陳紹榮，李曉毅，栗鐵樁，徐 舜

（陸軍工程大學通信士官學校，重慶 400035）

0 引 言

若隨機序列的均值和方差是常數(shù)，自相關函數(shù)只與時間的差值有關，則稱為廣義平穩(wěn)隨機序列；若廣義平穩(wěn)隨機序列的時間平均及時間相關函數(shù)分別依概率1等于集合平均及集合相關函數(shù)，則分別稱其均值及相關函數(shù)具有遍歷性；若平穩(wěn)隨機序列的均值和相關函數(shù)都具有遍歷性，則稱為各態(tài)歷經(jīng)過程。即一個樣本函數(shù)經(jīng)歷了隨機序列所有可能的狀態(tài)。因此，隨機序列的均值和相關函數(shù)可以分別用它的一個樣本函數(shù)的時間均值和時間相關函數(shù)來代替。即可以利用樣本函數(shù)的觀測值來估計各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機序列的相關函數(shù)或功率譜[1-2]。本文在著作[3-4]的基礎上，給出了自相函數(shù)估計的四個等價表示式，詳細討論了自相關函數(shù)估計的質量，給出了自相函數(shù)估計快速計算的步驟和方法。

1 自相關函數(shù)估計的等價表示形式

為了分析和討論問題方便起見，首先給出自相關函數(shù)估計R^x(m)的定義，再研究自相關函數(shù)估計R^x(m)的等價表示形式。

1.1 自相關函數(shù)估計R^x(m)的定義

廣義平穩(wěn)隨機序列X(n)的自相關函數(shù)定義為

若廣義平穩(wěn)隨機序列X(n)是各態(tài)歷經(jīng)的，則式（1）的集總平均與單一樣本x(n)的時間平均等價，即式（1）又可以表示為：

遺憾的是在實際中，所遇到的大都是物理信號，即x(n)是一個實因果序列，并且往往只能得到x(n)的N個觀測值xN(0),xN(1),…,xN(N-1)，亦即：

式中，矩形窗序列RN(n)定義為：

其中，ε(n)為單位階躍序列。

由于實際中，x(n)是一個實因果序列，并且往往只能得到x(n)的N個觀測值，即x(n)是一個時限于區(qū)間[0,N-1]的時限序列，因此式（2）可以改寫成：

設x(n)是具有歷經(jīng)性的平穩(wěn)隨機序列X(n)的一個樣本函數(shù)，xN(n)(n=0,1,2,…,N-1)是x(n)的N個觀測值，并且觀測值xN(n)的點數(shù)N是有限值，則自相關函數(shù)Rx(m)的估計R^x(m)定義為：

基于式（6），下面來研究自相關函數(shù)估計R^x(m)的四個等價表示式。

1.2 自相關函數(shù)估計R^x(m)可以表示成線性卷和的形式

兩個序列f1(n)和f2(n)的線性卷和定義為：

式中，m為求和變量；n為參變量。線性卷和的結果是關于參變量n的一個序列，記為f(n)。

考慮到式（7），則有：

式（8）表明，兩個序列的線性卷和滿足交換律。

考慮到式（7），則有：

式（9）表明，兩個序列的線性卷和在n=0位的值f(0)正是一個序列不動、另一個序列反褶，相乘后再求和的結果。

考慮到式（7），則有：

式（10）表明，兩個序列的線性卷和滿足反褶性質。

考慮到式（3）及式（7），則式（6）可以表示成線性卷和的形式，即：

考慮到式（10）及式（8），由式（11）可得：

式（12）表明，實序列的自相關函數(shù)估計R^x(m)是一個偶序列。

1.3 自相關函數(shù)估計R^x(m)可以表示成分段求和的形式

考慮到式（3），則式（6）可以寫成：

1.4 自相關函數(shù)估計R^x(m)分段求和的統(tǒng)一表示

考慮到式（13），則有：

結論1：式（14）表明，實序列的自相關函數(shù)估計R^x(m)是偶序列，并且滿足N-1-|m|≥0，即|m|≤N-1，亦即R^x(m)是始于-(N-1)，止于N-1，其長度為2N-1點的時限序列。

1.5 自相關函數(shù)估計R^x(m)可以表示成時限序列的形式

考慮到式（14）及結論1，則有：

2 R^x(m)對自相關函數(shù)Rx(m)的估計質量

由于具有歷經(jīng)性的平穩(wěn)實隨機序列X(n)的單一樣本函數(shù)x(n)經(jīng)歷了隨機序列所有可能的狀態(tài)，因此，其自相關函數(shù)可以寫成：

式（16）表明，平穩(wěn)實隨機序列的自相關函數(shù)Rx(m)是位差m的函數(shù)，因此，有：

式（17）表明，平穩(wěn)實隨機序列自相關函數(shù)Rx(m)是一個實偶序列。于是，有：

假設x(n)是具有歷經(jīng)性的、零均值的平穩(wěn)正態(tài)隨機序列，下面討論R^x(m)對Rx(m)的估計質量。

2.1 均值

由于：

考慮到式（6）、式（16）及式（19），則有：

式中，巴特列特窗函數(shù)為：

其實，估計R^x(m)的均值，即式（20），還可以通過下述方式獲得。

考慮到式（15）及式（18），則有：

2.2 偏差

考慮到式（22），則估計的偏差bia[R^x(m)]為：

結論2：由于數(shù)據(jù)x(n)的截斷，相當于施加一個矩形窗，即xN(n)=x(n)RN(n)，由式（22）可知，估計R^x(m)的均值E[R^x(m)]施加了一個Bartlett窗wBartlett(m)，該窗具有非均勻加權的作用，影響了R^x(m)對Rx(m)的質量估計。當N固定時，若 |m|＜＜N， 估 計R^x(m)的 均 值E[R^x(m)]接 近 真 值Rx(m)；若|m|接近N，估計R^x(m)的均值E[R^x(m)]趨于零，并且，由式（23）可知，估計R^x(m)的偏差bia[R^x(m)]最大，并且達到Rx(m)。

結論3：若|m|固定時，由式（20）可知，當N→∞時，估計R^x(m)的均值E[R^x(m)]接近于真值Rx(m)，由式（23）可知，估計R^x(m)的偏差bia[R^x(m)]→0，即R^x(m)是Rx(m)的漸近無偏估計。

2.3 均方值

設X(n)為零均值的平穩(wěn)正態(tài)隨機序列，令X1=X(n1)，X2=X(n2)，X3=X(n3)，X4=X(n4)， 可 以 證 明平穩(wěn)正態(tài)隨機序列的四階矩的計算公式為：

考慮到式（15）及式（24），則有：

式中：

考慮到式（19），則有：

考慮到式（9）及式（28），則式（26）可以寫成：

考慮到式（9）及式（28），則式（27）可以寫成：

2.4 方差

考慮到方差的定義、式（25）、式（22）、式（29）及式（30），則有：

因此，R^x(m)對Rx(m)估計的均方誤差可以表示成：

3 自相關函數(shù)直接估計的快速計算

利用式（6）來計算R^x(m)時，如果m和N都比較大，則需要的乘法和加法的次數(shù)太多，因此其應用受到了限制。這時可以利用FFT來實現(xiàn)對R^x(m)的快速計算。

由式（11）可知，自相關函數(shù)Rx(m)的估計R^x(m)可以利用x(-m)RN(-m)/N和x(m)RN(m)的線性卷和來計算，由于完成線性卷和運算的兩個序列的長度均為N點，因此當滿足M≥2N-1時，則可以用兩個序列的M點圓周卷和來代替兩序列的線性卷和。

若取M=2N，為了計算兩個有限長序列x(-m)RN(-m)/N和x(m)RN(m)的M點圓周卷和，需要在xN(n)=x(n)RN(n)后補N個零值位，形成2N點的序列x2N(n)，即：

考慮到式（33）及式（3），則有限長序列x2N(n)的傅里葉變換為：

由于x(n)是實序列，考慮到式（34）及式（11），則有：

式中，|X2N(ejω)|2是有限長序列X2N(n)的能譜，其實也是有限長序列XN(n)的能譜，除以N后為功率譜。即按式（6）定義的具有歷經(jīng)性的平穩(wěn)隨機序列x(n)的自相函數(shù)Rx(m)的估計R^x(m)與x2N(n)的功率譜是一對傅里葉變換。

綜上所述，可以得到利用FFT計算R^x(m)的一般步驟：

（1）計算2N點FFT

在xN(n)=x(n)RN(n)后補N個零值位，形成一個2N點的序列x2N(n)，對x2N(n)做2N點的DFT得到x2N(k),(k=0,1,2,…,2N-1)；并且滿足關系x2N(k)=[X2N(ejω)|ω=kω0=kπ/N]R2N(k)。

（2）計算2N點的功率譜

先對X2N(k)的幅度平方，再取主值，然后除以N，

（3）計算2N點IFFT

式中，R^0(m)是由R^x(m)中m≥0部分和R^x(m)中m＜0的部分向右平移2N后，所形成的新序列，即：

證明：由結論1可知，R^x(m)是m始于-(N-1)，止于N-1，長度為2N-1點的時限序列，即R^x(m)可以寫成：

考慮到式（35）及式（38），則有：

在式（39）中，取時域周期序列和頻域周期序列的主值，就得到了有限長序列的DFT變換對，即并且，從式（39）可知，時域上的主值序列R^0(m)由式（37）來確定。

從前面的分析可知，利用FFT算法可以得到R^x(m)以周期2N延拓所對應的主值序列，即位于主值區(qū)間[0,2N-1]的序列R^0(m)，因此，對具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)隨機序列x(n)的自相函數(shù)Rx(m)的估計R^x(m)，可以利用R^0(m)進行拼接，即

由式（41）及式（42）可知，式（40）成立。因此，對具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)隨機序列x(n)的自相函數(shù)Rx(m)的估計R^x(m)，可以利用時域上的主值序列R^0(m)，按式（40）進行拼接。

4 結 語

本文揭示了自相函數(shù)估計的四個等價表示式，分析了具有各態(tài)歷性的零均值的平穩(wěn)正態(tài)隨機序列的均值、偏差；詳細討論了具有各態(tài)歷性的零均值的平穩(wěn)正態(tài)隨機序列的均方值和方差，自相關函數(shù)直接估計的快速計算的原理、步驟和方法。