王小蘭

摘要：波利亞是數(shù)學(xué)教育發(fā)展史上一顆璀璨的明珠，他對(duì)數(shù)學(xué)思維一般規(guī)律的研究，堪稱是對(duì)人類思想寶庫(kù)的特殊貢獻(xiàn)。本文闡述了波利亞數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三條原則，即主動(dòng)性原則、最佳動(dòng)機(jī)原則和階段序進(jìn)原則。

關(guān)鍵詞：波利亞;數(shù)學(xué);原則

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）19-110-2

波利亞的解題理論強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，他把解題作為一種手段，通過怎樣解題的教學(xué)，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，以培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題能力。本文闡述了波利亞數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三條原則：主動(dòng)性原則、最佳動(dòng)機(jī)原則和階段序進(jìn)原則。

一、主動(dòng)學(xué)習(xí)原則

波利亞認(rèn)識(shí)到在教與學(xué)這一矛盾體中，學(xué)是矛盾的主要方面，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。只有充分調(diào)動(dòng)其主觀能動(dòng)性，才能取得良好的學(xué)習(xí)效果。波利亞確信，“學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑是靠自己去發(fā)現(xiàn)”。因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)使理解最為深刻，容易把握事物間的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系，也能使學(xué)生嘗到成功的喜悅。為此，他引用了18世紀(jì)德國(guó)物理學(xué)家利希騰伯格（G·Lichtenberg）的一段話來充分說明這一點(diǎn)，“那些曾使你不得不親自動(dòng)手找到的東西，會(huì)在你的腦海里留下一條途徑，一旦有所需要，你就可以重新運(yùn)用它”。比如，在七年級(jí)下冊(cè)講解《有理數(shù)的乘方》新課時(shí)，教師可以用“印度國(guó)王獎(jiǎng)賞象棋發(fā)明家的故事”為素材引入，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，嘗試“以此類推第五個(gè)、第六個(gè)格子中應(yīng)放多少粒麥子”，再列出計(jì)算第64個(gè)格子中麥粒數(shù)的算式，以此來引入新課，增加了趣味性，滿足了好奇心，立竿見影，使學(xué)生注意力集中，從而使學(xué)生在觀察思考、嘗試、列式中，感受到有學(xué)習(xí)新知的必要，繼而形成穩(wěn)定的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的求知欲望，并依據(jù)問題與故事中麥粒放置規(guī)律，引發(fā)聯(lián)想，使學(xué)生思維迅速活躍了起來，使學(xué)生的全部心理活動(dòng)參與到了這節(jié)課的學(xué)習(xí)中來。

二、最佳動(dòng)機(jī)原則

最佳動(dòng)機(jī)原則是學(xué)生在學(xué)習(xí)、探索這種強(qiáng)烈心智活動(dòng)中找到樂趣的心理狀態(tài)。波利亞認(rèn)為，導(dǎo)致學(xué)習(xí)最佳動(dòng)機(jī)的是使學(xué)生感興趣的學(xué)習(xí)材料，是教學(xué)內(nèi)容本身的內(nèi)在魅力。因而，教師在教學(xué)中的責(zé)任應(yīng)該是使學(xué)生相信數(shù)學(xué)是有趣的，所討論的問題是有價(jià)值的，鼓勵(lì)學(xué)生在解題前猜測(cè)結(jié)果、預(yù)示方法等等，使學(xué)生在這一系列活動(dòng)中體會(huì)其樂趣所在。比如，在八年級(jí)上冊(cè)一次函數(shù)中有這樣一個(gè)問題：我國(guó)是一個(gè)嚴(yán)重缺水的國(guó)家，為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，某市制定了如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月的用水量不超過6噸時(shí)，水價(jià)為每噸2元;超過6噸時(shí)，超過的部分按每噸3元收費(fèi)。該市某戶居民5月份用水x噸，應(yīng)交水費(fèi)y元。

（1）若0

（2）若x>6，請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出以上兩個(gè)函數(shù)的圖象。

（4）如果該戶居民這個(gè)月交水費(fèi)27元，那么這個(gè)月該戶用了多少噸水？

這個(gè)問題，不僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了分段函數(shù)表達(dá)式的求解方法，分段函數(shù)的圖象的畫法，還學(xué)會(huì)了實(shí)際問題的解決方法，培養(yǎng)了學(xué)生節(jié)約用水的環(huán)保意識(shí)，從而體現(xiàn)我們所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)是有價(jià)值的。另外，學(xué)習(xí)中還有些次佳的動(dòng)機(jī)，如學(xué)習(xí)好可以在學(xué)校里成為同學(xué)學(xué)習(xí)的榜樣，在社會(huì)上取得令人羨慕的地位和良好的生活待遇，會(huì)給家長(zhǎng)贏得地位和榮譽(yù)，不學(xué)習(xí)會(huì)帶來懲罰，等等。在教學(xué)中，教師應(yīng)盡力促使學(xué)生形成最佳動(dòng)機(jī)，使學(xué)生保持旺盛的學(xué)習(xí)勁頭，積極自覺地投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中去。相信只要適時(shí)給學(xué)生創(chuàng)造最佳動(dòng)機(jī)，學(xué)生會(huì)更樂意學(xué)數(shù)學(xué)，更能體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

三、階段序進(jìn)原則

波利亞詳細(xì)分析了人類學(xué)習(xí)的全過程，提出了學(xué)習(xí)過程的三階段，即探索階段、形式化階段和同化階段。探索階段是對(duì)事物的觀察和了解，是行動(dòng)和感覺，處于一種比較直觀和啟發(fā)式的水平上;形式化階段是對(duì)接觸的事物進(jìn)行了分類整理，引入適當(dāng)?shù)亩x、術(shù)語(yǔ)、證明等，并認(rèn)識(shí)了其中的規(guī)律性，認(rèn)識(shí)上升到了一個(gè)較為概念化水平上;同化階段有一種洞察事物“內(nèi)部境界”的嘗試，學(xué)生把所學(xué)材料消化吸收到自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)和整個(gè)精神世界中去，事物的規(guī)律性在更廣泛的范圍內(nèi)被認(rèn)識(shí)、推廣和應(yīng)用。比如，在八年級(jí)下冊(cè)分式這一章的教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了探索、形式化和同化等三個(gè)階段的學(xué)習(xí)。

（一）探索階段

1.了解分式的概念：形如AB（B中含有字母）的式子，這點(diǎn)要學(xué)會(huì)判斷一個(gè)式子是否是分式

例1.下列各代數(shù)式中，哪些是分式？

（1）xπ+1（2）2ba（3）x23（4）3x2-12x（5）a+2b

2.理解分式的意義，會(huì)判斷分式什么時(shí)候有意義，什么時(shí)候值為零，會(huì)根據(jù)已知條件求分式的值

例2.當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式有意義？何時(shí)值為0？

（1）x-22x-3（2）x+22x2+1（3）x2-4x+2（4）|x|-5x2+4x-5

（二）形式化階段

1.了解分式的基本性質(zhì)：（1）AB=ACBC（C為不等于0的整式）

（2）AB=A÷CB÷C（C為不等于0的整式）

2.了解最簡(jiǎn)分式的概念，理解并應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式的約分，通分：

（1）約分關(guān)鍵是找分子分母的最大公因式：

①系數(shù)：找分子分母系數(shù)的最大公因數(shù)

②字母：找分子分母公共的字母

③字母指數(shù)：找各字母的最低次冪

例3.約分（1）9a2b32a2b（2）x2+2x-3x2-2x+1

（2）通分關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母：

①系數(shù)：找各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)

②字母：找各分母中所有的字母

③字母指數(shù)：找各字母的最高次冪

例4.求下列分式的最簡(jiǎn)公分母：

（1）a2b，b3a2，c4ab;

（2）1x，1x+1，1x-1，1x2-1，1x2+2x+1;

（三）同化階段

1.分式的運(yùn)算：

（1）分式的加減運(yùn)算

例5.計(jì)算①4a-2-a-2②5m2-9-13-m

（2）分式的乘除運(yùn)算

例6.計(jì)算①x2+3x4x2-1·2x-1x+3②x-2x+3÷x2-43x+9

（3）分式的混合運(yùn)算

例7.計(jì)算（4a-2-a-2）÷a2-8a

2.分式方程的求解及其應(yīng)用

（1）分式方程的解法

例8.①1x-2=1-x2-x-3②x1-x+1=x+2x2-x

（2）分式方程的應(yīng)用

例9.甲做160個(gè)零件所用的時(shí)間與乙做120個(gè)零件所用的時(shí)間相同，已知每小時(shí)甲、乙兩人共做了35個(gè)零件，那么每小時(shí)甲、乙各做了多少個(gè)零件？

例10.若關(guān)于x的分式方程6x-1=x+kx（x-1）-3x有解，求k的取值范圍。

在這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中，通過探索階段對(duì)分式概念的了解，學(xué)會(huì)判斷分式什么時(shí)候有意義，什么時(shí)候值為零，會(huì)根據(jù)已知條件求分式的值;形式化階段對(duì)分式基本性質(zhì)，最簡(jiǎn)分式的概念的了解，理解并應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式的約分，通分;同化階段是對(duì)前兩階段知識(shí)的運(yùn)用，學(xué)會(huì)分式的加減乘除及其混合運(yùn)算，學(xué)會(huì)分式方程的求解及其應(yīng)用。波利亞認(rèn)為學(xué)習(xí)過程應(yīng)該遵循這一發(fā)展模式，缺少任何一個(gè)階段都會(huì)使所獲得的知識(shí)不全面。他制定的解題表中的第一、第二部分屬于探索階段;第三部分是形式化階段，第四部分為同化階段。為此，他建議教師多給學(xué)生介紹一些帶有挑戰(zhàn)性的題目，一些有豐富歷史背景并值得探索的問題，一些能從中品味到科學(xué)家工作的問題。

總之，在波利亞數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，只要教師和學(xué)生都積極地遵循學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主動(dòng)性，最佳動(dòng)機(jī)，階段序進(jìn)這三條原則，相信學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)將會(huì)變成一件快樂的事情。

（作者單位：蘇州市相城區(qū)北橋中學(xué)，江蘇 蘇州215000）