■安徽省利辛高級(jí)中學(xué) 胡 彬

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)框架

二、結(jié)構(gòu)分析

立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系。通過(guò)對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí),可以幫助同學(xué)們以長(zhǎng)方體為載體,認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系;用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定,并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證;了解一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法;運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì),建立空間觀念。通過(guò)對(duì)空間向量與立體幾何的學(xué)習(xí),可以幫助同學(xué)們?cè)谄矫鎺缀蔚幕A(chǔ)上,運(yùn)用向量的方法研究基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系,體會(huì)向量方法和綜合幾何方法的共性和差異;運(yùn)用向量方法解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題,感悟向量是研究幾何問(wèn)題的有效工具。

本部分一直是高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)與熱點(diǎn)。一般以基本圖形為載體,利用其定義、性質(zhì)進(jìn)行判定、計(jì)算,或利用空間向量有效研究立體幾何相關(guān)問(wèn)題。本部分涉及的數(shù)學(xué)思想主要為函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想。較好地培養(yǎng)了同學(xué)們的空間想象能力、推理能力和運(yùn)算求解能力?？疾榈暮诵乃仞B(yǎng)是直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算。

三、經(jīng)典例題

典例1(2019 年浙江卷)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家,他提出的 “冪勢(shì)既同,則積不容異”成為祖暅原理,利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積,h是柱體的高,若某柱體的三視圖如圖1 所示(單位:cm),則該柱體的體積(單 位:cm3)是( )。

圖1

A.158

B.162

C.182

D.324

解析:由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)直五棱柱,由正視圖與側(cè)視圖可知俯視圖(五邊形)的參數(shù),即3+2×3+6×6)=27(cm2)。又柱體的高為6 cm,所 以 其 體 積V=Sh= 27 × 6 =162(cm3)。故選B。

點(diǎn)評(píng):三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略:(1)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀,要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖,明確三視圖的形成原理,結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖。(2)由幾何體的直觀圖求三視圖。注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向,注意看到的部分用實(shí)線表示,不能看到的部分用虛線表示。(3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖。先根據(jù)已知的一部分三視圖,還原、推測(cè)直觀圖的可能形式,然后再找其剩下部分三視圖的可能形式。

典例2(2019年洛陽(yáng)第二次統(tǒng)考)在四面體ABCD中,AD⊥平面ABC,AB=,BC=2,若四面體ABCD的外接球的表面積為則四面體ABCD的體積為( )。

A.24 B.12 C.8 D.4

解析:如圖2,因?yàn)樗拿骟wABCD的外接球的表面積為所以球的半徑為又AB=AC=BC=2,所以cos∠BAC所以sin∠BAC=所以△ABC的外接圓的直徑為所以O(shè)1A=所以球心O到平面ABC的距離OO1=4。又AD⊥平面ABC,所以AD=2OO1=8,所以四面體ABCD的體積為故選C。

圖2

點(diǎn)評(píng):(1)解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是確定球心的位置,若求內(nèi)切問(wèn)題,則球心到各面的距離相等且都為球的半徑;若求外接問(wèn)題,則球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等且都為球的半徑,同時(shí)要構(gòu)造出球心到截面圓的垂線段,小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形,從而利用解直角三角形求出待求量。(2)熟記正方體、長(zhǎng)方體、正四面體的內(nèi)切(外接)球的半徑對(duì)解答客觀題是有很大幫助的。

典例3(2018年全國(guó)Ⅰ卷)如圖3,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的 中 點(diǎn),以DF為折痕把△DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PF⊥BF。

圖3

(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

解析:(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所 以BF⊥ 平 面PEF。 又BF? 平 面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD。

圖4

(2)作PH⊥EF,垂足為H,由(1)得,PH⊥平面ABFD,以H為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn)的方向?yàn)閥軸正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖4 所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz。由(1)可得,DE⊥PE,又DP=2,DE=1,所以又PF=1,EF=2,故PE⊥PF,可得則H(0,0,0),為平面ABFD的法向量。設(shè)DP與平面ABFD所成角為θ,則所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為

點(diǎn)評(píng):(1)平行、垂直關(guān)系的證明問(wèn)題是以空間幾何體(主要以柱體和錐體)為載體,通過(guò)空間平行、垂直關(guān)系的證明進(jìn)行命題,主要考查公理4及線面(面面)間的平行與垂直的判定或性質(zhì)定理,常與平面圖形的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行交匯考查。(2)求線面角時(shí),應(yīng)注意點(diǎn)的坐標(biāo)的求解的準(zhǔn)確性及公式中角的范圍為

典例4(2019 年全國(guó)Ⅲ卷)圖5 是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖6。

圖5

(1)證明:圖6 中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

圖6

(2)求圖6中的二面角B-CG-A的大小。

解析:(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面。 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE。又因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE。

(2)作EH⊥BC,垂足為H,因?yàn)镋H?平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC。由已知得菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=以H為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則A(-1,1,0),C(1,0,0),G設(shè)平面ACGD的法向量為n= (x,y,z),則即所以可取n=(3,6,-又平面BCGE的法向量可取為m=(0,1,0),所以因此二面角B-CG-A的大小為30°。

圖7

點(diǎn)評(píng):(1)對(duì)于折疊問(wèn)題,關(guān)鍵是理清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,特別是隱含著的垂直關(guān)系。(2)建系時(shí),無(wú)明顯的垂直關(guān)系需要給予證明。

典例5(2019年濟(jì)南市高三模擬)如圖8,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,M為 棱PC的中點(diǎn),E,F分別為棱AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)(E,F與 所在棱的端點(diǎn)不重合),且滿足BE=BF。

圖8

(1)證明:平面PEF⊥平面MBD;

(2)當(dāng)三棱錐F-PEC的體積最大時(shí),求二面角C-MF-E的余弦值。

解析:(1)連接AC交BD于N,連接MN。因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以AC⊥BD,AN=CN。又PM=MC,所以MN∥PA。又PA⊥底面ABCD,所以MN⊥底面ABCD。又AC?底面ABCD,所以AC⊥MN。又BD∩MN=N,BD,MN?平面MBD,所以AC⊥平面MBD。 因?yàn)锽E=BF,BA=BC,所以即EF∥AC,所以EF⊥平面MBD。又EF?平面PEF,所以平面PEF⊥平面MBD。

(2)設(shè)BE=BF=x,由題意知,S△CEF=又PA=2,所 以V三棱錐F-PEC=易知當(dāng)三棱錐F-PEC的體積最大時(shí),x=1,即此時(shí)E,F分別為棱AB,BC的中點(diǎn)。

以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖9 所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則C(2,2,0),F(2,1,0),E(1,0,0),M(1,1,1設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面MEF的法向量,則可取n=(1,-1,1)。設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面MCF的法向量,則即可取m= (1,0,1),則由圖知所求二面角為鈍二面角,所以二面角C-MF-E的余弦值為

圖9

點(diǎn)評(píng):二面角的求解策略:(1)向量法,又有兩種求法:①分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量,利用其法向量的夾角并結(jié)合實(shí)際圖形或法向量的方向確定其二面角的大小。②分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量,顯然這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小。(2)綜合法,根據(jù)定義,在圖中指(作)出,并給予證明,然后將其納入可解三角形中求解。