王東

摘要：等量替換思想能夠幫助學生更好地掌握數(shù)學知識與方法，并獲得語言與推理能力的長足發(fā)展。教師應充分理解掌握這一思想方法的重要性，并積極鉆研多種方式以幫助學生對這種數(shù)學思想方法產(chǎn)生更多的領悟與感受。

關鍵詞：等量替換;意義;措施

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）19-109-2

等量替換思想在初中數(shù)學函數(shù)中的應用對于學生的思維能力來說是一種挑戰(zhàn)。這部分知識雖然較難掌握，但一旦掌握這一基礎思想，往往能使解題更加方便，因此，教師在具體的教學中應充分理解這一思想方法的重要性與價值。

一、何謂等量替換思想

學生從小學階段就開始接觸等量替換這一思想方法，這一思想方法的應用比較廣泛，物理、化學等其他自然學科的學習中也有等量替換思想的應用。將一個量用與之相等的量代替即為初中函數(shù)學習中經(jīng)常會應用的等量替換思想。利用等式的傳遞性進行替換是最為狹隘且直白的表現(xiàn)，比如，如果a=b，b=c，則就有a=c。而在狹義等量替換的基礎上進行擴展與延伸即為廣義上的等量替換，這一拓展與延伸的應用是相當廣泛的。

二、等量替換教學的意義

1.幫助學生更好地掌握知識

學生在等量替換方式的應用中能夠更好地掌握等量替換的思想以及問題中所涉及的知識。

2.培養(yǎng)學生的語言和推理能力

能夠運用于多門課程的等量替換思想在函數(shù)知識理解與解題中的應用能夠更好地發(fā)展學生的思維，學生在借助圖文理順題中各關系的過程中能夠更好地進行推理與解題。

3.培養(yǎng)學生的情感

學生熟練運用等量替換思想全面、有序地思考與解決問題中能夠增強與同學之間的溝通與情感交流，合作學習下的切磋也會令學生對數(shù)學學習產(chǎn)生更加濃厚的感情。

三、培養(yǎng)措施

1.一次函數(shù)中的等量替換

如何確定函數(shù)的表達式是初中數(shù)學中一次函數(shù)知識的重難點。一般來說，首先應設解析式：y=kx+b，接著利用已知坐標點代入解析式并求得待定常數(shù)k、b的值并最終得出解析式。

例1：已知某直線經(jīng)過點（-1，0）、（0，3），則該直線解析式如何？

解析：首先，設解析式為y=kx+b，然后根據(jù)已知條件將點（-1，0）、（0，3）分別代入解析式中得出：k-b=0，b=3。利用等量替換或移項即可得出k=3，將k代入所設解析式即得：y=3x+3。

此類題目在初中函數(shù)知識的題目中是比較簡單的，解析式與坐標系圖像在函數(shù)的這一部分知識點中都是可以代表函數(shù)的，上述步驟在根據(jù)圖像確定解析式的過程中是一樣適用的。

2.二次函數(shù)的等量替換

二次函數(shù)和一次函數(shù)相比較而言在難度上增大了許多，作為教學重難點的二次函數(shù)知識一般在中考試題中都會以壓軸題的形式出現(xiàn)，學生往往在此類題目的解決中表現(xiàn)得不盡如人意。

例2：已知某一次函數(shù)的圖像和y軸相交于點（0，-1），同拋物線y=x2+bx+c頂點與點（2，5）相交，求該函數(shù)解析式和常數(shù)b、c的值。

解析：如何求出該拋物線的頂點坐標是這一題目的一個難點，對于一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，（a≠0），其頂點坐標不難知道，即（-b2a，4ac-b24a），利用等量替換思想并結(jié)合配方法將一般式變形即可求得該拋物線的頂點坐標。如下y=ax2+bx+c=a（x+b2a）2+4ac-b24a，求得頂點坐標后解題也就容易了許多。將一次函數(shù)的解析式設為y=kx+n，根據(jù)題意并將已知點的坐標點等量代換即可求得2k+n=5，n=-1，等量代入可得k=3，n=-1，則解析式為y=3x-1。對于b、c值的求解，根據(jù)題意以及上述分析可得頂點坐標是（-b2，4c-b24），將頂點坐標與點（2，5）分別代入一次函數(shù)和拋物線解析式可得：4c-b24=3×-b2-1，4+2b+c=5，b、c兩值即可求得。

3.三角函數(shù)的等量替換

（1）“角”的替換

三角函數(shù)中的相應角度替換是初中三角變化解題中常見的。函數(shù)運算過程中的名稱、符號、次數(shù)等在三角函數(shù)角度替換的過程中也會隨之發(fā)生相應的變化。

例3：在△ABC中，∠BAC=90°，M為線段AC的中點，且AG⊥BM，垂足是G，BG=2GM。（1）證明BC=3AG;（2）設AB=6，則BM的長度應為多少？

解：（1）因為AG⊥BM于點G，且∠BAC=90°，所以∠AGB=90°，所以∠AGM=90°，所以∠ABG+∠BAG=90°，所以∠GAM+∠GMA=90°，所以∠BAG+∠GAM=90°，所以∠ABG=∠GAM（等量替換的應用），tan∠ABG=tan∠GAM（等量替換的應用）。設AG=x，BG=2GM=2a，AG∶BG=MG∶AG（等量替換的應用），x∶2a=a∶x，x2=2a2，x1=2a，x2=-2a（負數(shù)舍去）。AB=6a（由勾股定理得），AM=3a（勾股定理），BC=32a（勾股定理），所以BC=3AG。

（2）由（1）可得當AB=6時，a=1，所以BM=BG+MG=3a=3。

三角函數(shù)的很多問題解決中都會有一些相異的角存在于表達式中，因此，在此類問題的解決中應根據(jù)題目的實際情況理順三角角度間和、差、倍、半、補、余之間的關系，在已知角替換未知角之后再進行具體的運算并使問題順利得解。

（2）“形”的替換

根據(jù)題中所給的具體需求并將常數(shù)1轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)是三角函數(shù)化簡、證明以及求值運算中經(jīng)常會運用的首要步驟，然后再利用三角函數(shù)公式進行具體運算并獲得最終求解。利用常數(shù)1對三角函數(shù)進行替換與運算在此類題目的求解中是最為常見的。三角形中的恒等式是初中三角函數(shù)中“形”替換最為主要的表現(xiàn)形式，具體表現(xiàn)在sin2x+cos2x=1，是恒成立的。

4.教學注意事項

（1）歸納指導思維方法

教師在函數(shù)等量替換的教學中應引導學生根據(jù)思維方式進行總結(jié)和歸納，對問題建構的同時總結(jié)解題的思維方式。教師在具體問題的解題教學中應及時構建問題模型并將等量替換這一抽象的數(shù)學思維轉(zhuǎn)成實踐以促進學生順利解題。

（2）激發(fā)學生探索

教師在等量替換的教學中應善于運用常識或故事來激發(fā)學生的探索，使學生深刻領會等量替換的巧妙。

（3）根據(jù)需要編排教材

教師在平時的教學中應隨時關注學生的實際情況并進行充分的考量;關注學生整體的接受能力、知識的先后、教學程序的設立等等內(nèi)容，不僅如此，教師還應考慮到理論學習的枯燥與無趣，因此，在實際教學中，教師可以根據(jù)需要對教材進行重新編排以促使學生在簡單問題中逐步展開探索，在理論逐漸深入的過程中，將現(xiàn)實的具體問題得到轉(zhuǎn)化并達成深入學習。

培養(yǎng)學生靈活應用等量替換思想解題是初中數(shù)學教學的一項重要內(nèi)容。事實上，中學生接觸等量替換思想只是其數(shù)學學習的一個開端，因此，教師應充分意識到掌握這一思想方法的重要性并積極鉆研多種方式以幫助學生對數(shù)學思想方法產(chǎn)生更多的領悟與感受，這對于學生的終身學習與生活來說都是極有意義的。

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)青云中學，江蘇 蘇州215000）