劉曉婷

【編者按】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。一線教師在面對“數(shù)學(xué)文化”這一概念時存在著一些疑惑，應(yīng)用方面也存在著一些缺陷。在日常教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)文化”，不應(yīng)只是在新知教授環(huán)節(jié)結(jié)束后的“故事會”，它應(yīng)該有著更為廣泛的應(yīng)用，要能凸顯其在實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、知識技能與情感態(tài)度等方面全面提升的積極作用。本期話題圍繞“數(shù)學(xué)文化”與“傳統(tǒng)教學(xué)”的正確融合展開探討。

近年來，數(shù)學(xué)文化已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的一個熱點研究問題。對于數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，學(xué)術(shù)界尚無統(tǒng)一的界定，當(dāng)前較為流行的觀點是：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展;廣泛些說，除了上述內(nèi)涵外，還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分，數(shù)學(xué)與社會的關(guān)系，數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等。數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵豐富，在數(shù)學(xué)教育中有著巨大的價值。提升數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)，是數(shù)學(xué)課程對每一位數(shù)學(xué)教師的要求。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的教育價值，促進(jìn)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而提升學(xué)生的人文素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？下面結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐做簡要思考。

一、依托知識發(fā)生、發(fā)展過程，理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，汪曉勤教授指出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史可以揭示知識之諧，呈現(xiàn)方法之美，營造探究之樂，達(dá)成能力之助，展示文化之魅，實現(xiàn)德育之效。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式四種。前三種是常見的方式，講述數(shù)學(xué)家的故事、直接用歷史上的數(shù)學(xué)名題、改編歷史上的數(shù)學(xué)問題等。重構(gòu)式，即借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生發(fā)展歷史的方式，這在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不多見。下面，以“11～20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”為例，介紹在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過模擬再現(xiàn)“10”的產(chǎn)生過程，幫助學(xué)生理解計數(shù)單位“十”。

【案例1】11～20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識

“11～20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”是小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊的內(nèi)容。在人教版和北師大版教材中，對10的進(jìn)一步認(rèn)識也是在本節(jié)課完成的。以往教學(xué)中，教師常常會給學(xué)生提供一把小棒，例如12根，提出問題：“這些小棒怎樣擺讓人能很快地看出是12根？”學(xué)生動手操作，然后匯報擺法，一般會出現(xiàn)“1根1根擺”“2根2根擺”“5根5根擺”與“一邊10根，另一邊2根”這四種情況。教師接著讓學(xué)生討論：“你認(rèn)為哪一種擺法能很快看出是12根？為什么？”讓學(xué)生比較，進(jìn)而感受到“一邊10根，另一邊2根”的優(yōu)越性。之后再借助小棒動手操作，把10根小棒扎成一捆，講解10個一是這一捆，1個十也是這一捆，幫助學(xué)生理解“10個一是1個十”。這種方法似乎已經(jīng)成了一種“套路”，但是，“一邊10根，另一邊2根”，真的能很快看出是12根嗎？在一次討論環(huán)節(jié)，當(dāng)大家都形成統(tǒng)一意見后，一位學(xué)生站起來說：“老師，他擺完了我不數(shù)，怎么能確定那邊就是10，而不是11或其他數(shù)呢？”他說的非常有道理，“十”的產(chǎn)生，“10根放一起，捆成1個十”是一種約定，不是靠想當(dāng)然的“一眼就看出來”的。如何幫助學(xué)生理解“十進(jìn)”，感受這種約定的合理性？

北京科技大學(xué)附屬小學(xué)信明慧老師創(chuàng)設(shè)兄弟打獵情境：古時候有兄弟二人去打獵，他們還不會寫數(shù)，就用石頭記錄當(dāng)天收獲獵物的數(shù)量。出示圖1：數(shù)一數(shù)，第一天哥哥抓到了幾只兔子？弟弟呢？出示圖2：第二天哥哥又抓到了幾只山羊，請你一邊數(shù)一邊用小棒擺一擺，有幾只山羊？出示圖3：弟弟也用石頭擺出了他抓的山羊數(shù)量，他說自己抓了15只山羊。同樣是15只羊，擺的石頭卻不一樣。你能猜猜弟弟是怎么想的嗎？弟弟這樣做有什么好處？

學(xué)生在討論中明晰了，弟弟是“用1塊大石頭代表了10塊小石頭”。這種做法“用的石頭數(shù)量少”，以后只要大家都知道了“1塊大石頭代表了10塊小石頭”（約定），就能快速數(shù)出他抓的獵物的數(shù)量了。教師在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用課件演示這種約定性，并用學(xué)生熟悉的小棒幫助他們達(dá)成一致的意見：把10根小棒捆成1捆，就是1個“十”，以后看到捆成這樣一捆的小棒，不用去數(shù)，就默認(rèn)是1個“十”。

上述教學(xué)活動是用小故事的方式還原了“十”產(chǎn)生的過程，幫助學(xué)生理解這種約定有用，能讓數(shù)的表示更簡單。課后教師還可以介紹古埃及象形文字記數(shù)法中“∩”的產(chǎn)生過程，進(jìn)一步了解不同文化背景下“十”的表示方法和來源，拓展學(xué)生視野的同時，體會十進(jìn)制是人類最美妙的發(fā)明之一。

二、滲透數(shù)學(xué)思想、方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

米山國藏曾說過，學(xué)生進(jìn)入社會后如果沒有什么機(jī)會應(yīng)用初中或高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，通常在出校門一兩年內(nèi)就會忘掉這些數(shù)學(xué)知識。然而不管他們從事什么工作，那些銘刻在大腦中的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)精神會長期在他們的生活和工作中發(fā)揮作用。教師在教學(xué)中發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的價值時，要重視數(shù)學(xué)思想與方法的滲透，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想與方法的同時，形成數(shù)學(xué)思維，即善于運用數(shù)學(xué)抽象、概括、分類、比較、歸納、分析等方法解決問題。下面以“2、5、3的倍數(shù)特征再認(rèn)識”為例進(jìn)行簡要介紹。

【案例2】2、5、3的倍數(shù)特征的再認(rèn)識（由北京市西城區(qū)宏廟小學(xué)李小龍老師提供）

“2、5、3的倍數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊的內(nèi)容，這部分內(nèi)容作為純粹數(shù)的特征的探討，比較抽象?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對此內(nèi)容的要求是知道2、3、5的倍數(shù)特征，認(rèn)知要求并不高。有的教師覺得太淺想深挖，分析2、3、5倍數(shù)特征背后的“道理”，這就又有了“超標(biāo)”的嫌疑。那么，對于這個內(nèi)容，可以教什么呢？在一次教學(xué)研究中，教師們對某校已經(jīng)學(xué)完“2、5、3的倍數(shù)特征”的31位學(xué)生，進(jìn)行了調(diào)研。學(xué)生解決和“2、5、3的倍數(shù)特征”有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的過程給教師們帶來很多思考。例如，學(xué)生在解決“7○3□是3的倍數(shù)，○和□中可以填哪些數(shù)字？把你的思考寫在下面”時，情況如下，錯誤理解題意、未能清晰呈現(xiàn)思考過程和結(jié)果，或者未列舉全的學(xué)生占87.1%，能夠利用3的倍數(shù)特征正確解決問題的學(xué)生僅占12.9%。

正確解決該問題需要用到枚舉法或者分類討論的方法。但經(jīng)過五年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，僅有12.9%的學(xué)生能夠主動使用這些方法，數(shù)學(xué)方法在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中留下的印記并不深刻。在解決“你認(rèn)為6的倍數(shù)有哪些特征？把你的思考寫在下面”時，有19.35%的學(xué)生能用枚舉的方式列出6的倍數(shù)，但不能對特征進(jìn)行概括;或者知道和2、3的倍數(shù)有關(guān)，但不能詳細(xì)說出是什么關(guān)系;能夠結(jié)合2、3的倍數(shù)特征推斷6的倍數(shù)特征的學(xué)生僅占9.68%。在學(xué)習(xí)完數(shù)學(xué)知識與方法后，能否應(yīng)用它們?nèi)ソ鉀Q新的問題，能否發(fā)現(xiàn)這些知識與方法和以前學(xué)習(xí)過的知識與方法之間的聯(lián)系，能否在已有學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行新的猜想，這是數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)關(guān)注的目標(biāo)，由此，我們設(shè)計了“2、5、3的倍數(shù)特征的再認(rèn)識”。本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下：（1）通過應(yīng)用2、5、3的倍數(shù)特征解決問題，進(jìn)一步熟悉倍數(shù)特征，體會枚舉、分類討論等方法的價值。（2）通過討論6的倍數(shù)特征，在討論、辨析中幫助學(xué)生感悟“建立聯(lián)系、提出猜想、說理論證”這一數(shù)學(xué)思維方法。（3）通過建立新舊知識與方法之間的聯(lián)系，感受到純粹數(shù)學(xué)研究的魅力。

在上述案例中，教師把教學(xué)重點落在感悟枚舉、分類討論，以及在原有知識基礎(chǔ)上建立聯(lián)系、提出猜想、說理論證等方法上。數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)的思想、方法進(jìn)行討論，即是幫助學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”，分析問題，久而久之，他們也就能通過數(shù)學(xué)“學(xué)會思維”。

三、聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值

數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)善于創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)結(jié)，促使學(xué)生在解決真實情境的數(shù)學(xué)問題中感悟到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。下面以“條形統(tǒng)計圖實踐活動”為例，簡要分析如何把數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)結(jié)，幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。

【案例3】條形統(tǒng)計圖實踐活動（由北京市史家實驗小學(xué)吳斯老師提供）

“條形統(tǒng)計圖”是人教版四年級的教學(xué)內(nèi)容，屬于“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域。統(tǒng)計內(nèi)容與現(xiàn)實聯(lián)系非常緊密，教師在單式和復(fù)式條形統(tǒng)計圖教學(xué)中，選取了“北京最嚴(yán)停工令”以及“一到冬天空氣質(zhì)量就變差”這些真實的情境與問題，喚起學(xué)生收集空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)的需求，進(jìn)而從氣象網(wǎng)站中收集整理空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)，分析解決問題。教師用真實的學(xué)習(xí)素材，在數(shù)學(xué)知識和學(xué)生的現(xiàn)實世界之間建立緊密的聯(lián)系。

在完成單式和復(fù)式條形統(tǒng)計圖教學(xué)后，教師又設(shè)計了一個實踐作業(yè)：利用暑假時間尋找生活中的統(tǒng)計問題，收集數(shù)據(jù)，繪制成條形統(tǒng)計圖;分析統(tǒng)計圖，得出結(jié)論，以數(shù)學(xué)小報的形式呈現(xiàn)研究的作品。從交上來的作品看，學(xué)生都能選擇現(xiàn)實中的問題進(jìn)行研究，他們關(guān)注的選題涉及自然、社會、工業(yè)、生活四個大的方面，有部分學(xué)生受教學(xué)的影響，進(jìn)一步研究空氣質(zhì)量問題，還有的學(xué)生已經(jīng)把視角投放到日常生活中的熱點問題，如房屋租金的問題、老齡化的問題等等。

學(xué)生的作品又進(jìn)一步發(fā)展成為教師上課的素材，教師借助對這些作品的再分析，和學(xué)生一起從分析表面的呈現(xiàn)形式到深入分析統(tǒng)計圖和結(jié)論的關(guān)系，挖掘數(shù)據(jù)背后的信息，讓學(xué)生對統(tǒng)計圖及其作用的認(rèn)識逐步深入，感受到生活中處處有統(tǒng)計，處處有數(shù)學(xué)，統(tǒng)計是一種解釋、解決問題的好方法。實踐活動是把數(shù)學(xué)與日常生活、與社會問題、與其他學(xué)科聯(lián)結(jié)起來的非常好的載體，應(yīng)該引起更多的重視。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和情感，幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實踐能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生求真的品格以及求實創(chuàng)新的精神。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，一個比較現(xiàn)實的做法就是使之融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中。而真正發(fā)揮好數(shù)學(xué)文化的教育價值，也給每一位小學(xué)數(shù)學(xué)教師提出了挑戰(zhàn)，教師也需要不斷提高自己的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)文化的滲透“潤物細(xì)無聲”。

（作者單位：北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院）