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        利用三線合一 巧做輔助線

        2019-12-06 06:33:43趙艷紅
        讀寫算 2019年26期

        趙艷紅

        摘 要 初中數(shù)學(xué)中的幾何問題經(jīng)常需要添加輔助線。解析等腰三角形的三線合一問題時,當(dāng)發(fā)現(xiàn)三線中具備兩線時,巧做輔助線,構(gòu)造等腰三角形,然后利用全等、相似或者中位線等去解決問題。

        關(guān)鍵詞 三線合一;三線中具備兩線;構(gòu)造等腰三角形

        中圖分類號:G632

        文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

        文章編號:1002-7661(2019)26-0164-01

        初中幾何解題指導(dǎo),要善于利用輔助線,總結(jié)解題規(guī)律,做到舉一反三,收到觸類旁通之效。

        初中學(xué)生在解析數(shù)學(xué)中的幾何題型時,經(jīng)常出現(xiàn)絞盡腦汁、冥思苦想,卻怎么也想不出一點(diǎn)思路的情形。其實(shí),解幾何題并不那么難,也是有規(guī)律可循的。許多看起來似乎極難、毫無思路的幾何題型,有時只需巧做一條小小的輔助線,便會讓處于山窮水盡地步的學(xué)生,解題思路出現(xiàn)柳暗花明,一下豁然開朗。下邊就以幾何題型三線中如果遇到兩線為例,講析一下如何巧做輔助線,如何讓難題變難為易,迎刃而解,并總結(jié)一下解題思路與規(guī)律。

        典例:點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),AD⊥CD于D,AD平分∠BAC,E是BC中點(diǎn),連接DE,若AB=13,AC=7。求DE的長度。

        分析:在這個問題中,AD具備了平分一個角,與CD垂直這兩個條件,那么延長CD與AB相交于點(diǎn)F,根據(jù)等角的余角相等,很容易證出△AFC是等腰三角形,AF=AC=7,再利用三線合一,得出D是CF中點(diǎn),DE就是△FCB的中位線,就可以得到DE=3。

        變式一:△ABC中,AC=BC,∠C=90°點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn),AD⊥BD于D,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)F,求證:BD=AF.

        提示:AD依然是三線中具備了兩線,延長BD與AC延長線交于點(diǎn)P,構(gòu)造出等腰三角形,得到BD=BP,再利用全等證明AF=BP即可。

        變式二:梯形ABCD,AD∥BC,BE⊥CD于E,BE平分∠ABC,DE是CE的一半,△BEC的面積是2,求四邊形ABED的面積。

        提示:根據(jù)做輔助線規(guī)律構(gòu)造出等腰三角形,再利用相似知識求解。

        變式三:平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,∠BCD的外角平分線CE⊥DE于E,BC=6,AB=4,求OE的長度。

        提示:根據(jù)規(guī)律構(gòu)造出等腰三角形,得到三角形的中位線求解。

        總結(jié):在一個三角形中,只要有兩個條件存在就可以, 即(高線,中線,角平分線)中隨意兩個條件,那么這個三角形為等腰三角形。通過前面幾個問題,我們想到等腰三角形三線合一的逆命題也是正確的:

        (1)如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合,那么這個三角形是等腰三角形。

        (2)如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合,那么這個三角形是等腰三角形。

        (3)如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合,那么這個三角形是等腰三角形。因?yàn)檎n本中沒有以定理出現(xiàn),所以考試的證明題中如果遇到一定要證明一下,不可直接使用。

        可以自己試著做一下以下兩個題目:

        1.已知:AD是△ABC斜邊上的高,∠BAC=90°,∠ ABD的平分線交AD于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)P。∠CAD的平分線交BP于點(diǎn)Q.

        求證:△QAD是等腰三角形。

        2.△ABC中,BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB,AM⊥CE于M,AN⊥BD于N,求證:MN∥BC。

        題海無涯,特別是數(shù)學(xué)題千變?nèi)f化,但萬變不離其宗,不管題型如何變化,總蘊(yùn)含一定的規(guī)律在其中。只要用心思考和學(xué)習(xí),掌握了做題的技巧和規(guī)律,問題就會很容易被解決,既能享受到做出難題的樂趣,更會留下深刻印象。根據(jù)問題中的已知條件,做出合適的輔助線,為學(xué)生開拓了一個廣闊的思維空間,做輔助線過程中也讓學(xué)生認(rèn)識到化歸的思想,從而達(dá)到融會貫通的目的。

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