劉文光, 豐霞瑤, 姚 婉

（南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063）

功能梯度材料（functional graded materials，F(xiàn)GMs）是一種由陶瓷和金屬、金屬和金屬、陶瓷和非金屬、非金屬和塑料、陶瓷和陶瓷等組合而成的復(fù)合材料，其結(jié)構(gòu)和成分隨體積的變化而變化。FGMs 結(jié)構(gòu)的空間位置決定了材料的性能，因為空間位置不斷變化，其性質(zhì)沿一個或多個方向不均勻但連續(xù)變化。陶瓷金屬基的功能梯度材料能承受2000 K 的表面溫度熱障，采用分層加工、熔體處理、顆粒處理等可控制剪切變形、腐蝕、磨損和屈曲，還能消除應(yīng)力集中。優(yōu)異的材料特性使FGMs能在高溫情況下應(yīng)用于航天器微電子、超音速飛機以及燃燒室熱保護系統(tǒng)等。

飛機尾噴管一般裝在渦輪發(fā)動機后端，它的作用是將管中流過的熱能變?yōu)閯幽埽⑴懦鋈細?。一般發(fā)動機尾噴口溫度約為1100～1300 ℃，但是戰(zhàn)斗機尾噴口溫度可達1600～2000 ℃。隨著戰(zhàn)斗機飛行速度增加，發(fā)動機渦輪葉片轉(zhuǎn)速增加，發(fā)動機內(nèi)部會產(chǎn)生大量熱量，導(dǎo)致發(fā)動機的四周壁溫度極高。若熱量無法及時散發(fā)出去，會直接影響發(fā)動機的工作性能。要提高發(fā)動機性能，尾噴口材料必須耐高溫、抗沖擊和耐腐蝕?？紤]戰(zhàn)斗機尾噴口工作溫度條件，鈦合金未必滿足使用要求，普通陶瓷、金屬和復(fù)合材料則更難滿足條件。戰(zhàn)斗機尾噴口使用金屬基陶瓷功能梯度材料設(shè)計，不僅能避免金屬和陶瓷之間因物理和力學性能上差異所導(dǎo)致的接觸界面的應(yīng)力問題，而且可緩解材料在使用中因高溫梯度造成的熱應(yīng)力問題。即利用陶瓷的強散熱能力，可將發(fā)動機內(nèi)部的熱量及時地散發(fā)到外界，降低發(fā)動機內(nèi)壁溫度，同時借助金屬材料的高強度，可以保證戰(zhàn)斗機尾噴口在飛行過程中的強度要求。

雖然FGMs 研究時間不長，但是發(fā)展十分迅速。特別在日本和歐美等工業(yè)比較發(fā)達的國家，F(xiàn)GMs 在組織結(jié)構(gòu)、制備工藝及應(yīng)用等方面都取得了令人矚目的成就。針對FGMs 結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力問題，Noda 等用含裂紋有限非均勻彈性體研究了FGMs 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定熱應(yīng)力及熱應(yīng)力強度因子[1]；Cho等基于Crank-Nicolson-Galerkin 方案建立了FGMs殼的熱應(yīng)力分析模型[2]。圍繞FGMs 結(jié)構(gòu)的力學性能，Loy 等分析了金屬基陶瓷FGMs 殼的力學特性[3]；Xu 等測定了用粉末冶金法制備出的HATi 軸對稱生物FGMs 的力學性能和熱膨脹系數(shù)[4]；Lin 等測試了利用微波燒結(jié)方法開發(fā)的WC/Co 重金屬FGMs的微結(jié)構(gòu)及硬度[5]。為優(yōu)化FGMs 組織結(jié)構(gòu)，曹文斌等研制了新的金屬基FGMs，并應(yīng)用于新一代核聚變托克馬克實驗室裝置[6]；劉文光等研究了熱應(yīng)力和熱傳導(dǎo)約束下FGMs 的最佳陶瓷體積分數(shù)指數(shù)[7]。考慮熱環(huán)境對FGMs 板殼結(jié)構(gòu)動力特性的影響，Shah 等引入Winkler 和Pasternak 提出的模量公式，修正了FGMs 圓柱殼的動力學方程[8]；Wang等研究了含初始應(yīng)力時熱環(huán)境對FGMs 板振動的影響[9]；劉文光等分析了溫度變化和熱應(yīng)力對FGMs殼模態(tài)頻率的影響[10]?；诮鼒鰟恿W方法，劉英凱等建立了FGMs 的熱傳導(dǎo)模型，研究了在溫度荷載作用下FGMs 的溫度場，討論了不同梯度形式對FGMs 熱傳導(dǎo)的影響[11]。陳金曉等采用改進傅里葉級數(shù)建立了FGMs 圓柱殼的振動特征方程，研究了在彈性邊界條件下，殼體尺寸、陶瓷體積分數(shù)等因素對FGMs 圓柱殼固有頻率的影響[12]。胡國棟等發(fā)展了用于研究FGMs 二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值流形方法，探討了相關(guān)矩陣的求積策略[13]。黃懷緯等采用Donnell 殼體理論推導(dǎo)了FGMs 橢圓柱殼的屈曲控制方程及屈曲臨界溫度的解析表達式，分析了均勻分布、線性分布及非線性分布的溫升環(huán)境對FGMs 物性的影響以及屈曲臨界溫度隨截面離心率、材料組分參數(shù)的變化規(guī)律[14]。

戰(zhàn)斗機高速飛行時，尾噴口熱量過大容易產(chǎn)生變形，直接影響飛行性能。因此，戰(zhàn)斗機起飛時，應(yīng)收縮尾噴口增加推動比，縮短起飛距離，而在降落時，應(yīng)擴張尾噴口增加阻力以減小滑行距離。也就是說，尾噴口的變形不僅影響起飛，而且影響戰(zhàn)斗機飛行距離。對于帶有弧度的尾噴口，熱應(yīng)力存在時極易導(dǎo)致尾噴口形狀破損。發(fā)動機尾噴口一旦損壞，發(fā)動機內(nèi)部的熱量更難散發(fā)出去，若能將FGMs 應(yīng)用于戰(zhàn)斗機的尾噴口設(shè)計，或?qū)⒏纳茟?zhàn)斗機工作性能。

飛機、導(dǎo)彈、戰(zhàn)斗機尾噴口等很多結(jié)構(gòu)均可簡化為圓柱殼模型來研究，而圓柱殼是典型的軸對稱結(jié)構(gòu)。本工作以FGMs 圓柱殼為對象，探討FGMs的熱物理特性，建立FGMs 圓柱殼的熱傳導(dǎo)和熱應(yīng)力模型，分析材料參數(shù)和熱環(huán)境對熱傳導(dǎo)和熱應(yīng)力的影響。

1 FGMs 圓柱殼建模

1.1 FGMs 模型

如圖1 所示的模型為FGMs 圓柱殼單元模塊，若上表面為純陶瓷，下表面為純金屬，材料成分由兩端向中面逐漸減少，在中面的陶瓷和金屬所占比例相同。材料特性則由上表面純陶瓷向下表面純金屬連續(xù)變化，如彈性模量、密度、熱膨脹系數(shù)、熱傳導(dǎo)率等。但這種連續(xù)變化會受到外界環(huán)境溫度以及材料體積分數(shù)影響。在圖1 所示的（x,y,z）坐標系中，以中面為參考面，F(xiàn)GMs 在任意厚度位置的物理特性P（z）可表示為：

式中：P（z）是材料物理特性，如彈性模量E、泊松比ν、材料密度ρ、熱膨脹系數(shù)α 和熱傳導(dǎo)系數(shù)k；Pc和Pm分別表示陶瓷和金屬的材料物理屬性。Vf是按設(shè)計選定的陶瓷體積分數(shù)，其表達式為：

式中：h 表示FGMs 的厚度；z 是材料空間對應(yīng)的坐標位置；n 是陶瓷體積分數(shù)指數(shù)，取值為0 ＜ n ＜ ∞。

圖 1 功能梯度材料模型 （a）坐標模型；（b）成份變化Fig. 1 FGMs model （a）coordinate model；（b）composition variation

1.2 溫度對FGMs 物理特性的影響

FGMs 的物理特性與環(huán)境溫度有關(guān)，其表達式為：

式中：P（T）代表材料的熱物理特性，P0表示室溫物理特性，T=T0+?T（z）表示環(huán)境溫度，室溫T0= 300 K。P-1、P0、P1、P2和P3是所選材料溫敏系數(shù)。ZrO2為FGMs 圓柱殼外表面陶瓷基材料，Ti-6Al-4V 為內(nèi)表面金屬基材料，具體系數(shù)見表1。

假設(shè)FGMs 所處環(huán)境的溫度場?T（z）僅沿著FGMs 的厚度方向變化，可得到FGMs 熱物理特性模型：

式中：P0c和P0m表示室溫時陶瓷和金屬的物理特性。

表 1 ZrO2 和Ti-6Al-4V 溫敏系數(shù)[15]Table 1 Temperature dependent coefficient of ZrO2 and Ti-6Al-4V[15]

假設(shè)FGMs 處在線性溫度場中，溫度表達式為：

式中：Tc和Tm分別是施加在陶瓷表面和金屬表面的溫度，且溫度是沿著厚度方向上線性升高的溫度場。本工作計算分析中，取T0= 300 K, Tc= 0 K 和Tm= 1000 K。

圖2 描述了室溫（293 K）情況下不同陶瓷體積分數(shù)指數(shù)n 時，彈性模量E、密度ρ、熱傳導(dǎo)系數(shù)k 和熱膨脹率α 沿厚度的變化。結(jié)果表明，n 一定時，陶瓷占比越大彈性模量越小，說明陶瓷彈性模量小于金屬彈性模量。增大金屬比重會減小FGMs的密度、熱膨脹率和熱傳導(dǎo)系數(shù)。隨著n 增大，F(xiàn)GMs 的密度、熱傳導(dǎo)系數(shù)和熱膨脹率隨之增大。因此，如果散熱要求較高，設(shè)計時可增大陶瓷比重。

圖 2 室溫情況下FGMs 物理特性沿厚度變化 （a）彈性模量；（b）材料密度；（c）熱傳導(dǎo)系數(shù)；（d）熱膨脹率Fig. 2 Physical properties of FGMs varying with thickness under room temperature （a）elastic modulus；（b）material density；（c）thermal conductivity；（d）thermal expansion rate

圖 3 線性溫度場下FGMs 物理特性沿厚度變化 （a）彈性模量；（b）材料密度；（c）熱傳導(dǎo)系數(shù)；（d）熱膨脹率Fig. 3 Physical properties of FGMs varying with thickness under linear temperature field （a）elastic modulus；（b）material density；（c）thermal conductivity；（d）thermal expansion rate

圖3 為n 取不同值時，線性溫度場下FGMs 彈性模量E、密度ρ、熱膨脹率α 和熱傳導(dǎo)系數(shù)k 沿著沿厚度的變化。結(jié)果表明，F(xiàn)GMs 的熱傳導(dǎo)系數(shù)和密度只和n 有關(guān)。而且，室溫環(huán)境下，兩者隨n 值的增加而增大；線性溫度場環(huán)境下，彈性模量隨n 值的增加而減小。

1.3 基于Python 編程的FGMs 圓柱殼建模

將戰(zhàn)斗機的尾噴口簡化為圖4 所示FGMs 圓柱殼。取FGMs 圓柱殼長L=0.8 m，中面半徑R=0.405 m，殼體厚度h=0.01 m。假設(shè)圓柱殼的外表面為純ZrO2，內(nèi)表面為純Ti-6Al-4V。材料物理特性沿厚度方向變化規(guī)律可用函數(shù)P（z）表示。利用ABAQUS 平臺建立FGMs 殼的有限元模型，如圖5 所示。通過Python 編程賦予不同厚度位置不同材料屬性。FGMs 圓柱殼采用C3D8R 劃分網(wǎng)格，模型總共3200 個單元。基于該模型可以分析FGMs 殼的熱傳導(dǎo)和熱應(yīng)力問題。

圖 4 FGMs 圓柱殼幾何模型Fig. 4 Geometry model of FGMs cylindrical shell

2 FGMs 圓柱殼的熱應(yīng)力

2.1 熱應(yīng)力理論

由于FGMs 圓柱殼是軸對稱模型，模型內(nèi)各處應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量關(guān)于軸線對稱。假設(shè)圖5 所示FGMs 圓柱殼受到力場和熱場的共同作用，則外加載荷和溫度作用軸對稱，且只和參數(shù)R、z 有關(guān)。

圖 5 FGMs 圓柱殼有限元模型Fig. 5 Finite element model of FGMs cylindrical shell

忽略圓柱面上沿z 軸方向的剪應(yīng)力和垂直于z 軸沿R 方向的剪應(yīng)力。假設(shè)溫度T 僅是R 的函數(shù)，建立圖6 所示的圓柱坐標系，M 為圓柱殼空間的某一點。在此坐標系中：

圖 6 圓柱坐標系Fig. 6 Cylindrical coordinate system

不考慮外加載荷，修改空間軸對稱問題的平衡方程得到FGMs 圓柱殼的平衡方程[16]：

式中：σz、σR、σθ分別為FGMs 圓柱殼的軸向正應(yīng)力、徑向正應(yīng)力和環(huán)向正應(yīng)力。

空間內(nèi)一點的應(yīng)變-位移關(guān)系為：

式中：u、w 分別為沿R 方向的徑向位移和沿z 軸的軸向位移；εR、εθ、εz、γzR分別為徑向正應(yīng)變、環(huán)向正應(yīng)變、軸向正應(yīng)變和R 與z 方向之間的剪應(yīng)變。

將關(guān)系式（8）代入圓柱坐標系的廣義胡克定律得到應(yīng)力-溫差關(guān)系

其中：

式中：E、ν、α 分別是材料的彈性模量、泊松比和熱膨脹系數(shù)。

求解公式（9）可得到熱應(yīng)力。

2.2 熱應(yīng)力數(shù)值計算

戰(zhàn)斗機在飛行過程中尾噴管表面受到強烈的氣動加熱，在不同的飛行空域飛行器外表面的熱流密度q 不同，熱應(yīng)力分布復(fù)雜。取初始環(huán)境溫度為20 ℃，圓柱殼的一端簡支、一端自由，外表面壓力為0.1 MPa。在ABAQUS 有限元軟件中，選擇內(nèi)外表面施加熱流密度q，熱流密度隨時間的幅值表，如表2 所示。

表 2 熱流密度隨時間的變化Table 2 Heat flux density varying with time

采用von-Mises 等效應(yīng)力描述模型內(nèi)部應(yīng)力分布情況。改變q 和n 值，將自由端面厚度方向每兩層應(yīng)力值做平均值處理，得到每層臨界面的von-Mises 應(yīng)力值沿著圓柱殼厚度的變化規(guī)律，見圖7和圖8。結(jié)果顯示，q 一定時，隨著n 增加應(yīng)力增加平緩。n 大于10 之后的增加幅度趨于常數(shù)，即n 不是影響應(yīng)力的主要因素，因此，設(shè)計尾噴口的時候可以將n 取為10 或者10 以上。圓柱殼內(nèi)層的應(yīng)力小于外層的應(yīng)力，因此，使用功能梯度材料設(shè)計尾噴口時，應(yīng)控制應(yīng)力小于材料所能承受的最大應(yīng)力。n 一定時，增加q 使得材料應(yīng)力增加，且q 對應(yīng)力影響很大。q 達到50 kW/m2的時候，尾噴口受到的最大應(yīng)力接近于材料的抗彎強度1012 MPa。為延長戰(zhàn)斗機的飛行時長，此時應(yīng)考慮其飛行空域的熱流密度q。

保持q 和n 恒定時，圓柱殼的內(nèi)側(cè)和外側(cè)應(yīng)力較大，且外側(cè)應(yīng)力大于內(nèi)側(cè)應(yīng)力值。n 保持一定時，q 增加應(yīng)力會增大。當q 達到40 kW/m2時，最外側(cè)應(yīng)力值約450 MPa。因此，設(shè)計尾噴口時，應(yīng)該考慮戰(zhàn)斗機的飛行空域的熱流密度q。q 一定時，n 大于15 的應(yīng)力有突變。不同厚度位置的應(yīng)力值相差較大，易出現(xiàn)變形的情況。設(shè)計時，減小n 可避免因變形程度不一致產(chǎn)生的裂紋。而在無法改變n 和q 時，改變尾噴口厚度可降低應(yīng)力，但厚度必須控制在6 mm 內(nèi)。當厚度大于6 mm 且n 大于15 時，需通過其他方法降低應(yīng)力值。

圖 7 陶瓷體積分數(shù)對不同位置熱應(yīng)力的影響Fig. 7 Effects of ceramic volume fraction index on thermal stress at different positions

圖 8 熱流密度對不同位置熱應(yīng)力的影響Fig. 8 Effects of heat flux density on thermal stress at different positions

圖 9 陶瓷體積分數(shù)對不同時間熱應(yīng)力的影響Fig. 9 Effects of ceramic volume fraction index on thermal stress at different time

圖 10 熱流密度對不同時間熱應(yīng)力的影響Fig. 10 Effects of heat flux density on thermal stress at different time

改變q 和n 值，圓柱殼最大應(yīng)力隨時間變化規(guī)律見圖9 和圖10。q 保持一定時，最大應(yīng)力值隨時間增加而增加，但n 的增加對應(yīng)力的增加基本無影響。尾噴口設(shè)計時，可以忽視由于n 對應(yīng)力帶來的影響。n 保持不變，熱流密度大于10 kW/m2時，在100 s 時出現(xiàn)一個較大的應(yīng)力值，在200 s 時出現(xiàn)一個較小值，之后應(yīng)力開始穩(wěn)定增加。熱流密度小于10 kW/m2時，應(yīng)力值在100 s 達到最大值，隨后逐漸降低。在100 s 時最大應(yīng)力值小于自由端的屈服極限，戰(zhàn)斗機可以長時間飛行。取安全系數(shù)為2 時，如果戰(zhàn)斗機在500 s 內(nèi)未完成起飛，尾噴口的應(yīng)力值還在增加時不能正常飛行。

3 FGMs 圓柱殼的熱傳導(dǎo)

3.1 熱傳導(dǎo)理論

在圓柱殼上取微單元進行熱傳導(dǎo)分析，如圖11所示。

圖 11 微單元熱傳導(dǎo)分析Fig. 11 Analysis on heat conduction of micro element

通過傅立葉熱傳導(dǎo)定律, 可得到x、y 和z 方向流出的凈熱流分別為：

式中：qx、qy和qz為單位面積上熱流量，表達式分別為

式中：T 為溫度，k 為材料的熱傳導(dǎo)率。三個坐標上的凈熱流總和為：

由于熱傳導(dǎo)進入微單元的凈熱流量和微單元本身產(chǎn)生的熱流量都用于增大FGMs 圓柱殼的內(nèi)能，因此內(nèi)能W 的變化率反映了微單元內(nèi)的能量隨著時間的變化率：

式中：t、C、ρ 分別代表時間、材料的比熱和密度。

假設(shè)通過FGMs 圓柱殼的熱流密度為qν，那么圓柱殼微單元的熱量記為qνdxdydz。由能量守恒定律可知，熱傳導(dǎo)流入微單元的凈熱流和微單元內(nèi)產(chǎn)生的熱流之和與能量存儲的時間變化率相等，因此：

3.2 熱傳導(dǎo)數(shù)值計算

因為內(nèi)熱源qν隨時間變化，且FGMs 圓柱殼模型壁厚較小，內(nèi)熱源相比外熱源對熱傳導(dǎo)的影響極小，即qν= 0。假設(shè)室溫下FGMs 圓柱殼的比熱為c = 0.69 × 103J/（kg?℃），外熱源熱流密度q 從10～40 kW/m2變化。

圖12 描述了熱流密度q 對熱傳導(dǎo)的影響。結(jié)果表明，增大熱流密度，任意截面的溫度隨q 值增加而升高，且q 越大，溫度上升越明顯。圖13 表明了陶瓷體積分數(shù)對熱傳導(dǎo)的影響。結(jié)果表明，尾噴口n 變化對于任意截面溫度基本上無影響。應(yīng)用于設(shè)計時，假設(shè)戰(zhàn)斗機的飛行時長設(shè)定為500 s，則飛機所處飛行空域的q 值不能超過30 kW/m2，即可根據(jù)材料能承受的最高溫度和擬合函數(shù)估算出戰(zhàn)斗機飛行時間。因此，要延長飛行時長，應(yīng)選擇q 較小的飛行空域。

圖 12 熱流密度對熱傳導(dǎo)的影響Fig. 12 Effects of heat flux density on heat conduction

圖 13 陶瓷體積分數(shù)對熱傳導(dǎo)的影響Fig. 13 Effects of ceramic volume fraction index on heat conduction

4 結(jié)論

（1）熱流密度一定時，應(yīng)力隨陶瓷體積分數(shù)指數(shù)增加比較平緩，而且圓柱殼的外側(cè)應(yīng)力大于內(nèi)側(cè)應(yīng)力；陶瓷體積分數(shù)指數(shù)大于10 之后的應(yīng)力增加幅度趨于常數(shù)，即陶瓷體積分數(shù)指數(shù)不是影響應(yīng)力的主要因素。因此，利用FGMs 設(shè)計飛機尾噴口的時候可以將陶瓷體積分數(shù)指數(shù)設(shè)計為10 以上。

陶瓷體積分數(shù)指數(shù)恒定時，應(yīng)力值隨熱流密度的增加而增加；當熱流密度等于40 kW/m2 時，F(xiàn)GMs 圓柱殼最外側(cè)應(yīng)力值約450 MPa，熱流密度達到50 kW/m2時，圓柱殼外側(cè)最大應(yīng)力接近于材料的抗彎強度。

（3）FGMs 圓柱殼任意截面的溫度隨熱流密度的增加而升高，而且熱流密度越大，溫度上升越明顯，但是陶瓷體積分數(shù)變化對于任意截面溫度基本上 無影響。