金明 吳洪生

摘要：本文以蘇教版必修4第一章第3節(jié)“三角函數(shù)周期性”一課為例，闡述了如何創(chuàng)設(shè)問題情境，不斷用問題引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)的未知領(lǐng)域，引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際問題逐步抽象出函數(shù)周期性的定義的教學(xué)過程，并對(duì)情境創(chuàng)設(shè)的過程作了總結(jié)性思考。

關(guān)鍵詞：問題引導(dǎo);三角函數(shù)周期性

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）19-031-3

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師適當(dāng)?shù)匾肭榫衬芙o本節(jié)課增添很多色彩，通過“問題引入，串講聯(lián)系，文化點(diǎn)綴”的方式，可以促進(jìn)數(shù)學(xué)教與學(xué)方式的轉(zhuǎn)變，有利于培養(yǎng)學(xué)生模型思想和理性思維。

一、教材依據(jù)與教材分析

三角函數(shù)周期性是蘇教版必修4第一章第3節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課是為學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)提供了問題背景，教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)充分運(yùn)用這些問題背景以突出“建立刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”這一主題。

教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的具體分析，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)周期及周期函數(shù)，對(duì)于一般的周期函數(shù)，則不必作過多的討論。

二、設(shè)計(jì)背景

在數(shù)學(xué)文化中，包含了許多數(shù)學(xué)與非數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)際例子，成為聯(lián)系數(shù)學(xué)與其它非數(shù)學(xué)科聯(lián)系的紐帶，也架設(shè)了數(shù)學(xué)與非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁。在教材中，這種例子比比皆是，如數(shù)學(xué)與宗教、數(shù)學(xué)與政治、數(shù)學(xué)與詩歌等這些內(nèi)容的滲透，拉近了數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，使數(shù)學(xué)更加平易近人，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的生活化特點(diǎn)。

三、設(shè)計(jì)思路

三角函數(shù)周期性的學(xué)習(xí)是為學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)提供了問題背景，教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)充分運(yùn)用這些問題背景以突出“建立刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”這一主題。

周期函數(shù)的定義是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)中，教師可以從“周而復(fù)始的重復(fù)出現(xiàn)”出發(fā)，通過實(shí)際模型，一步步使語言精確化，通過“每隔一定時(shí)間出現(xiàn)”“函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)”等逐步抽象出函數(shù)周期性的定義。

四、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與能力：

1.了解周期函數(shù)的概念。

2.會(huì)判斷簡單函數(shù)的周期性，并會(huì)求簡單三角函數(shù)的周期。

過程與方法：

1.通過組織學(xué)生從生活實(shí)際問題逐步抽象出函數(shù)周期性的定義，不斷增強(qiáng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，歸納正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)觀察、比較、歸納、分析等一般科學(xué)方法的運(yùn)用。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

1.通過生活實(shí)例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會(huì)三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

2.在教學(xué)過程中，通過學(xué)生的相互交流，來加深對(duì)三角函數(shù)周期性的理解，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力，培養(yǎng)學(xué)生傾聽、接受別人意見的優(yōu)良品質(zhì)。

3.通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。

4.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，體會(huì)從感性到理性的思維過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想;讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，享受成功的喜悅，感受數(shù)學(xué)的魅力。

五、教學(xué)重點(diǎn)

1.周期函數(shù)的定義。

2.求一些簡單的三角函數(shù)的周期。

六、教學(xué)難點(diǎn)

周期函數(shù)概念的理解。

七、教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體課件、投影儀、教學(xué)案

八、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

即興朗誦詩一首：

賦得古原草送別

離離原上草，一歲一枯榮;

野火燒不盡，春風(fēng)吹又生。

多媒體播放歌曲一首（節(jié)選）：春去春會(huì)來/花謝花會(huì)再開/黑夜又白晝

[設(shè)計(jì)意圖：讓同學(xué)們通過古詩和歌曲感受一下直觀下的周期性。簡單了解周期函數(shù)就是描述現(xiàn)實(shí)世界“周而復(fù)始”與“因果關(guān)系”的一種數(shù)學(xué)模型。]

師：同學(xué)們還能說出類似的例子嗎？

生：今天是星期一，7天之后還是星期一。

師：14天之后呢？

生：還是星期一。

師：還有嗎？

生：每年都有春、夏、秋、冬，地理課上的地球的自轉(zhuǎn)，公轉(zhuǎn)……

師：這些現(xiàn)象有什么共同特點(diǎn)呢？

生：都給我們重復(fù)、循環(huán)的感覺

[設(shè)計(jì)意圖：通過生活實(shí)例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識(shí)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的求知欲，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。]

2.學(xué)生活動(dòng)

提出問題：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)已有知識(shí)說明正弦函數(shù)有類似現(xiàn)象。

sin（x+2π）=sinx

每當(dāng)α增加（或減少）2π，所得角的終邊與原來角的終邊相同。

正弦函數(shù)的這種性質(zhì)稱為周期性。

[設(shè)計(jì)意圖：通過三角函數(shù)線這一模型，將自然現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，經(jīng)過問題的巧妙設(shè)置和師生的共同討論，找到周期函數(shù)的數(shù)學(xué)特征，引導(dǎo)學(xué)生歸納出周期函數(shù)的定義。]

3.嘗試定義，鞏固深化

（1）對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)，

使得定義域內(nèi)的，都滿足，

那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

設(shè)計(jì)問題：

1.若f（x+3）=f（x），則f（x）周期是多少？

2.若f（x）周期為-2，請(qǐng)你寫出一個(gè)等式。

3.判斷下列說法是否正確，并簡述理由：

（1）x=7π6時(shí)，sin（x+2π3）=sinx，則2π3一定是函數(shù)y=sinx的周期;

（2）x=π3時(shí)，sin（x+2π3）≠sin，則2π3一定不是y=sinx的周期。

[設(shè)計(jì)意圖：通過幾個(gè)不同層次問題的研討，鞏固概念。由特殊到一般，引入反例加深印象。體現(xiàn)邏輯推理的核心素養(yǎng)。]

在此教師需在追問：

追問1：函數(shù)f（x）=sinx（x≤0）是否為周期函數(shù)？

追問2：y=sinx的周期唯一嗎？為什么？

師：T是f（x）的周期，那么kT也一定是f（x）的周期（k為非零整數(shù)）？

生：是的。

師：可以證明嗎？

生討論后給出證明。

思考：1.y=sinx的周期當(dāng)中存在最小值嗎？

2.y=sinx的周期當(dāng)中存在最大值嗎？

3.在y=sinx所有正數(shù)周期中有最小值嗎？

[設(shè)計(jì)意圖：由追問的問題，由淺入深，深化概念，并引出最小正周期的概念。這一塊內(nèi)容必須要緊湊、細(xì)實(shí)。]

（2）最小正周期的定義

對(duì)于一個(gè)函數(shù)f（x），如果它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫f（x）的最小正周期。

說明：今后如果不加特別說明，一般都指函數(shù)的最小正周期。

提出問題：y=3是否是周期函數(shù)？

追問：1.周期為多少？

2.有最小正周期嗎？

生在此一一作答，如回答不上來可以分組討論。

[設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)知不是所有的周期函數(shù)都有最小值。]

提出問題：1.y=cosx是否是周期函數(shù)？若是周期函數(shù)，周期是多少？若不是周期函數(shù)，請(qǐng)說明理由。

2.y=tanx是否是周期函數(shù)？若是周期函數(shù)，周期是多少？若不是周期函數(shù)，請(qǐng)說明理由。

[設(shè)計(jì)意圖：通過類比研究，讓學(xué)生認(rèn)知所學(xué)的三個(gè)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，并且都有最小正周期。]

追問：y=sin2x是否是周期函數(shù)？若是周期函數(shù)，周期是多少？若不是周期函數(shù)，請(qǐng)說明理由。

提問部分學(xué)生，可能答不出來，此時(shí)需要小組合作探究。

[設(shè)計(jì)意圖：師生共同探討，體現(xiàn)師生合作，生生合作，讓課堂充滿活力，讓同學(xué)們知道團(tuán)結(jié)的力量，體驗(yàn)成功的喜悅。]

學(xué)生活動(dòng)：自編一道三角函數(shù)題，請(qǐng)同座位思考是否為周期函數(shù)？若是周期函數(shù)，周期是多少？若不是周期函數(shù)，請(qǐng)說明理由。

教師展示活動(dòng)成果，并一一點(diǎn)評(píng)。

師：你們能得出什么結(jié)論？

生：1.一般的，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω>0）的周期2πω

師：發(fā)現(xiàn)源于觀察，創(chuàng)造源于探索。

沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)——艾薩克·牛頓

猜想：2.若函數(shù)y=f（x）的周期為T，則函數(shù)y=Af（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω≠0）的周期T|ω|

[設(shè)計(jì)意圖：再次體會(huì)由一般到特殊，類比的思想方法。]

合作探究：求下列函數(shù)的周期：

1.y=|sinx|

2.y=cos|x|

思考：y=|Asin（ωx+φ）|的周期？

學(xué)生集體討論給出答案并加以證明。

[設(shè)計(jì)意圖：在本題的解答過程中，我們用到了處理問題的常用一種手段，整體換元，將比較復(fù)雜、陌生的問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的問題加以解決，同時(shí)通過題組的形式，也便于學(xué)生歸納出一般的結(jié)論。問題設(shè)計(jì)由特殊到一般，由淺入深，層層遞進(jìn)，展現(xiàn)學(xué)生的思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性。]

4.知識(shí)遷移，學(xué)以致用

例 若鐘擺的高度h（mm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。

（1）求該函數(shù)的周期;

（2）求t=10s時(shí)鐘擺的高度。

師組織學(xué)生圍繞以下問題展開討論：

問題1：周期函數(shù)具有什么特征？

問題2：能否根據(jù)周期性找到t=10s時(shí)鐘擺的高度？

（師生共同討論，完成解答）

[設(shè)計(jì)意圖：例1的設(shè)置可以直觀的反映出周期函數(shù)圖象的特點(diǎn)，進(jìn)一步的幫助同學(xué)理解周期函數(shù)的定義，并為正弦函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。]

5.回顧反思

本節(jié)課由實(shí)例引入，通過師生的合作探究，幫助學(xué)生更好的理解周期函數(shù)及周期的概念，并要求學(xué)生能夠結(jié)合概念會(huì)求一些簡單的三角函數(shù)的周期。

反思：課堂的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)不是一成不變的，應(yīng)根據(jù)課堂上學(xué)生的實(shí)際情況，靈活組織，提高課堂駕馭能力;充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使不同層次的學(xué)生都有收獲。

6.課堂檢測

略

7.課后作業(yè)

請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)三角函數(shù)周期性，寫一首詩，交給老師。

[設(shè)計(jì)思路：如果不在某種程度上成為一個(gè)詩人，就永遠(yuǎn)不會(huì)成為一個(gè)完美的數(shù)學(xué)研究者。——維爾斯特拉斯]

教師提供一首詩：

三角函數(shù)

東升西落照蒼穹，

影短影長角不同。

晝夜循環(huán)潮起伏，

冬春更替草枯榮。

[設(shè)計(jì)意圖：把文化深入課堂，首尾呼應(yīng)]

8.板書設(shè)計(jì)（略）

九、感悟與思考

問題情境的創(chuàng)設(shè)必須是學(xué)生熟悉的情境，這樣才可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生參與進(jìn)來，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生主動(dòng)探索知識(shí)的未知領(lǐng)域，從而轉(zhuǎn)變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。教師應(yīng)該不斷地用問題引領(lǐng)學(xué)生來激活學(xué)生，有了問題，學(xué)生的思維才有方向，才有互相交流的機(jī)會(huì)?；谝陨险J(rèn)識(shí)，本課著力于問題的設(shè)置，層層推進(jìn)，達(dá)到期待的效果。但是問題引領(lǐng)和情境創(chuàng)設(shè)必須遵循層次性原則，圍繞教學(xué)主題，層層遞進(jìn)，才能讓學(xué)生持續(xù)性地不斷提高。否則就會(huì)適得其反，神散形也散。

教育最終的指向是全面發(fā)展的人。數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，嚴(yán)密的邏輯性，但這不應(yīng)該是數(shù)學(xué)課堂粗糙無味的理由，其實(shí)，數(shù)學(xué)是一種語言，是一種思維，也是一種工具，更是一種文化，這種文化也正好架設(shè)了數(shù)學(xué)與非數(shù)學(xué)學(xué)科之間的橋梁。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)對(duì)文化的滲透，更能引領(lǐng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的向往。當(dāng)你教到直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，脫口而出的是“大漠孤煙直，長河落日?qǐng)A”;當(dāng)你進(jìn)行點(diǎn)、線、面、體教學(xué)時(shí)，可以吟誦一下“兩個(gè)黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船。”這樣做，數(shù)學(xué)課堂上散發(fā)出的“文化味”必將引人入勝，別有韻味，意味深長。當(dāng)然，用文化點(diǎn)綴課堂的也要遵循“主題”原則，也要圍繞主題展開，不能喧賓奪主，所選的詩句、話題等要與學(xué)生的生活貼近、融洽。否則就會(huì)分散學(xué)生的注意力，詞不達(dá)意，文不對(duì)題，反而使效果適得其反。

形式服從主題，內(nèi)容圍繞核心素養(yǎng)，無論是問題導(dǎo)引還是文化點(diǎn)綴，都必須服從于學(xué)情，服務(wù)于學(xué)生，以學(xué)生的發(fā)展為本。

（作者單位：江蘇省清浦中學(xué)，江蘇 淮安223001）