■太湖職業(yè)技術(shù)學(xué)校 汪銳華

高考對(duì)圓錐曲線主要圍繞 “圓錐曲線的定義及方程、離心率、軌跡方程的探究、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,以及定值、定點(diǎn)、最值、范圍”等考點(diǎn)進(jìn)行考查,凸顯 “形助數(shù)簡(jiǎn)化運(yùn)算的途徑和解析法研究幾何性質(zhì)”的核心素養(yǎng)。本文以2019年高考試題為載體,對(duì)圓錐曲線的熱點(diǎn)題型進(jìn)行全方位的透析,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。

透析1——直線與圓的位置關(guān)系

例1(2019年高考浙江卷12)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長(zhǎng)是r。若直線2x-y+3=0 與圓C相切于點(diǎn)A(-2,-1),則m=_____,r=____。

解析:由切線和過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直可知過(guò)切點(diǎn)的半徑所在直線方程為把(0,m)代入得m=-2,此時(shí)

品味:直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題,往往需要數(shù)與形的結(jié)合,特別是要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)。本題中 “圓的切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直和圓心到切線的距離等于半徑”的性質(zhì)使問(wèn)題趨于簡(jiǎn)單化。

透析2——借助題設(shè)條件構(gòu)建幾何量之間的關(guān)系求離心率

例2(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理16)已知雙曲線的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)。若則C的離心率為____。

解析:作出草圖,通過(guò)向量關(guān)系得到OA為BF1的垂直平分線,結(jié)合雙曲線的漸近線探究正△BOF2,可得進(jìn)而求離心率。

又O為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)A∥BF2,且OA=

圖1

由OA∥BF2得 ∠BOF2= ∠AOF1=∠BF2F1,所以O(shè)B=BF2,因此△OBF2為等邊三角形,∠BOF2=60°,即漸近線的斜率為即,所以

品味:解決橢圓或雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題,其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式。而建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式,要充分利用橢圓或雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍及解三角形的知識(shí)等。

透析3——直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

例3(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理19)已知拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P。

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

分析:(1)設(shè)直線方程,根據(jù)拋物線焦半徑公式和韋達(dá)定理構(gòu)造截距式方程求解。(2)注意直線斜率不為0,可設(shè)直線+t,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用向量關(guān)系及坐標(biāo)關(guān)系,結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求解。

解:(1)設(shè)直線l的方程為A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線焦半徑公式可知所以

所以直線l的方程為即12x-8y-7=0。

(2)設(shè)P(t,0),由于斜率為則可設(shè)直線l的方程為聯(lián)立消去x整理得y2-2y-3t=0,則Δ=4+12t＞0,所以所以y1+y2=2,y1y2=-3t。

品味:解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)需要注意:(1)觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件,明確確定直線、橢圓的條件;(2)合理運(yùn)用定義和巧設(shè)直線的形式,如x=my+t為斜率不為0 恒過(guò)(t,0)的直線系;(3)強(qiáng)化直線與橢圓或拋物線聯(lián)立方程組消元得出一元二次方程后的運(yùn)算,重視判別式大于0,根與系數(shù)之間的關(guān)系,以及與弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等溝通中的“設(shè)而不求,整體思維”的素養(yǎng)。

透析4——定點(diǎn)和定值問(wèn)題的探究

例4(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理21)已知曲線為直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B。

(1)證明:直線AB過(guò)定點(diǎn);

解析:(1)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義和解析法解出直線AB恒過(guò)的定點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),由得y′=x,所以切線DA的斜率為x1,故整理得2tx1-2y1+1=0。

設(shè)B(x2,y2),同理可得DB的方程為2tx2-2y2+1=0。

所以A,B在直線2tx-2y+1=0上,故直線AB的方程為2tx-2y+1=0。當(dāng)x=0時(shí)所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)

(2)四邊形分割成以AB為公用底的兩個(gè)三角形,求出弦長(zhǎng)AB和點(diǎn)D,E到AB的距離,用面積公式進(jìn)而求解。

由(1)得直線AB的方程為

設(shè)d1,d2分別為點(diǎn)D,E到直線AB的距離,則

因此,四邊形ADBE的面積

設(shè)M為線段AB的中點(diǎn),則M的坐標(biāo)為

當(dāng)t=0 時(shí),S=3;當(dāng)t= ±1 時(shí),S=因此,四邊形ADBE的面積為3 或

品味:定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定 “定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少,或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式恒成立,進(jìn)而該式是恒過(guò)定點(diǎn)或恒為定值。此題第一問(wèn)是直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,通過(guò)建立直線系解出定點(diǎn);第二問(wèn)求面積的定值,四邊形分割成兩個(gè)三角形求面積含參數(shù)的解析式,借助圓的幾何性質(zhì)進(jìn)而求解待定參數(shù),屬于常規(guī)題型,按部就班地求解就可以。思路較為清晰,但計(jì)算量不小。

透析5——圓錐曲線的最值問(wèn)題

例5(2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理21)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C。

(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線。

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G。

①證明:△PQG是直角三角形;

②求△PQG面積的最大值。

解析:(1)直接法探究動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,注意斜率存在的條件。由題設(shè)得所以C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,不含左右頂點(diǎn)。

(2)①借助斜率之間的關(guān)系探究垂直,解交點(diǎn)換元切入。設(shè)直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k＞0)?；?jiǎn)得

于是直線QE(或QG)的斜率為方程為由得(2+

設(shè)G(xG,yG),則-u和xG是方程(*)的兩個(gè)根,故由此得yG=

從而直線PG的斜率為所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形。

②構(gòu)建三角形面積的表達(dá)式,換元化歸為函數(shù)單調(diào)性求最值。

或△PQG的面積

因此,△PQG面積的最大值為

品味:解析幾何中的最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,在深刻認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程之中,抓住函數(shù)關(guān)系,將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多個(gè))變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求,常常選用換元法或?qū)?shù)法或不等式法求最值,本題用直接法探究動(dòng)點(diǎn)的軌跡,以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系,判斷三角形形狀和求解三角形面積的最大值,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

透析6——圓和圓錐曲線的網(wǎng)絡(luò)交匯

例6(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷文21)已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=4,⊙M過(guò)點(diǎn)A,B且與直線x+2=0相切。

(1)若A在直線x+y=0上,求⊙M的半徑。

(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí),│MA│-│MP│為定值? 并說(shuō)明理由。

解析:(1)因?yàn)辄c(diǎn)A在直線x+y=0上,點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,所以可設(shè)A(t,-t),則B(-t,t)。

由|AB|=4,得8t2=16,解得

因?yàn)椤袽過(guò)點(diǎn)A,B,所以圓心M必在直線y=x上,設(shè)M(a,a),圓的半徑為r,因?yàn)椤袽與x+2=0相切,所以r=|a+2|。

又|MA|=|MB|=r,即所以(a+2)2,解得a=0或a=4。

當(dāng)a=0時(shí),r=2;當(dāng)a=4時(shí),r=6。

所以⊙M的半徑為2或6。

(2)存在定點(diǎn)P(1,0),使得|MA|-|MP|=1,理由如下:

因?yàn)锳,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且|AB|=4,所以直線AB必為過(guò)原點(diǎn)O的直線,且|OA|=2。

①當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)AB的方程為y=kx,則⊙M的圓心M必在直線上。

設(shè)M(-km,m),⊙M的半徑為r,因?yàn)椤袽與 直 線x+2=0 相 切,所 以r=|-km+2|。

因?yàn)閨MA|=r,即拋物線上的點(diǎn)到直線x+2=0的距離比到準(zhǔn)線x=-1的距離大1,由拋物線的定義知,|MA|=|MF|+1,所以|MA|-|MF|=1。

故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)時(shí),|MA|-|MP|=1。

②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),則直線AB的方程為x=0。

所以M在x軸上,設(shè)M(n,0),因?yàn)椤袽與直線x+2=0相切,所以r=|n+2|。又所以解得n=0,即M(0,0),若P(1,0),則|MA|-|MP|=2-1=1。

綜上所述,存在定點(diǎn)P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值。

品味:求圓的方程采用待定系數(shù)法,關(guān)鍵在于合理選擇形式構(gòu)建方程組求解。對(duì)于圓與圓錐曲線交匯中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題,需要在運(yùn)動(dòng)變化中抓住動(dòng)點(diǎn)的特征,巧用圓的幾何性質(zhì)和圓錐曲線的定義探究定點(diǎn)和定值,本題運(yùn)用圓的性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)圓心所滿足的軌跡方程,借助拋物線的定義得到定值,進(jìn)而驗(yàn)證定值符合所有情況,使得問(wèn)題獲解,凸顯 “形助數(shù)是簡(jiǎn)化求解圓和圓錐曲線交互問(wèn)題”的有效途徑。