張佳龍，閆建國(guó)，張普

西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安 710129

目前，無(wú)人系統(tǒng)已替代人類執(zhí)行特定的任務(wù)，尤其無(wú)人機(jī)在軍事領(lǐng)域取得的效果顯著，將成為未來(lái)戰(zhàn)爭(zhēng)的核心武器。因此，它的發(fā)展前景無(wú)法估量。多無(wú)人機(jī)編隊(duì)是無(wú)人系統(tǒng)的顯著代表，在軍用和民用領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，也是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)[1-2]。在執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)過(guò)程中，無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形保持能夠很大程度提高作戰(zhàn)效率，比如：協(xié)同偵察、追蹤保持[3-4]、感知識(shí)別以及協(xié)同打擊等[5-6]；在戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境發(fā)生變化時(shí)，無(wú)人機(jī)編隊(duì)則必須進(jìn)行編隊(duì)重構(gòu)，才能保證編隊(duì)的生存力[7]；對(duì)于局部戰(zhàn)爭(zhēng)，攜有無(wú)人機(jī)機(jī)群的大飛機(jī)在指定作戰(zhàn)區(qū)域上方釋放，隊(duì)形控制極為重要，為任務(wù)分配和目標(biāo)打擊奠定基礎(chǔ)。因此，無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形控制方法是實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)編隊(duì)安全飛行的前提和必要的手段，其有效性、合理性以及科學(xué)性直接影響作戰(zhàn)任務(wù)的成敗。針對(duì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形控制的研究方法非常多，而且也非常豐富，比如：領(lǐng)航跟隨法[8-9]、虛擬結(jié)構(gòu)法[10]、基于行為法[11]和圖論法[12]等，這些豐碩的理論成果雖發(fā)表在10年前，但解決了無(wú)人機(jī)近距編隊(duì)控制問(wèn)題，即隊(duì)形保持控制。然而，對(duì)于艦載多無(wú)人機(jī)編隊(duì)對(duì)海突擊作戰(zhàn)隊(duì)形保持控制，卻因其具有前沿性、復(fù)雜性等特點(diǎn)，導(dǎo)致這方面的研究較少。因此，多無(wú)人機(jī)在執(zhí)行作戰(zhàn)任務(wù)過(guò)程中，快速集結(jié)、形成期望的隊(duì)形以及保持編隊(duì)一致性等關(guān)鍵技術(shù)是科研工作者亟需解決的問(wèn)題，尤其隊(duì)形保持穩(wěn)定。

無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制問(wèn)題，已有大量相關(guān)領(lǐng)域的專家學(xué)者從理論到實(shí)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行深入的研究。文獻(xiàn)[13-16]，優(yōu)化控制方法、圖論法、導(dǎo)引方法和人工勢(shì)場(chǎng)方法用于解決編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[17]基于最優(yōu)控制的航跡規(guī)劃算法，設(shè)計(jì)了一種新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行組合優(yōu)化處理，使無(wú)人機(jī)搜索過(guò)程達(dá)到全局最優(yōu)。文獻(xiàn)[18]作者從隊(duì)形保持和隊(duì)形重構(gòu)進(jìn)行展開(kāi)研究，一方面設(shè)計(jì)了一種分布式反饋控制器，采用虛擬仿真平臺(tái)模擬3架無(wú)人機(jī)加速和轉(zhuǎn)彎的場(chǎng)景，并驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器的有效性；另一方面，將隊(duì)形重構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為燃料最優(yōu)控制問(wèn)題，并采用最小安全距離和最大通信距離進(jìn)行隊(duì)形重構(gòu)控制。文獻(xiàn)[19]，作者基于“長(zhǎng)機(jī)-僚機(jī)”結(jié)構(gòu)的編隊(duì)控制方法，結(jié)合軍隊(duì)急行軍中同列依次替補(bǔ)和末排內(nèi)向收攏原則，提出了機(jī)器人近距隊(duì)形保持策略。文獻(xiàn)[20]中，針對(duì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)感知能力有限和隊(duì)形控制方法的不足，提出了一種基于規(guī)則隊(duì)形控制方法，其核心思想：將隊(duì)形控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)人機(jī)追蹤自身期望位置。然而，在實(shí)際飛行中，編隊(duì)中的任意一架無(wú)人機(jī)出現(xiàn)故障或者戰(zhàn)毀，隊(duì)形會(huì)出現(xiàn)位置空缺，影響整個(gè)編隊(duì)隊(duì)形的緊湊性和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[21]中，作者針對(duì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形保持和隊(duì)形重構(gòu)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種分布式反饋優(yōu)化控制器，對(duì)三角形和線型隊(duì)形的加速度和轉(zhuǎn)彎情景進(jìn)行飛行控制仿真，并通過(guò)Lyapunov函數(shù)方法證明所設(shè)計(jì)控制器的有效性。但是，該文獻(xiàn)未考慮有風(fēng)場(chǎng)或者障礙物干擾的情形，因此，所設(shè)計(jì)的控制器具有局限性。針對(duì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形控制，已有的控制方法通常具有很高的計(jì)算成本而且很難實(shí)現(xiàn)局部子系統(tǒng)的控制。雖然在文獻(xiàn)[18]中，作者也同樣設(shè)計(jì)了一種分布式控制器，但由于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)計(jì)算量大，控制器的精度低，很難實(shí)現(xiàn)期望的隊(duì)形。然而，Stipanovic等[22]針對(duì)每架無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了一種反饋控制器，并采用分布重疊控制技術(shù)，將分散的無(wú)人機(jī)隊(duì)形變換為期望的隊(duì)形。與此同時(shí)，茹常劍等[23]采用模型預(yù)測(cè)方法解決編隊(duì)隊(duì)形控制問(wèn)題，其基本思路都是采用滾動(dòng)優(yōu)化算法。

在文獻(xiàn)[24]，針對(duì)“歐拉-拉格朗日(EL)”動(dòng)力學(xué)描述的不確定非均勻的非線性智能體模型，提出了一種自適應(yīng)分層編隊(duì)隊(duì)形控制方法。將編隊(duì)隊(duì)形控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同步問(wèn)題研究，采用分布式模型參考自適應(yīng)控制對(duì)EL系統(tǒng)進(jìn)行同步研究。其核心思想：每個(gè)智能體均收斂到由其分層次優(yōu)越的鄰居定義的模型。然而，該文獻(xiàn)的作者未考慮EL系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的約束條件和執(zhí)行器飽和等因素。在同時(shí)期，文獻(xiàn)[25]采用滾動(dòng)時(shí)域控制方法研究復(fù)雜無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形控制。文獻(xiàn)[26]基于分層機(jī)制和模型預(yù)測(cè)控制方法，提出了一種多無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制方法。這些方法，控制無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形的精度高，但是實(shí)時(shí)性差。Arcak等[27]首次提出的Back-stepping控制方法，該方法用于解決非線性編隊(duì)模型，其基本思想是首先設(shè)計(jì)子系統(tǒng)期望的虛擬輸入信號(hào)，然后反饋給控制器得到真實(shí)子系統(tǒng)的控制輸入；該方法常用于設(shè)計(jì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制器，通過(guò)構(gòu)建Lyapunov函數(shù)證明其有效性。與線性反饋控制方法相比較，Back-stepping方法具有較強(qiáng)的靈活性，且不要求系統(tǒng)必須是線性閉環(huán)的。文獻(xiàn)[28-29]將“長(zhǎng)機(jī)-僚機(jī)”控制策略應(yīng)用無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制中，將任意一架無(wú)人機(jī)作為長(zhǎng)機(jī)，其余無(wú)人機(jī)作為僚機(jī)，簡(jiǎn)化為多機(jī)編隊(duì)控制問(wèn)題。然而，這種方法具有局限性。文獻(xiàn)[30]，為解決模擬戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中戰(zhàn)機(jī)編隊(duì)隊(duì)形在機(jī)動(dòng)過(guò)程中避障后到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合基于行為法思想，對(duì)跟隨領(lǐng)航算法進(jìn)行改進(jìn)，并對(duì)戰(zhàn)機(jī)集群實(shí)施控制。但是，戰(zhàn)機(jī)集群僅僅有一個(gè)虛擬領(lǐng)航者，一旦戰(zhàn)毀，勢(shì)必會(huì)影響戰(zhàn)場(chǎng)的態(tài)勢(shì)。西弗吉尼亞大學(xué)研發(fā)團(tuán)隊(duì)[31]提出虛擬“長(zhǎng)機(jī)”方法，他們將無(wú)人機(jī)看作一個(gè)剛體，每架無(wú)人機(jī)保持既定的隊(duì)形跟蹤固定的點(diǎn)。Brad等[32]采用基于行為控制方法，提出了編隊(duì)隊(duì)形幾何中心的概念。在文獻(xiàn)[33]，針對(duì)多無(wú)人機(jī)編隊(duì)飛行過(guò)程隊(duì)形保持問(wèn)題，作者提出了一種二階非線性切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的領(lǐng)航跟隨一致性控制協(xié)議，該協(xié)議在速度一致性情況下可實(shí)現(xiàn)的編隊(duì)隊(duì)形協(xié)同飛行。然而，作者未考慮無(wú)人機(jī)之間信息交互過(guò)程中存在時(shí)延問(wèn)題，且控制效果不明顯，工程應(yīng)用價(jià)值有限。因此，本文提出了一種Back-stepping控制方法，能夠解決無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形控制精度低、時(shí)效性差的問(wèn)題。

多無(wú)人機(jī)在集結(jié)期望隊(duì)形過(guò)程中，任意一架無(wú)人機(jī)出現(xiàn)故障，使得整個(gè)編隊(duì)的通訊中斷，無(wú)人機(jī)出現(xiàn)不可控的局面，極容易發(fā)生事故。因此，任意一架無(wú)人機(jī)的姿態(tài)和位置的控制將直接影響整個(gè)編隊(duì)的控制，進(jìn)而影響集結(jié)效率?；诖耍疚牟捎肂ack-stepping控制方法，解決無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)和達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間的問(wèn)題。

本文考慮無(wú)人機(jī)以不同航向角從不同位置起飛到集結(jié)期望隊(duì)形過(guò)程中，因單機(jī)出現(xiàn)故障引起隊(duì)形紊亂，致使整個(gè)無(wú)人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)的通訊網(wǎng)絡(luò)破壞，隊(duì)形無(wú)法保持的問(wèn)題，利用反步推演法對(duì)每架無(wú)人機(jī)模型進(jìn)行虛擬控制律設(shè)計(jì)，以此類推，可獲得整個(gè)無(wú)人機(jī)編隊(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的實(shí)際控制律(協(xié)同導(dǎo)引控制律)，用于解決無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形重構(gòu)和快速達(dá)到期望的隊(duì)形。同時(shí)，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性分析來(lái)保證閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性和魯棒性。

1 問(wèn)題描述

假定有N(N>20)架固定翼無(wú)人機(jī)組成一個(gè)正多邊形的多無(wú)人機(jī)編隊(duì)，其中有一架虛擬長(zhǎng)機(jī)位于正多邊形的幾何中心，其余N-1架無(wú)人機(jī)位于多邊形的頂點(diǎn)處。每架無(wú)人機(jī)從不同起點(diǎn)起飛，追蹤虛擬長(zhǎng)機(jī)，并迅速集合編隊(duì)，然后保持既定的隊(duì)形編隊(duì)飛行。在該過(guò)程中，建立恰當(dāng)?shù)臒o(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)模型是控制無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形的關(guān)鍵因素之一，能夠準(zhǔn)確描述無(wú)人機(jī)之間的通信關(guān)系。多無(wú)人機(jī)編隊(duì)從松散隊(duì)形到預(yù)設(shè)隊(duì)形直到隊(duì)形保持過(guò)程中，歷經(jīng)外界擾動(dòng)階段，隊(duì)形調(diào)整階段以及隊(duì)形保持階段，如圖1所示。

1)外界擾動(dòng)階段：編隊(duì)中的虛擬長(zhǎng)機(jī)攜帶無(wú)線通訊設(shè)備，充當(dāng)預(yù)警機(jī)角色，與其余僚機(jī)進(jìn)行信息交互，僚機(jī)跟隨虛擬長(zhǎng)機(jī)飛行。與此同時(shí)，受到三維空間風(fēng)場(chǎng)擾動(dòng)V風(fēng)，無(wú)人機(jī)隊(duì)形處于雜亂無(wú)章的狀態(tài)，此過(guò)程中，無(wú)人機(jī)編隊(duì)處于外界(風(fēng)場(chǎng))擾動(dòng)階段。

2)隊(duì)形調(diào)整階段：無(wú)人機(jī)編隊(duì)中每架無(wú)人機(jī)在Back-stepping控制方法的作用下調(diào)整各自的位置和姿態(tài)，使得與鄰近的無(wú)人機(jī)之間的相對(duì)距離誤差在3個(gè)方向趨于零，保持穩(wěn)定狀態(tài)，此過(guò)程中，無(wú)人機(jī)編隊(duì)處于隊(duì)形調(diào)整階段。

3)隊(duì)形保持階段：無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形調(diào)整成正三角形編隊(duì)后，任意兩架無(wú)人機(jī)之間的相對(duì)距離a、b、c保持不變，按照此隊(duì)形穩(wěn)定飛行，此過(guò)程，無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形處于隊(duì)形保持階段。

圖1 多無(wú)人機(jī)集結(jié)期望編隊(duì)隊(duì)形的流程圖Fig.1 Flow chart of multi-UAVs assembly desired for mation

2 建立無(wú)人機(jī)模型

2.1 無(wú)人機(jī)模型

在慣性坐標(biāo)系下，假設(shè)無(wú)人機(jī)在慣性坐標(biāo)系下的速度的vg方向與機(jī)體軸重合，并且推力和阻力方向共線，如圖2所示。本文采用無(wú)人機(jī)三自由度的簡(jiǎn)化模型，且速度矢量、偏航角以及側(cè)滑角都是一階動(dòng)力學(xué)模型[34-37]，

(1)

圖2 無(wú)人機(jī)在三維空間運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.2 Diagram of UAV motion in three-dimensional space

文獻(xiàn)[38]采用虛擬長(zhǎng)機(jī)的5個(gè)狀態(tài)變量的一階運(yùn)動(dòng)方程模型，研究無(wú)人機(jī)的路徑規(guī)劃。目前，無(wú)人機(jī)的一階動(dòng)力學(xué)模型仍然被學(xué)者廣泛采用，因?yàn)橐浑A動(dòng)力學(xué)模型是研究高階的基礎(chǔ)?；诖?，虛擬長(zhǎng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(2)

式中：φ、η、ξ分別表示虛擬長(zhǎng)機(jī)滾轉(zhuǎn)角、過(guò)載系數(shù)和側(cè)風(fēng)強(qiáng)度等級(jí)。根據(jù)幾何關(guān)系，式(2)可簡(jiǎn)化為

(3)

式中：ah=gφηξ，av=gξ，av、ah分別表示虛擬長(zhǎng)機(jī)在橫向和縱向的加速度。

2.2 無(wú)人機(jī)模型

為了用數(shù)學(xué)化語(yǔ)言描述該網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的模型，本文使用圖論理論[39]。本文中使用圖G=(W,S)建立N架無(wú)人機(jī)之間信息交互模型，這里的W={w1,w2,…,wN}表示有序點(diǎn)集，S∈W×W表示有序邊集。圖中的邊(wi,wj)表示無(wú)人機(jī)i能夠直接把信息傳遞給無(wú)人機(jī)j的有向路徑，即無(wú)人機(jī)j能夠直接獲取并使用無(wú)人機(jī)i的信息。

假設(shè)虛擬長(zhǎng)機(jī)嵌入到網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的子系統(tǒng)，虛擬長(zhǎng)機(jī)與周圍臨近無(wú)人機(jī)之間進(jìn)行信息共享，且至少有一個(gè)點(diǎn)(無(wú)人機(jī))通訊是正常的，這樣能夠保證信息的共享和交互。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的連接用矩陣A來(lái)表示，該矩陣的對(duì)角元素aii>0是追蹤的增益。

3 控制器設(shè)計(jì)

本文提出的無(wú)人機(jī)編隊(duì)模型，是由N-1(N>20)架無(wú)人機(jī)和一架虛擬長(zhǎng)機(jī)構(gòu)成。對(duì)于每架無(wú)人機(jī)期望的動(dòng)力學(xué)模型，

(4)

對(duì)于任意一架無(wú)人機(jī)，定義追蹤誤差為

(5)

式中：i=1,2,…,N；k為正系數(shù)；xd、yd、zd分別表示無(wú)人機(jī)的所在的期望位置；exi、eyi、ezi分別表示無(wú)人機(jī)在空間3個(gè)方向的追蹤誤差。

基于矩陣論，式(5)可以簡(jiǎn)化為

(6)

式中：L表示i×i階拉普拉斯矩陣；K表示i×i階正常數(shù)矩陣；Ii表示i×i階的單位矩陣。

對(duì)式(6)時(shí)間求導(dǎo)，可得到進(jìn)一步的簡(jiǎn)化后的誤差動(dòng)力學(xué)模型，

(7)

(8)

(9)

令P=(L+K)-1，式(9)可簡(jiǎn)化為

(10)

假如圖G有向的，可以推斷出矩陣(L+K)是正定的，易得矩陣P是正定的。

此處，定義誤差期望的值為：

(11)

同時(shí)，定義evg，eγ，eχ的誤差為

(12)

式中：vg=[vg1,vg2,…,vgN]T，γ=[γ1,γ2,…,γN]T，χ=[χ1,χ2,…,χN]T。

欲保持多無(wú)人機(jī)按照期望的隊(duì)形飛行，則evg、eγ、eχ均大于零。為保持所設(shè)計(jì)的控制器收斂，誤差的導(dǎo)數(shù)需小于零，有以下關(guān)系：

(13)

式中：λvg,λγ,λχ均小于零。

(14)

對(duì)式(9)時(shí)間求導(dǎo)，可得

(15)

(16)

其中：式(18)中的矩陣B=P-1；由于矩陣P為正定，易知矩陣B也是正定的。

聯(lián)立式(1)和式(12)，整理可得

(17)

將式(16)代入式(17)，整理可得

(18)

對(duì)式(18)進(jìn)行等價(jià)變化，可得協(xié)方差控制律，

(19)

式中：i=1,2,…,N。

4 穩(wěn)定性分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形控制器的穩(wěn)定性，構(gòu)建Lyapunov函數(shù)，

(20)

由式(20)，可知V≥0。對(duì)式(20)中V的時(shí)間求導(dǎo)，可得

(21)

將式(6)、式(7)、式(12)以及(16)代入式(21)，可得

evg(λvgevg+BvgIi)+eγ(λγeγ+BγrIi)+

eχ(λχeχ+BχrIi)+ex[-(L+K)·

(22)

(23)

于是，式(23)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，

(24)

根據(jù)柯西不等式定理，由式(10)可得以下不等式：

(25)

因此，式(24)進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

(26)

于是式(26)可進(jìn)一步簡(jiǎn)寫為

(27)

在設(shè)計(jì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形控制器過(guò)程中，有以下4點(diǎn)假設(shè)：

1)如果無(wú)人機(jī)的期望位置(xd,yd,zd)是常數(shù)且b=0，則圖G是有向生成樹，同時(shí)編隊(duì)中的所有無(wú)人機(jī)均能實(shí)現(xiàn)一致追蹤的目的。

2)如果虛擬長(zhǎng)機(jī)期望的參考位置是恒定的且追蹤誤差方程的二階導(dǎo)數(shù)存在，則該方程是有界的。

3)如果無(wú)人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)包含具有生成樹的有向圖，則該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

4)如果該系統(tǒng)的追蹤誤差方程組中至少有一個(gè)方程的二階導(dǎo)數(shù)是有界的，則該系統(tǒng)的所有追蹤誤差也是一致有界的?；谝陨系募僭O(shè)，本文所提出的控制方法是有效的，且能夠?qū)崿F(xiàn)無(wú)人機(jī)編隊(duì)快速集結(jié)和隊(duì)形保持。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證無(wú)人機(jī)協(xié)同編隊(duì)飛行隊(duì)形保持控制器的有效性，基于MATLAB R2014a 搭建Simulink仿真模塊，并在同一臺(tái)電腦進(jìn)行虛擬仿真實(shí)驗(yàn)。本文采用了N(N>20)架無(wú)人機(jī)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其中以無(wú)人機(jī)編隊(duì)的最小單位3架無(wú)人機(jī)作為被控對(duì)象，然后擴(kuò)展到N架。在5.1節(jié)，針對(duì)20架以上無(wú)飛機(jī)驗(yàn)證算法的有效性，即所提出的算法適用于無(wú)人機(jī)編隊(duì)的規(guī)模；在5.2節(jié)和5.3節(jié)，20架無(wú)人機(jī)作為編隊(duì)進(jìn)行研究，由于他們具有相同的特性，如速度、姿態(tài)以及相對(duì)位置保持不變。在文中，最小被控對(duì)象由3架無(wú)人機(jī)和一架虛擬長(zhǎng)機(jī)組成；虛擬長(zhǎng)機(jī)攜帶雷達(dá)偵察設(shè)備，其余無(wú)人機(jī)攜帶作戰(zhàn)武器。在集結(jié)過(guò)程中，所設(shè)計(jì)的控制器能夠使得任意2架無(wú)人機(jī)之間相對(duì)距離誤差收斂于零，即期望位置和實(shí)際位置重合，始終保持相對(duì)距離恒定，這樣可以保證任意2架無(wú)人機(jī)避免發(fā)生碰撞。4架無(wú)人機(jī)編隊(duì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 4架無(wú)人機(jī)編隊(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.3 Topology diagram of UAV formation

網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖能夠有效描述無(wú)人機(jī)之間的通訊關(guān)系，并也是多系統(tǒng)建模的工具。在4架無(wú)人機(jī)拓?fù)鋱D中，虛擬長(zhǎng)機(jī)嵌入該拓?fù)渲校鳛檎切蔚膸缀沃行?。鄰接矩陣A、度矩陣D、拉普拉斯矩陣L以及關(guān)聯(lián)矩陣B，分別為

表1 每架無(wú)人機(jī)的初始條件Table 1 Initial condition of each UAV

5.1 動(dòng)力學(xué)特性分析

基于以上的假設(shè)和初始條件，無(wú)人機(jī)以不同的速度和偏航角從不同起點(diǎn)位置出發(fā)到集結(jié)編隊(duì)，直至期望編隊(duì)形穩(wěn)定飛行。其動(dòng)力特性如圖4～圖7所示。

圖4給出了無(wú)人機(jī)編隊(duì)以不同速度從不同初始位置起飛到集結(jié)編隊(duì)再到隊(duì)形保持過(guò)程中速度變化曲線圖。隨著時(shí)間的變化，該曲線呈現(xiàn)一種先快速上升，之后緩慢上升直至穩(wěn)態(tài)趨勢(shì)。在10 s之前，曲線呈現(xiàn)快速上升。這是由于無(wú)人機(jī)以不同偏航角且快速追蹤虛擬長(zhǎng)機(jī)，由于虛擬長(zhǎng)機(jī)按照預(yù)設(shè)的軌跡飛行，無(wú)人機(jī)不斷修正姿態(tài)并保持速度方向始終朝向虛擬長(zhǎng)機(jī)；在10～25 s，曲線緩慢上升。由于此階段無(wú)人機(jī)處于集結(jié)狀態(tài)，他們進(jìn)行微調(diào)速度和姿態(tài)完成期望的編隊(duì)；在25 s之后，無(wú)人機(jī)編隊(duì)處于隊(duì)形保持階段，此階段無(wú)人機(jī)編隊(duì)保持速度和相對(duì)距離不變，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)飛行。

圖4 無(wú)人機(jī)速度曲線圖Fig.4 UAV velocity curve

圖5 無(wú)人機(jī)轉(zhuǎn)彎半徑曲線圖Fig.5 Curve of turning radius of UAV formation

圖6 無(wú)人機(jī)的俯仰角速率曲線圖Fig.6 Curve of UAVs pitch angle rate

圖7 無(wú)人機(jī)編隊(duì)規(guī)模與穩(wěn)態(tài)關(guān)系圖Fig.7 UAV formation number and steady-state relationship curves

圖5表示了無(wú)人機(jī)從初始位置到集結(jié)位置過(guò)程中轉(zhuǎn)彎半徑曲線圖。隨著時(shí)間的變化，曲線呈現(xiàn)一種先上升后緩慢上升，之后瞬間接近零的穩(wěn)態(tài)趨勢(shì)。根據(jù)無(wú)人機(jī)不發(fā)生側(cè)翻或者橫向滑移，無(wú)人機(jī)速度的平方與轉(zhuǎn)彎半徑成正比，則該曲線的變化趨勢(shì)與圖4基本一致。無(wú)人機(jī)在10 s之前以不同的航向角加速追趕虛擬長(zhǎng)機(jī)，由于速度增大，所需的轉(zhuǎn)彎半徑也相應(yīng)增大，實(shí)現(xiàn)協(xié)同轉(zhuǎn)彎；在10～25 s，曲線處于緩慢增大，這是由于無(wú)人機(jī)即將進(jìn)入集結(jié)階段，速度減小，則相應(yīng)的轉(zhuǎn)彎半徑也減?。辉?5 s之后，曲線瞬間接近于零，這是由于無(wú)人機(jī)隊(duì)形保持定高平飛狀態(tài)，此時(shí)無(wú)人機(jī)不需要大幅度轉(zhuǎn)彎。

圖6給出了無(wú)人機(jī)編隊(duì)從松散到集結(jié)過(guò)程俯仰角速率變化曲線圖。隨著時(shí)間的變化，該曲線呈現(xiàn)一種先上升后緩慢下降，直至穩(wěn)態(tài)的趨勢(shì)。在4.8 s(集結(jié))之前，無(wú)人機(jī)以較短時(shí)間且較大俯仰角追蹤虛擬長(zhǎng)機(jī)；在4.8～10 s(集結(jié))，無(wú)人機(jī)微調(diào)姿態(tài)進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)期望的隊(duì)形；在10 s之后，無(wú)人機(jī)保持定高平飛狀態(tài)。在無(wú)人機(jī)集結(jié)整個(gè)過(guò)程中，爬升(下降)能力處于先增大后緩慢增大，直至最大。

圖7給出了無(wú)人機(jī)編隊(duì)規(guī)模對(duì)穩(wěn)態(tài)飛行影響曲線圖。隨著時(shí)間變化，無(wú)人機(jī)編隊(duì)規(guī)模N=5,10,15,20的曲線呈現(xiàn)一種先小幅振蕩，之后達(dá)到穩(wěn)態(tài)的趨勢(shì)，無(wú)人機(jī)編隊(duì)數(shù)量大于20的曲線呈現(xiàn)等幅增大后發(fā)散的趨勢(shì)。由于Back-stepping控制方法是一種逐步遞推方法，當(dāng)無(wú)人機(jī)的數(shù)量超過(guò)20架，在25 s之后穩(wěn)態(tài)誤差逐漸增大，直至無(wú)限大，該方法可能會(huì)失效。這是由于無(wú)人機(jī)數(shù)量增大后，他們之間的信息交互數(shù)據(jù)量龐大，易出現(xiàn)延遲導(dǎo)致單個(gè)無(wú)人機(jī)出現(xiàn)指令執(zhí)行誤差，誤差的累積使得整個(gè)無(wú)人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)隊(duì)形出現(xiàn)故障，甚至發(fā)生碰撞引起墜機(jī)。因此，本文針對(duì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形控制提出的算法使用無(wú)人機(jī)編隊(duì)的規(guī)模范圍為(3

5.2 收斂性分析

采用相同初始條件和參數(shù)，對(duì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)快速集結(jié)和隊(duì)形重構(gòu)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，如圖8～圖11所示。

圖8為無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形保持運(yùn)動(dòng)軌跡圖。隨著時(shí)間的變化，無(wú)人機(jī)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)一種緩慢螺旋上升趨勢(shì)。4架無(wú)人機(jī)在不同的初始位置以不同的速度、俯仰角以及偏航角起飛，與此同時(shí)，無(wú)人機(jī)在虛擬長(zhǎng)機(jī)的引導(dǎo)下以恒定的速度和追蹤誤差編隊(duì)飛行。在15 s時(shí)，無(wú)人機(jī)收斂于虛擬長(zhǎng)機(jī)的飛行軌跡，之后保持相對(duì)距離和速度一致穩(wěn)定飛行。

圖8 無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形保持運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.8 Track of keeping UAV formation keeping

圖9 無(wú)人機(jī)編隊(duì)追蹤誤差曲線圖Fig.9 Curves of UAV formation tracking error

圖10 無(wú)人機(jī)編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)曲線圖Fig.10 Relative motion curves of UAV formation

圖11 無(wú)人機(jī)編隊(duì)穩(wěn)態(tài)誤差Fig.11 UAV formation steady-state error

圖9為無(wú)人機(jī)編隊(duì)追蹤誤差曲線圖。由圖可知，該曲線呈現(xiàn)一種先緩慢減小，之后緩慢增大直至趨于穩(wěn)態(tài)的趨勢(shì)。在3 s之前，無(wú)人機(jī)從不同的起點(diǎn)集結(jié)編隊(duì)飛行，他們與虛擬長(zhǎng)機(jī)之間的距離逐漸縮??；在3 s之后，無(wú)人機(jī)之間的相對(duì)距離小于安全距離(任意2架無(wú)人機(jī)之間的相對(duì)距離大于翼展長(zhǎng)度的2倍)，此時(shí)無(wú)人機(jī)之間的追蹤誤差緩慢增大，直至大于安全距離；在10 s之后，無(wú)人機(jī)編隊(duì)在三維空間的誤差均趨于零，按照既定的隊(duì)形穩(wěn)定飛行。

圖10為無(wú)人機(jī)編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)曲線圖。隨著時(shí)間的變化，該曲線呈現(xiàn)一種先迅速增大，之后緩慢減小直至穩(wěn)態(tài)趨勢(shì)。在集結(jié)編隊(duì)之前，4架無(wú)人機(jī)的初始速度不同，他們?cè)趧傞_(kāi)始2 s相對(duì)距離增大；由于虛擬長(zhǎng)機(jī)的速度最大，其他3架無(wú)人機(jī)在橫向提前達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而橫側(cè)向稍有延遲，但最終實(shí)現(xiàn)期望的隊(duì)形。

圖11為無(wú)人機(jī)編隊(duì)穩(wěn)態(tài)誤差。由圖可知，無(wú)人機(jī)從不同初始位置集結(jié)編隊(duì)，到微調(diào)隊(duì)形，然后保持期望隊(duì)形飛行。在此過(guò)程中，無(wú)人機(jī)編隊(duì)穩(wěn)態(tài)誤差曲線呈現(xiàn)一種先緩慢增大，然后稍微振蕩最后趨于穩(wěn)態(tài)。在1 s之前，曲線呈現(xiàn)緩慢增大，這是由于無(wú)人機(jī)以不同的速度追蹤虛擬長(zhǎng)機(jī)，無(wú)人機(jī)之間的相對(duì)距離增大；在1～3 s，該曲線呈現(xiàn)波動(dòng)，這是由于無(wú)人機(jī)處于從即將達(dá)到既定隊(duì)形到期望隊(duì)形之間的調(diào)整階段；在3 s之后，無(wú)人機(jī)編隊(duì)實(shí)現(xiàn)期望的隊(duì)形，并穩(wěn)定飛行。

5.3 魯棒分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證無(wú)人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)在偏航角、俯仰角以及相對(duì)距離誤差的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和追蹤效果，本文以相同的初始條件采用模型預(yù)測(cè)控制(MPC)方法、拉普拉斯方法以及所提出的方法進(jìn)行模擬仿真。其仿真結(jié)果，如圖12～圖15所示。

圖12 無(wú)人機(jī)編隊(duì)偏航角曲線圖Fig.12 UAV formation yaw angle curves

圖13 無(wú)人機(jī)編隊(duì)俯仰角曲線圖Fig.13 Curves of UAV formation pitch angel

圖14 無(wú)人機(jī)編隊(duì)橫側(cè)向距離誤差曲線圖Fig.14 Curves of UAV formation lateral distance error

圖15 無(wú)人機(jī)編隊(duì)俯仰角速率曲線圖Fig.15 Curves of UAV formation pitch angle rate

圖12為無(wú)人機(jī)編隊(duì)偏航角曲線圖。隨著時(shí)間的變化，該曲線呈現(xiàn)一種先快速增大而后緩慢增大，最后趨于穩(wěn)態(tài)的趨勢(shì)。在無(wú)人機(jī)編隊(duì)集結(jié)過(guò)程中，每架無(wú)人機(jī)均增大偏航角朝向期望的隊(duì)形方向追蹤虛擬長(zhǎng)機(jī)；在即將集結(jié)既定隊(duì)形時(shí)，無(wú)人機(jī)調(diào)整偏航角實(shí)現(xiàn)期望的隊(duì)形。由圖12可知，采用3種方法均使無(wú)人機(jī)編隊(duì)收斂于虛擬長(zhǎng)機(jī)的飛行軌跡，即達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，然而所需要的時(shí)間不同。模型預(yù)測(cè)控制方法所需要時(shí)間是最短的，但是無(wú)人機(jī)偏航角變化較大，不利于地面站人員操控；拉普拉斯方法使得無(wú)人機(jī)偏航角在剛開(kāi)始編隊(duì)較大且所需要的時(shí)間最長(zhǎng)，會(huì)延遲集結(jié)所需要的時(shí)間；所提方法需要的時(shí)間處于其他兩種方法之間，且航向角變化較為緩慢，有利于地面站人員操控并縮短集結(jié)時(shí)間。

圖13為無(wú)人機(jī)編隊(duì)俯仰角曲線圖。在3種控制方法的作用下，該曲線呈現(xiàn)一種先迅速增大后趨于穩(wěn)態(tài)的趨勢(shì)。由圖易知，3種方法均能使無(wú)人機(jī)編隊(duì)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但所需時(shí)間不同，而且拉普拉斯方法使得無(wú)人機(jī)出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象。模型預(yù)測(cè)控制方法所需時(shí)間最短，但俯仰角編隊(duì)變化較大；拉普拉斯方法所需時(shí)間較短，但是無(wú)人機(jī)俯仰角變化大；相比較前兩種方法，所提方法需要的時(shí)間較短且俯仰角變化最小，有利于地面人員操控。

圖14為無(wú)人機(jī)編隊(duì)橫側(cè)向距離誤差曲線圖。隨著時(shí)間的變化，該曲線呈現(xiàn)一種小幅度振蕩后趨于穩(wěn)態(tài)的趨勢(shì)。3種控制方法均能使無(wú)人機(jī)收斂期望的隊(duì)形，但需要時(shí)間不同。模型預(yù)測(cè)方法所需的時(shí)間較短，無(wú)人機(jī)之間的橫側(cè)向距離誤差最大且收斂時(shí)間也是最小的，但是集結(jié)期望隊(duì)形所需的時(shí)間很長(zhǎng)；拉普拉斯方法橫側(cè)向距離誤差最小，但是所需時(shí)間是最長(zhǎng)的；所提方法所需時(shí)間和相對(duì)距離誤差均較小，是比較理想的隊(duì)形控制方法。

圖15為無(wú)人機(jī)編隊(duì)俯仰角速率曲線圖。由圖15可知，模型預(yù)測(cè)控制方法、拉普拉斯方法以及所提方法的俯仰角速率變化量分別是10、7和3(°)/s，穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間分別為1、10和3 s。模型預(yù)測(cè)控制方法使無(wú)人機(jī)收斂穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間最短，但俯仰角速率變化最大；拉普拉斯方法使無(wú)人機(jī)俯仰角速率變化最小，但收斂所需時(shí)間最長(zhǎng)；所提方法使無(wú)人機(jī)俯仰角速率變化較小且收斂時(shí)間較短，有利于地面人員操控。

從以上分析可知，通過(guò)模型預(yù)測(cè)控制方法、拉普拉斯方法以及所提方法均能使無(wú)人機(jī)收斂于期望隊(duì)形，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定飛行狀態(tài)。然后，所提方法在動(dòng)態(tài)響應(yīng)和追蹤誤差效果均優(yōu)于模型預(yù)測(cè)方法和拉普拉斯方法。

6 結(jié) 論

基于反步推演法，本文提出一種無(wú)人機(jī)編隊(duì)隊(duì)形協(xié)同導(dǎo)引控制方法，該方法采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論進(jìn)行證明。主要貢獻(xiàn)和存在不足為：

1)通過(guò)比較模型預(yù)測(cè)控制方法、拉普拉斯方法以及所提方法，所提方法不僅使得無(wú)人機(jī)編隊(duì)快速集結(jié)并形成期望的隊(duì)形，而且在追蹤虛擬長(zhǎng)機(jī)時(shí)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)快和追蹤誤差小。

2)本文研究?jī)H僅研究從無(wú)人機(jī)起飛到構(gòu)成隊(duì)形過(guò)程的控制，將每架無(wú)人機(jī)當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理，未考慮每架飛機(jī)執(zhí)行的任務(wù)(偵察，打擊，評(píng)估)、形狀以及質(zhì)量。

3)本文不是以任務(wù)為導(dǎo)向進(jìn)行建立模型，并對(duì)隊(duì)形進(jìn)行控制。

4)無(wú)人機(jī)編隊(duì)以期望的隊(duì)形飛行過(guò)程中，未考慮近距編隊(duì)渦旋效應(yīng)的影響。

5)在下一步工作中，將把2)、3)以及4)的因素考慮進(jìn)去，使多無(wú)人機(jī)編隊(duì)以近距高速的隊(duì)形穩(wěn)定飛行，并進(jìn)一步在樣機(jī)上驗(yàn)證所提出控制方法的有效性。