許曉騰

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

超強(qiáng)超短脈沖激光是研究強(qiáng)場和物質(zhì)相互作用的極其重要的工具，其產(chǎn)生的基本原理是：將低能的脈沖激光通過展寬器將其展寬，經(jīng)過放大后再通過壓縮器將其壓縮回原來的寬度.超短脈沖激光在數(shù)學(xué)描述上可由相應(yīng)的激光光束疊加而成，因此，理論上研究超強(qiáng)超短脈沖和物質(zhì)的作用可歸結(jié)為相應(yīng)的激光光束和物質(zhì)的相互作用。

已有的實(shí)驗(yàn)和理論[1]研究表明，激光一次加速電子并不能使電子獲得很高能量，激光本身在一次加速電子中損失的能量和激光本身的能量相比極少。如果同一束激光對電子能夠?qū)崿F(xiàn)多次加速，將具有非常重要的應(yīng)用價值。在多次加速過程中，激光加速電子后引起波包的改變是一個重要問題。本文給出的波包改變的計(jì)算方法不僅可以計(jì)算激光一次加速電子后的波形變化，還可以計(jì)算和波包相互作用后電子的能量，可為高能激光連續(xù)多次加速電子這一重大的理論和實(shí)驗(yàn)問題提供計(jì)算依據(jù)。

本文將計(jì)算高斯型激光與電子作用引起的波包改變.第一部分計(jì)算高斯型激光的傅里葉變換，第二部分用量子電動力學(xué)方法計(jì)算電子與光子的相互作用，第三部分計(jì)算電子靜止坐標(biāo)系中出射光子的幾率和平均值，最后利用最速下降法得到基模高斯光束形狀的變化.

1 基模高斯激光

描述基模高斯激光[2-5]時采用高斯單位制.定義變量κ表示波數(shù)，r0為束腰半徑，為瑞利長度.因?yàn)棣蕆0＞＞1，因此s為無量綱小量.基模高斯激光可以表達(dá)為s的級數(shù)形式.取至四級近似，高斯基模激光的表達(dá)式為[6]：

定義傅里葉變換為：

2 高能電子與光子相互作用

基模高斯激光經(jīng)過傅里葉變換為平面波光子的疊加，每個平面波光子與自由電子的相互作用，可以使用量子電動力學(xué)的方法來研究.電子與光子相互作用的兩個最低階Feynman圖見圖1.

圖1 二階Feynman圖Fig 1 Second-order Feynman Graphs

在樹圖近似下，由費(fèi)曼規(guī)則可得相應(yīng)的S矩陣元為[7]（使用自然單位，光速c=1，普朗克常數(shù)?=1）：

上式中V為單位體積，m為電子質(zhì)量，e為電荷，pi,pf分別為入射電子四矢量和出射電子四矢量，Ei,Ef分別為電子入射能量和出射能量，為電子傳播子，u(pi,si)為電子旋量波函數(shù)，si為電子自旋，ω和ω'分別為光子入射能量和出射能量，εν(k,λ)為光子極化矢量，γν為狄拉克矩陣，k0和k'分別為入射光子四矢量和出射光子四矢量，δ4(pf+k'-pi-k0)表示四動量守恒.

上述筆者分析了現(xiàn)階段我國企業(yè)財(cái)務(wù)內(nèi)控精細(xì)化管理當(dāng)中存在的一系列的問題，為了提高企業(yè)財(cái)務(wù)管理和企業(yè)整體的經(jīng)營管理水平，有必要對財(cái)務(wù)內(nèi)控精細(xì)化管理工作進(jìn)行強(qiáng)化和改善，如此才能有效促進(jìn)企業(yè)在行業(yè)發(fā)展當(dāng)中獲得更多、更好的發(fā)展，促進(jìn)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益提高。下面將對強(qiáng)化企業(yè)財(cái)務(wù)內(nèi)控精細(xì)化管理的要點(diǎn)進(jìn)行分析。

3 電子靜止坐標(biāo)系中散射波矢的幾率和平均值

3.1 幾 率

表示對電子的初態(tài)自旋平均和末態(tài)自旋求和，以及對λ和λ'求和，極化依賴項(xiàng)求平均所得的散射截面，對（5）式積分可得：

分別表示電子靜止坐標(biāo)系中散射波矢量的分量.由對稱性可求得散射部分平均值同樣可求得散射部分的平均值為：

4 基模高斯波包的形狀改變

4.1 變換回實(shí)驗(yàn)室參考系后平均值k1的k1x分量

圖2顯示了實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系與電子靜止坐標(biāo)系中入射電子方向與入射光子夾角的關(guān)系.

設(shè)k0z沿實(shí)驗(yàn)室參考系入射光子k洛倫茲變換到電子靜止坐標(biāo)系k0（電子靜止坐標(biāo)系未散射部分仍沿該方向）方向，可知亦沿該方向，又電子靜止坐標(biāo)系因此散射波矢平均值剛好等于洛倫茲變換為線性變換，逆變換回實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的k1，仍沿入射光子方向，并且由于沿垂直實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系p方向洛倫茲變換保持不變，因此可得k1=其中k1為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中散射光子平均值大小，表示平均值，α為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系入射光子方向與電子入射方向夾角，α'為電子靜止坐標(biāo)系中入射光子與電子速度方向夾角.為計(jì)算sinα'，可設(shè)其中k⊥為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中散射光子平均值k1沿垂直于電子初速方向的分量，k1//為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中散射光子平均值k1沿平行于電子初速方向的分量，為電子靜止系中沿垂直于電子初速方向的分量，為電子靜止系中沿平行于電子初速方向的分量.

實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中k1x平均值為：

其中θ1為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中光子入射方向與x軸夾角，ω1為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中入射光子能量.

將（6）式代入（7）式可得：

在電子靜止坐標(biāo)系中取各級平均值的近似值：

4.2 形狀改變

通過下式將a中電子靜止坐標(biāo)系各量代換回實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系相應(yīng)量：

高斯型激光最后表達(dá)式為：

（11）式第一項(xiàng)為原波包C(ρ,z)，第二項(xiàng)為波包改變，設(shè)為B.由最速下降法可得：

由于kρ＞0，分析可知，下降最快角度即為其中

表1顯示電子能量為10Mev，tgθ=0.1[8]，波包s=0.02時的數(shù)值積分，最速下降法結(jié)果，θ為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中p與z軸夾角.

表1 兩種計(jì)算方法數(shù)據(jù)表（ζ=3）Table 1 Data Tables for Two Computational Methods (ζ=3)

5 總 結(jié)

本文對基模高斯激光進(jìn)行傅里葉變換，利用量子電動力學(xué)方法計(jì)算了平面波光子與電子的相互作用，最后計(jì)算出射光子平均值，代入激光表達(dá)式中，并利用最速下降法，得到波包改變.本文算得的波包改變對研究激光加速電子問題有重要意義，不僅可以利用它計(jì)算一次加速電子獲得的能量，還可以利用它計(jì)算下一次激光與電子的相互作用.