式(3)中進(jìn)行數(shù)值積分，結(jié)果將很快發(fā)散。因此，還需對近似初值進(jìn)行修正，以獲得滿足精度要求的積分初值。

對近似初值的修正可以采用微分修正的方法進(jìn)行。由于Halo軌道具有關(guān)于xOz平面對稱的幾何性質(zhì)，因此選取Halo軌道與xOz平面的一個交點(diǎn)作為軌道初值，記為

若初值為精確值，則積分半個軌道周期T/2時，軌道第一次穿越xOz平面，且有

可達(dá)到修正初值的效果。實(shí)際修正中，可固定z0，簡化修正過程，則微分修正量可通過如下形式獲得[21]：

(10)

設(shè)置Halo軌道z向振幅為Az=0.016 6，依據(jù)微分修正方法獲得了修正后的積分初值，然后將此初值代入動力學(xué)方程式(3)，數(shù)值積分可得如圖3所示的Halo軌道，其軌道周期在歸一化單位下為T=3.412 2，相當(dāng)于約14.738 6天，圖中LEM表示地球與月球之間的距離。

圖3 微分修正初值之后的Halo軌道Fig.3 Halo orbit with initial value obtained by differential correction

值得注意的是，由于Halo軌道本身是不穩(wěn)定的，經(jīng)過微分修正初值后獲得的Halo軌道也不是完全閉合的軌道，經(jīng)過多圈積分之后仍會發(fā)散?？紤]到實(shí)際任務(wù)需求，僅依靠微分修正后的Halo軌道作為標(biāo)稱軌道顯然無法完成較長時間周期內(nèi)的軌道維持，因此還需對微分修正后的軌道做進(jìn)一步的修正，獲得一條持續(xù)時間較長的標(biāo)稱軌道。

為獲得滿足需求的標(biāo)稱軌道，本文采用靶點(diǎn)法對Halo軌道進(jìn)行了進(jìn)一步的修正。靶點(diǎn)法的基本思想是通過最小化目標(biāo)函數(shù)J，求解使軌道維持在標(biāo)稱軌道附近所需的最小速度脈沖，其中目標(biāo)函數(shù)J是機(jī)動速度和靶點(diǎn)狀態(tài)相對標(biāo)稱軌道偏差的加權(quán)和，具有以下形式：

(11)

式中：Q、Rk和Tk為權(quán)值矩陣；pk和vk為航天器在第k個靶點(diǎn)處相對標(biāo)稱軌道的位置和速度偏差，可利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(tk,tc)獲得

(12)

式中：pc和vc為當(dāng)前時刻tc的位置和速度偏差。將pk和vk代入式(11)中，令

(13)

即可求得Δvmin。

根據(jù)上述原理，以微分修正所獲得的Halo軌道第一圈為基礎(chǔ)，設(shè)計三靶點(diǎn)的修正策略，可以得到圖4所示的標(biāo)稱軌道。修正過程中，修正間隔為0.01T，持續(xù)20個周期，圖5給出了速度修正量相對于速度的比例，可以看出除個別情況外，修正量均不超過速度的0.04%，因此可以認(rèn)為標(biāo)稱軌道是連續(xù)的。

圖4 標(biāo)稱軌道(20周期)Fig.4 Reference orbit (20 periods)

2 控制器設(shè)計

(14)

式中：

其中：u稱為控制加速度。

2.1 速度跟蹤的多變量黃金分割控制器

根據(jù)文獻(xiàn)[19]，對多輸入多輸出系統(tǒng)建立特征模型，需輸入輸出同維。由于式(14)中控制量為3維，而為實(shí)現(xiàn)Halo軌道維持需要對全狀態(tài)(6維)進(jìn)行跟蹤，因此無法對全狀態(tài)建立特征模型，故考慮僅對速度跟蹤特征建模。

在采樣周期Δt滿足一定條件下，速度跟蹤的特征模型可用如下輸出解耦型二階差分方程組描述：

X1(k+1)=F1(k)X1(k)+F2(k)X1(k-1)+G0(k)U1(k)+G1(k)U1(k-1)

(15)

式中：

且有當(dāng)Δt→0時

式(15)中的特征參量F1(k)、F2(k)、G0(k)和G1(k)由參數(shù)估計得到。盡管是多變量，對于式(15)的特征模型仍可按每路獨(dú)立進(jìn)行參數(shù)估計[19]。每一回路的特征方程可寫為

xj(k)=f1j(k)xj(k-1)+f2j(k)xj(k-2)+

(16)

式中：

參數(shù)估計采用如下最小二乘遞推算法：

(17)

(18)

2.2 位置跟蹤的PD控制器

u2=up+ud

(19)

式中：

(20)

為了便于調(diào)節(jié)，ud采用邏輯微分，其形式為

(21)

式中：cj、Nj為常數(shù)。

至此，可以得到最終的控制器為

u=u1+u2

(22)

由MIMO特征模型式(15)和黃金分割控制器式(18)組成的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一直是相關(guān)研究學(xué)者關(guān)注的問題，其中文獻(xiàn)[22-23]均給出了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件，但該充分條件仍有很大的局限性，因此基于MIMO特征模型的黃金分割控制器的穩(wěn)定性證明仍有待進(jìn)一步研究和完善。由于控制器(22)為離散形式，而原系統(tǒng)(14)為連續(xù)模型，因此由控制器(22)和原系統(tǒng)組成的閉環(huán)系統(tǒng)是一個典型的混雜系統(tǒng)，目前關(guān)于混雜系統(tǒng)穩(wěn)定性證明尚無有效的工具，仍有待進(jìn)一步研究?；谝陨戏治觯疚闹袝翰簧婕翱刂破鞣€(wěn)定性的證明。

3 仿真結(jié)果

為了驗證第2節(jié)中設(shè)計的控制器的有效性，選取了地月L2點(diǎn)附近的Halo軌道進(jìn)行了仿真，并與LQR方法下的仿真結(jié)果進(jìn)行了對比。設(shè)置軌道z向振幅為Az=0.016 6，相當(dāng)于約6 391.5 km；周期為T=3.412 2，相當(dāng)于14.738 6天；仿真總時長為20個周期，約300天。

3.1 CRTBP模型下的仿真結(jié)果

針對地月L2點(diǎn)附近的Halo軌道維持控制問題，利用第2節(jié)中設(shè)計的控制器，首先在CRTBP模型下進(jìn)行了仿真。考慮到實(shí)際任務(wù)中，航天器進(jìn)入Halo軌道時，不可避免地會產(chǎn)生入軌誤差，導(dǎo)致實(shí)際軌道偏離標(biāo)稱軌道，因此，仿真時設(shè)置了初始位置誤差和速度誤差，其大小為

約相當(dāng)于國際單位制下的：

設(shè)置系統(tǒng)采樣周期為Δt=0.001，仿真結(jié)果如圖6所示。

位置誤差曲線和速度誤差曲線如圖7(a)和7(b)所示。由圖7(a)可以看出，采用黃金分割控制器和PD控制器的情況下，位置和速度誤差均在很短時間內(nèi)收斂到0；而采用LQR的情況下，速度誤差雖然仍能很快收斂，但位置誤差則表現(xiàn)出明顯的震蕩。

穩(wěn)態(tài)后采用兩種控制器情況下的位置和速度誤差均值如表1所示。由表中數(shù)據(jù)可以看出，相比于LQR方法，采用本文設(shè)計的黃金分割控制器和PD控制器進(jìn)行軌道維持，位置誤差均值和速度誤差均值均有顯著下降，由此可以說明本文設(shè)計的控制器相比于LQR方法具有更高的控制精度。

控制加速度曲線如圖7(c)所示?？梢钥闯?，采用黃金分割控制器和PD控制器情況下，控制加速度最大值出現(xiàn)在起始時刻，之后很快趨向于0；而采用LQR方法情況下，控制加速度則一直相對較小。對控制加速度進(jìn)行時間積分可得到軌道維持過程中所需要的速度增量，如表2所示。

圖6 CRTBP模型下維持結(jié)果Fig.6 Station-keeping under CRTBP model

圖7 位置誤差、速度誤差和控制加速度(CRTBP)Fig.7 Curves of position errors, velocity errors and control acceleration (CRTBP)

表1 位置和速度誤差均值(CRTBP)
Table 1Averages of position and velocity errors(CRTBP)

誤差控制器x軸y軸z軸位置誤差均值/m黃金分割+PD10.34597.42340.8269LQR11007265571124速度誤差均值/(m·s-1)黃金分割+PD0.00150.00120.0002LQR0.07010.08610.0051

表2 速度增量(CRTBP)Table 2 Velocity increment( CRTBP)

從表2中數(shù)據(jù)可以看出，20個周期的仿真過程中，采用本文設(shè)計的控制器，所需要的總速度增量為95.513 0 m/s，采用LQR方法所需要的總速度增量為31.670 8 m/s。由于仿真初值加入了入軌誤差，起始階段為了克服初始誤差，需要比較大的控制加速度，同時，由于參數(shù)辨識未收斂，也會導(dǎo)致初始控制量較大，采用本文設(shè)計的控制器時，第一個周期所需要的速度增量為73.191 7 m/s，相比于LQR方法下的1.858 5 m/s，控制消耗較大。而達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，采用本文設(shè)計的控制器時，每個周期所需要平均速度增量則僅為1.322 4 m/s，相比于第1周期有顯著降低；而采用LQR方法，穩(wěn)態(tài)后平均每個周期所需的速度增量為1.569 9 m/s，相比于第1周期也有所下降，但仍高于采用本文設(shè)計的控制器時的所需的速度增量。

由此可知，在CRTBP模型下，相比于LQR方法，利用第2節(jié)所設(shè)計的控制器進(jìn)行軌道維持，可實(shí)現(xiàn)精度較高的控制效果，且進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，控制消耗較小。另外，提高入軌精度，減小入軌時的位置和速度誤差，可以顯著降低起始階段的控制消耗。

3.2 BCRFBM模型下的仿真結(jié)果

為驗證控制器在太陽引力攝動影響下的有效性，本文基于BCRFBM模型，利用第2節(jié)設(shè)計的控制器以及LQR方法分別進(jìn)行了仿真。仿真過程中，仍然考慮了入軌誤差的影響，初始誤差大小與式(23)相同，采樣周期同3.1節(jié)，初始時刻太陽相位角取θ40=0。仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 BCRFBM模型下維持結(jié)果Fig.8 Station-keeping results under BCRFBM model

位置誤差曲線、速度誤差曲線以及控制加速度曲線如圖9所示。可以看出，采用第2節(jié)設(shè)計的控制器時，位置和速度誤差同CRTBP模型下的仿真結(jié)果一樣，均能在很短時間內(nèi)收斂到0；而采用LQR方法時，位置誤差和速度誤差均呈現(xiàn)明顯的震蕩，不能收斂。

圖9 位置誤差、速度誤差以及控制加速度曲線(BCRFBM)Fig.9 Curves of position errors, velocity errors and control acceleration (BCRFBM)

穩(wěn)態(tài)后采用兩種控制器情況下的位置和速度誤差均值如表3所示。由表中數(shù)據(jù)可以看出，采用第2節(jié)設(shè)計的黃金分割控制器和PD控制器進(jìn)行軌道維持時，相比于初始誤差，位置誤差均值和速度誤差均值仍能維持在較低的水平；而采用LQR方法時，位置和速度誤差均值相比于初始誤差均有較大幅度上升。由此可以再次說明本文設(shè)計的控制器在控制精度方面的優(yōu)勢。

表3 位置和速度誤差均值(BCRFBM)Table 3 Averages of position and velocity errors (BCRFBM)

從控制加速度曲線圖可以看出，與CRTBP模型下的仿真結(jié)果類似，采用第2節(jié)設(shè)計的控制器時，由于存在初始誤差，且參數(shù)辨識尚未收斂，控制加速度在起始時刻較大，之后很快趨向于0；而采用LQR方法，控制加速度一直比較平穩(wěn)。

對控制加速度進(jìn)行時間積分可得到軌道維持過程中所需要的速度增量，如表4所示。從表中數(shù)據(jù)可以看出，20個周期的仿真過程中，采用第2節(jié)設(shè)計的控制器時，所需要的總速度增量為745.024 6 m/s；由于仿真初值加入了入軌誤差，起始階段為了克服初始誤差，同時由于參數(shù)辨識未收斂，需要比較大的控制加速度，第1周期所需要的速度增量為130.037 4 m/s；達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，每個周期所需要平均速度增量則僅為33.166 3 m/s，相比于第1周期有顯著降低。而采用LQR方法時，所需的總速度增量、第1周期所需的速度增量以及穩(wěn)態(tài)后每個周期所需要的平均速度增量，分別為610.551 6、30.294 2和30.544 7 m/s，相比于使用本文設(shè)計的控制器情況下均有所下降。

表4 速度增量(BCRFBM)Table 4 Velocity increment(BCRFBM)

與CRTBP模型下仿真結(jié)果對比可以看出，采用第2節(jié)設(shè)計的控制器時，在軌道維持過程中引入太陽引力攝動，所需要的速度增量提升了一個數(shù)量級；x軸和y軸的位置跟蹤誤差同樣也提升了一個數(shù)量級，分析原因，主要在于太陽引力攝動主要作用于航天器x軸和y軸運(yùn)動，對z軸運(yùn)動則影響不大，但考慮到Halo軌道本身尺度較大，這樣的位置誤差仍是可以接受的；z軸的位置跟蹤誤差以及三軸的速度跟蹤誤差則與CRTBP下的仿真結(jié)果相差不大。同時，與CRTBP模型下的仿真結(jié)果類似，提高入軌精度，起始階段的控制消耗有望進(jìn)一步降低。而采用LQR方法時，雖然控制消耗有所下降，但其在消除跟蹤誤差方面表現(xiàn)很差，因此綜合來看，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，本文設(shè)計的控制器仍具有優(yōu)勢。

從仿真位置和速度誤差來看，本文所設(shè)計的控制方法是一種跟蹤精度較高的策略。在Halo軌道的維持控制中，控制精度與控制消耗互相制約，更高的控制精度通常也意味著更高的控制消耗。此外，根據(jù)文獻(xiàn)[24]中的研究結(jié)論，標(biāo)稱軌道的精確度與控制消耗密切相關(guān)。標(biāo)稱軌道越精確，維持控制所需要的控制消耗則越低。本文所采用的基準(zhǔn)Halo軌道是在CRTBP模型下修正的結(jié)果，對于考慮太陽引力的BCRFBM模型下的維持控制來說，精確度不夠。若能采用更精確的標(biāo)稱軌道，維持控制所需的總的速度增量有望進(jìn)一步降低。

4 結(jié) 論

本文首先基于Richardson三階近似解析解、微分修正及打靶法獲得了CRTBP模型下的地月L2點(diǎn)附近的標(biāo)稱Halo軌道，然后設(shè)計了基于特征模型理論速度跟蹤的黃金分割控制器以及位置跟蹤的PD控制器，最后分別在CRTBP模型和BCRFBM下進(jìn)行了地月L2點(diǎn)Halo軌道維持控制仿真，并與LQR方法下的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了控制器的有效性。通過分析仿真結(jié)果，可以得到以下結(jié)論：

1) 在CRTBP模型下，仿真結(jié)果跟蹤精度較高，控制消耗很小。

2) 在BCRFBM模型下，位置跟蹤精度有所下降，但相比于Halo軌道的尺度，仍然可以接受；但由于太陽引力作用以及標(biāo)稱軌道精度影響，控制消耗顯著增大。

3) 提高入軌精度，可以顯著降低起始階段的控制消耗。