孫 欣, 于姍姍

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

當系統(tǒng)的狀態(tài)變化率依賴于過去的狀態(tài), 我們稱這樣的系統(tǒng)為時滯系統(tǒng)。一般地,在各類工業(yè)系統(tǒng)中都含有時滯, 例如: 渦輪噴氣式飛機、核反應堆、輪船定向儀、無損耗傳輸系統(tǒng)都有時滯的現(xiàn)象存在。對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的研究引起了眾多學者的廣泛關(guān)注,并取得大量研究成果[1-10]。對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究主要有頻域法和時域法。用頻域方法研究時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有較強的局限性,對于時變時滯系統(tǒng)的研究帶來不便。不同于頻域法,時域方法得到了廣泛的推廣和應用。時域法通過構(gòu)建具有一定結(jié)構(gòu)的L-K泛函,利用李雅普諾夫穩(wěn)定性第二方法,得出時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件。

20世紀70年代廣義系統(tǒng)的理論被提出。與正常系統(tǒng)相比較,廣義系統(tǒng)可以更準確地描述實際系統(tǒng),具有更廣泛的應用。連續(xù)廣義系統(tǒng)方程由微分方程和代數(shù)方程2部分組成,系統(tǒng)奇異矩陣的存在會使系統(tǒng)產(chǎn)生脈沖,由此可能造成系統(tǒng)瞬間崩潰,這是研究連續(xù)廣義系統(tǒng)穩(wěn)定性必須考慮的問題。對于連續(xù)廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究,首先要保證系統(tǒng)的正則性和無脈沖性,再考慮穩(wěn)定性。因此,相對于正常系統(tǒng),廣義系統(tǒng)的研究具有一定的復雜性和挑戰(zhàn)性,具有代表性的研究性成果見文獻[11-13]。

對于廣義時滯系統(tǒng),容許性分析是系統(tǒng)分析與控制的基礎(chǔ)。通常在時域范圍內(nèi),以李雅普諾夫穩(wěn)定性第二方法為理論基礎(chǔ),在系統(tǒng)是正則、無脈沖的前提下,再具有穩(wěn)定性,從而系統(tǒng)是容許的,通常以LMI的形式給出廣義時滯系統(tǒng)容許性條件[14-28]。一般地,廣義時滯系統(tǒng)的容許性分析都是以充分性條件形式給出。根據(jù)容許性條件是否依賴于時滯,又分為時滯依賴型和時滯獨立型容許性條件。對于時滯依賴型的容許性條件,系統(tǒng)所允許的時滯越大,條件的保守性就越小。

針對廣義時滯系統(tǒng),構(gòu)造適當形式的L-K泛函和合理處理L-K泛函求導后產(chǎn)生的某些積分項是有效減少廣義時滯系統(tǒng)容許性條件保守性的2個基本途徑。一方面,構(gòu)造L-K泛函時通常采用:雙重積分型[14-17,21-22]、三重積分型[15,20]、增廣型[14-15,21]以及松弛型[16]等形式。 另一方面,通常采用積分不等式來處理L-K泛函求導后而產(chǎn)生的某些積分項,將容許性條件寫成LMI形式,方便Matlab求解。積分不等式對積分項放縮的程度不同,得到的廣義時滯系統(tǒng)容許性條件的保守性也不相同。常采用的積分不等式有:Jensen積分不等式[1]、Wirtinger積分不等式[2]、輔助函數(shù)積分不等式[3]以及B-L積分不等式[4,9]。

本文在近年來廣義時滯系統(tǒng)容許性分析研究成果的基礎(chǔ)上,針對連續(xù)廣義時滯系統(tǒng),進行L-K泛函構(gòu)造、L-K泛函求導后積分項處理這2個方面成果進行分析、類比。歸納和總結(jié)了L-K泛函構(gòu)造方法和常用處理L-K泛函求導后某些積分項的積分不等式,以獲得保守性更小的連續(xù)廣義時滯系統(tǒng)的容許性條件。

1 L-K泛函構(gòu)造

1.1 問題描述

考慮如下連續(xù)廣義時滯系統(tǒng):

其中:x(t)∈n為系統(tǒng)狀態(tài)向量;n是定義在實數(shù)域上的n維向量空間;參數(shù)h>0表示定常時滯;φ(t)∈是連續(xù)的向量值初始函數(shù)。矩陣E∈n×n,且rank(E)=r≤n。A,Ad為已知適當維數(shù)的常數(shù)矩陣。

1.2 L-K泛函構(gòu)造形式

查閱文獻,一般L-K泛函構(gòu)造分為雙重積分型、三重積分型、增廣型和松弛型。形式如下:

1.2.1 雙重積分型L-K泛函

V3(t),V4(t)是雙重積分項,雙重積分型L-K泛函的優(yōu)點在于,與三重積分型L-K泛函和增廣型L-K泛函相比,求導時計算量較小,泛函求導后只產(chǎn)生一重積分項。例如,對V4(t)求導后得到

1.2.2 三重積分型L-K泛函

三重積分項V5(t),V6(t)分別在文獻[15]和文獻[20]提出。引入三重積分型L-K泛函可以增加系統(tǒng)的時滯信息和相應的矩陣變量,從而增加了容許性條件有解的可能性。對V5(t)求導得

1.2.3 增廣型L-K泛函

在構(gòu)造L-K泛函時,如果將構(gòu)成二次型的向量擴展增加維數(shù),就得到增廣型L-K泛函。文獻[14]在構(gòu)造L-K泛函時, 對狀態(tài)向量進行擴維, 得到增廣型L-K泛函V7(t)。對V7(t)關(guān)于t求導, 得到

增廣型L-K泛函是包含簡單型L-K泛函在內(nèi)的更一般的泛函,通過將二次型向量增維,增加矩陣變量,與泛函求導后的其他積分項相互抵消,可以有效減少結(jié)論保守性。但同時,也會增加計算的復雜性。

1.2.4 松弛型L-K泛函

針對連續(xù)廣義時滯系統(tǒng)(1),文獻[16]提出松弛型L-K泛函V10(t),V10(t)中矩陣S為對稱矩陣,而不一定要求是正定矩陣,這樣S取值有了更大的自由度,從而增加容許性條件中LMI有解的可能性,可以降低廣義時滯系統(tǒng)容許性條件的保守性。文獻[29-31]也提出松弛型L-K泛函。構(gòu)建L-K泛函時,某些對稱矩陣不需要正定性的要求,減小結(jié)論保守性。

2 L-K泛函求導后某些積分項的處理

L-K泛函構(gòu)造是研究連續(xù)廣義時滯系統(tǒng)(1)容許性條件的第一步,第二步要對構(gòu)建的L-K泛函求導。L-K泛函求導后所產(chǎn)生的某些積分項需要利用一些積分不等式進行處理,以LMI的形式給出連續(xù)廣義時滯系統(tǒng)容許性條件。

2.1 一重積分項處理

對于矩陣R∈n×n,R>0,參數(shù)b>a,向量函數(shù)n,

1) Jensen積分不等式[1]

2) Wirtinger積分不等式[2]

3) 輔助函數(shù)積分不等式[3]

4) Bessel-Legendre(簡稱B-L)積分不等式[4]

其中

2.2 雙重積分項處理

1) Jensen 雙重積分不等式[6]

2) Wirtinger雙重積分不等式[7]

3) 輔助函數(shù)雙重積分不等式[3]

4) B-L雙重積分不等式[4]

其中,

由R>0,同樣可以得出,這4個雙重積分不等式的保守性逐漸減小。

3 結(jié) 語

本文針對連續(xù)廣義時滯系統(tǒng),研究了L-K泛函的構(gòu)造形式和L-K泛函求導后某些積分項利用積分不等式的處理方法。一方面,對于連續(xù)廣義時滯系統(tǒng)容許性研究而言,目前L-K泛函構(gòu)造沒有統(tǒng)一形式,故L-K泛函的構(gòu)造形式一直是連續(xù)廣義時滯系統(tǒng)容許性研究的熱點。另一方面,L-K 泛函求導后對于某些積分項的處理也是減少廣義時滯系統(tǒng)容許性條件保守性的有效方法。為此,本文列舉了處理一重積分項和二重積分項的4種常見的積分不等式:Jensen積分不等式、Wirtinger積分不等式、輔助函數(shù)積分不等式及B-L積分不等式,它們的保守性依次遞減。