劉本瑩，羅 勇，黃忠乾

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

微信作為移動(dòng)社交網(wǎng)絡(luò)的行業(yè)翹楚，其發(fā)展至今，已超越了傳統(tǒng)意義上的社交工具屬性，成為了兼具媒體特質(zhì)的溝通平臺(tái)與表達(dá)渠道，對(duì)人際交流及媒體變革產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影響.由于微信的功能、用戶數(shù)量的龐大及信息傳播封閉等特點(diǎn)，一些別有用心的人出于各種目的，利用微信平臺(tái)，制造大量的偽科學(xué)甚至荒唐的謊言、謠言以及低俗無趣、蠱惑人心的言論、圖片、視頻進(jìn)行傳播，一時(shí)間難以發(fā)現(xiàn)并得以甄別，它利用朋友間建立起的信任，廣泛、迅速地傳播，速度驚人，不僅會(huì)影響大眾正常視聽，還會(huì)造成一定范圍內(nèi)的社會(huì)恐慌，使微信不可避免地成為了一個(gè)謠言傳播的網(wǎng)絡(luò)陣地.

微信謠言傳播與傳染病傳播有諸多相似之處，因此國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者都借助生物數(shù)學(xué)中的傳染病模型來研究網(wǎng)絡(luò)謠言，其中較為典型的傳染病模型有SI模型、SIS模型[1]、SIR模型[2]、SEIR模型[3].諸多學(xué)者在此基礎(chǔ)上做了很多嘗試.2001年，Zhao等人[4]首次將SIR模型應(yīng)用于在線社交博客平臺(tái).2002年，Zanette[5]研究了小世界網(wǎng)絡(luò)中的謠言傳播模型，并得到傳播閾值，為謠言傳播模型的研究奠定了基礎(chǔ).2008年，Gu等人[6]在經(jīng)典謠言傳播模型中考慮了記憶和遺忘機(jī)制，并詳細(xì)分析了這兩種狀態(tài)下對(duì)謠言傳播過程的影響.隨著移動(dòng)社交網(wǎng)絡(luò)的興起，朱海濤等人[7-9]改進(jìn)SEIR模型，通過傳播閾值的機(jī)理分析提出相應(yīng)的建議并對(duì)其進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性.

本文以經(jīng)典的傳染病模型為基礎(chǔ)，考慮到微信用戶數(shù)量持續(xù)增長(zhǎng)，謠言傳播速度較快，而由于微信的熟人社交屬性，許多人愛面子或無視辟謠信息、正確信息傳播閉塞的特點(diǎn)，應(yīng)用由雙線性發(fā)生率、飽和治愈函數(shù)及Logistic函數(shù)構(gòu)造的SEIR模型對(duì)微信謠言傳播過程進(jìn)行分析與研究，掌握其傳播機(jī)理，為今后微信社交網(wǎng)絡(luò)的健康發(fā)展提供理論依據(jù).

1 具有雙線性發(fā)生率和飽和治愈率的微信謠言傳播模型

在傳統(tǒng)的SEIR傳染病模型中，將t時(shí)刻系統(tǒng)中的用戶分為4種狀態(tài)，分別是易感態(tài)（S）、潛伏態(tài)（E）、感染態(tài)（I）和免疫態(tài)（R）.類似地，研究微信謠言傳播時(shí)，系統(tǒng)中的用戶也可分為4種狀態(tài)：S態(tài)，無知者，指在系統(tǒng)中對(duì)謠言不知情的用戶；E態(tài)，潛伏態(tài)，指在系統(tǒng)中接收到謠言但未決定是否傳播的用戶；I態(tài)，傳播態(tài)，指在系統(tǒng)中知道謠言并且傳播的用戶；R態(tài)，免疫態(tài)，指在系統(tǒng)中不信謠不傳謠的用戶.

在改良的SEIR模型中，部分免疫者會(huì)識(shí)別微信謠言的虛假性并通過轉(zhuǎn)發(fā)等方式將真相注入微信平臺(tái)，告知好友謠言的虛假性并形成廣播效應(yīng).基于此將4類結(jié)點(diǎn)間的傳播過程定義如下：

1）無知者（S）以Logistic曲線的增長(zhǎng)率輸入微信平臺(tái)，無知者（S）以雙線性發(fā)生率βSI接觸謠言成為潛伏者（E），即知道謠言但還未決定是否傳謠；

2）潛伏者（E）以ε的概率成為傳播者（I），由于某種原因失去傳播的興趣得知真相以γ的概率成為免疫者（R），以μ的概率遺忘謠言；

3）傳播者（I）以飽和接觸率成為免疫者（R），以μ的概率遺忘謠言；

4）免疫者（R）以μ的概率遺忘謠言.

基于上述描述，節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)換即微信謠言傳播規(guī)律用圖1來描述，系統(tǒng)中的參數(shù)定義及其意義如表1所示.在以下討論中，S(t),E(t),I(t),R(t)分別代表t時(shí)刻4類微信用戶占全體微信用戶的數(shù)量的比例，模型中我們假設(shè)S(t),E(t),I(t),R(t)均為關(guān)于t的連續(xù)可微函數(shù).

圖1 無知者、潛伏者、傳播者和免疫者的轉(zhuǎn)換關(guān)系Fig 1 The Transformation Relationship between the Ignorant,the Lurker,the Disseminator and the Immune

表1 參數(shù)定義及其意義Table 1 The Parameter Definition and Its Significance

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模思想，可以建立如下的具有雙線性發(fā)生率和飽和治愈函數(shù)的SEIR微信謠言傳播模型：

其中這些系數(shù)都是（0,1）之間的數(shù).下面將研究模型的平衡點(diǎn)、傳播閾值及平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，從而揭示微信謠言的傳播規(guī)律.

2 基本再生數(shù)與無謠言平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

根據(jù)模型的實(shí)際背景，將在有界區(qū)域

內(nèi)考慮模型的平衡點(diǎn).

據(jù)傳染病模型的相關(guān)研究成果可知，傳染病在傳播過程中存在傳播閾值R0（又稱基本再生數(shù)）.當(dāng)閾值R0≤1時(shí)，微信謠言會(huì)隨著時(shí)間自然消亡；而當(dāng)R0＞1時(shí)，微信謠言就會(huì)在一定范圍內(nèi)爆發(fā).下面我們將尋求微信謠言的傳播閾值R0.

定理1 模型（1）存在無謠言平衡點(diǎn)x0=(K,0,0,0)，模型的基本再生數(shù)

證明：當(dāng)E=I=0時(shí)，x0易證.現(xiàn)證基本再生數(shù)R0.首先構(gòu)造基本再生矩陣FV-1，其中

由基本再生數(shù)的計(jì)算方法可知FV-1的譜半徑，即為基本再生數(shù)，故

定義1[10]考慮系統(tǒng)w=g(w)，g∈C[Rn,Rn]，g(wo)=0.令B是g(w)在平衡點(diǎn)w0處的Jacobian矩陣.若矩陣B的所有特征值都小于零，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)w0處局部漸近穩(wěn)定；若矩陣B的所有特征值都大于零，則平衡點(diǎn)w0不穩(wěn)定.

定理2 當(dāng)R0≤1時(shí)，無謠言平衡點(diǎn)x0是局部漸近穩(wěn)定的；而當(dāng)R0＞1時(shí)，x0不穩(wěn)定.

證明：模型（1）在x0處的Jacobian矩陣其特征方程|λE-J(x0)|=0.顯然λ1=-r，λ2=-μ.其余兩特征根由以下方程決定：

當(dāng)R0＜1時(shí)，有Kβε＜μ(ε+γ+μ)，此時(shí)λ3λ4＞0，故λ3＜0，λ4＜0.

綜上，模型（1）在無謠言平衡點(diǎn)x0處是局部漸近穩(wěn)定的.由定理1與定理2可知，就是模型（1）的傳播閾值.命題得證.

3 地方性謠言平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性

以上求出的無謠言平衡點(diǎn)是一種理想的狀態(tài)，真實(shí)的微信信息傳播過程中是不存在的.為了描述真實(shí)的微信謠言傳播過程，我們?cè)谟薪鐓^(qū)域D內(nèi)討論地方性謠言平衡點(diǎn).

首先討論地方性謠言平衡點(diǎn)的存在性，有如下結(jié)論成立：

證明：令模型（1）的左端為零，可以得到：

其中d=ε+γ+μ.將（2）代入模型（1）的第三個(gè)方程得：

函數(shù)F(S)單調(diào)增加，注意到因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程F(S)=0有唯一根S*∈(0,K).進(jìn)而由（2）可以得到：

因而，關(guān)于地方性謠言平衡點(diǎn)（正平衡點(diǎn)）x*=(S*,E*,I*,R*)有以下定理.

證明：模型（1）在x*處的Jacobian矩陣為：

由Routh-Hurwitz判據(jù)可知J(x*)的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部，則模型（1）在地方性謠言平衡點(diǎn)x*處是局部漸近穩(wěn)定的[11].命題得證.

4 結(jié) 論

本文研究了用戶數(shù)量增長(zhǎng)符合Logistic曲線、具有雙線性發(fā)生率和飽和治愈率的SEIR微信謠言傳播模型，利用基本再生數(shù)定義得到利用Routh-Hurwitz判據(jù)得出結(jié)論：當(dāng)R0＜1時(shí)，無謠言平衡點(diǎn)x0在D內(nèi)局部漸近穩(wěn)定，微信謠言會(huì)隨著時(shí)間自然消亡；當(dāng)R0＞1時(shí)，存在地方性謠言平衡點(diǎn)x*且局部漸進(jìn)穩(wěn)定，即若不對(duì)謠言加以管控，謠言將持續(xù)存在并傳播下去.對(duì)于模型的全局動(dòng)力學(xué)特性，還需繼續(xù)研究（如對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值仿真），希望本文對(duì)其他學(xué)者就微信謠言方面的研究有所幫助.