王仁泉

(江蘇省南通市天星湖中學(xué),江蘇 南通 226010)

數(shù)學(xué)是物理研究的工具和手段．物理學(xué)的一些研究方法有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想,所以學(xué)習(xí)物理的過(guò)程也能對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知進(jìn)行提高．在很多物理問(wèn)題中,往往是物理提供了一定的解題思路,更多的后續(xù)操作需要用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)完成,有時(shí)導(dǎo)致一道題目解不出最終結(jié)果或者解答起來(lái)比較繁瑣,根本原因是數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)方法運(yùn)用不當(dāng)．

根據(jù)國(guó)內(nèi)學(xué)者的研究,高中數(shù)學(xué)中主要有以下幾種思想:方程的思想,函數(shù)的思想,分類(lèi)與整合的思想,化歸與整合的思想,或然與必然的思想．本文將著眼于方程的思想在高中物理解題中的典型案例應(yīng)用,主要針對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式,或者是研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí),對(duì)于研究對(duì)象進(jìn)行受力分析、運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析后,運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)定律、能量觀點(diǎn)、動(dòng)量觀點(diǎn)分析列出表達(dá)式,如果有兩個(gè)未知量,就列出與之相關(guān)的兩個(gè)方程,聯(lián)立方程組,求解未知數(shù),也就是應(yīng)用最簡(jiǎn)單二元一次方程組或二元二次方程組的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)應(yīng)用題的物理情境分析．

其中,帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,一般會(huì)涉及到一個(gè)最基本的圖形:圓．有些涉及圓弧的問(wèn)題具有一定的難度,常規(guī)處理起來(lái)會(huì)有較大困難,甚至難以入手.

例1.如圖1所示,在第二象限和第四象限的正方形區(qū)域內(nèi)分別存在著兩勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B,方向相反,且都垂直于xOy平面．一電子由P(-d,d)點(diǎn),沿x軸正方向射入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ．(電子質(zhì)量為m,電荷量為e,sin53°=4/5)

圖1

(1) 求電子能從第三象限射出的入射速度的范圍;

(2) 若電子從(0,d/2)位置射出,求電子在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t;

(3) 求第(2)問(wèn)中電子離開(kāi)磁場(chǎng)Ⅱ時(shí)的位置坐標(biāo)．

入射速度的范圍為

(2) 設(shè)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R,如圖3所示,得

圖2

圖3

圖4

圖5

通過(guò)上面的解答,我們不難發(fā)現(xiàn),對(duì)于(3)中縱坐標(biāo)的求取難度比較大,對(duì)畫(huà)輔助線(xiàn)的要求比較高,且此情形不是常見(jiàn)問(wèn)題中關(guān)于弓形高的求取,而是必須利用作差法才能解答,能夠?qū)⑺休o助線(xiàn)畫(huà)出來(lái)就已經(jīng)不容易,還會(huì)遇到△O2MN不是常見(jiàn)三角形的三角形,需要用勾股定理來(lái)解答,尤其很復(fù)雜的數(shù)字必定會(huì)給考生的解答帶來(lái)副作用,這么多的障礙疊在一起,甚至?xí)尶忌a(chǎn)生畏懼心理,不敢繼續(xù)解答下去．

如果我們換一種思維,離開(kāi)磁場(chǎng)Ⅱ時(shí)位置的縱坐標(biāo)可以理解為軌道圓與直線(xiàn)x=d的交點(diǎn)坐標(biāo),就可以避免利用差值來(lái)求取,不僅可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,還可以因?yàn)檫\(yùn)算方便,讓學(xué)生即使看到繁雜數(shù)字也不至于對(duì)解答過(guò)程過(guò)分害怕．

圖6

例2.如圖6所示,AB為固定斜面,傾角為30°,可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從A點(diǎn)以初速度v0水平拋出,求從拋出開(kāi)始,經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間小球與斜面間的距離最大,最大距離為多少?

圖7

圖8

常規(guī)解法2:如圖8所示,把初速度v0,重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的兩個(gè)分量,在垂直斜面方向上,小球做的是以v0y為初速度、gy為加速度的“豎直上拋”運(yùn)動(dòng)．

小球到達(dá)離斜面最遠(yuǎn)處時(shí),速度vy=0,

由vy=v0y-gyt可得

小球離斜面的最大距離

顯然,上述兩種解法過(guò)程都比較復(fù)雜,思維量也比較大,要想正確解答并非易事．但是如果能夠與數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái),將距離理解為 “點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離”就比較簡(jiǎn)單了．

圖9

可見(jiàn),這個(gè)解法無(wú)需轉(zhuǎn)彎抹角,對(duì)學(xué)生來(lái)講非常的直接,而且也是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)題型,也更容易被學(xué)生所接受．

在上面例題的啟發(fā)下,筆者設(shè)計(jì)了關(guān)于拋物線(xiàn)方程與磁場(chǎng)結(jié)合的一種題型．

圖10

如圖10所示,虛線(xiàn)與x軸負(fù)方向夾角為45°(根據(jù)具體數(shù)據(jù)可以是其他角度),橫截距為l,以虛線(xiàn)為界,左下方為豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng),右上方為垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),不計(jì)重力的帶正電的粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿x軸正方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng),求到達(dá)界線(xiàn)位置的坐標(biāo).

圖11

進(jìn)一步拓展開(kāi)來(lái),如果磁場(chǎng)右側(cè)也有直線(xiàn)邊界(不一定垂直于x軸),利用軌道圓方程和界線(xiàn)方程,亦可求出離開(kāi)磁場(chǎng)的位置.這樣一來(lái),那就是一道可以多次利用數(shù)理結(jié)合來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算的綜合性題目了．

學(xué)習(xí)遷移一般指一種學(xué)習(xí)中習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)其他學(xué)習(xí)的影響．學(xué)習(xí)遷移并不是自動(dòng)發(fā)生的,它要受某些條件的限制,其中最主要的影響因素有學(xué)習(xí)對(duì)象的共同因素、原有經(jīng)驗(yàn)的概括水平、遷移的認(rèn)知技能水平．

奧蘇伯爾將這些因素表述如下.

(1) 學(xué)習(xí)對(duì)象的共同因素．遷移都要通過(guò)新舊學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析進(jìn)而概括出其共同的經(jīng)驗(yàn)成分才能實(shí)現(xiàn)．因此,在進(jìn)行遷移時(shí),學(xué)習(xí)對(duì)象在客觀上要有共同因素．就本文涉及的案例而言,其中都蘊(yùn)含著學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)模型,從而為學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生提供了必要基礎(chǔ)．

(2) 原有經(jīng)驗(yàn)的概括水平．這里的遷移不是相同經(jīng)驗(yàn)的遷移,而是概念原理的遷移,尤其是指下位學(xué)習(xí)的遷移．心理學(xué)的研究和實(shí)驗(yàn)表明,經(jīng)驗(yàn)的概括水平越高,遷移的可能性就越大,效果也就越好．就本文而言,教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)具體案例,發(fā)現(xiàn)其背后都是利用解析幾何解決問(wèn)題的思想．只有掌握其中本質(zhì)的規(guī)律,才能促進(jìn)學(xué)生發(fā)生廣泛的遷移,做到以不變應(yīng)萬(wàn)變．

在當(dāng)前全民重視數(shù)學(xué)的背景下,尋找更多物理的解答與數(shù)學(xué)方法有效結(jié)合點(diǎn),讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到學(xué)以致用的樂(lè)趣,也就不再感覺(jué)到數(shù)學(xué)的枯燥和物理的繁雜,從而可以更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理的興趣．在處理某些物理問(wèn)題中,如果能夠巧妙地跟數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái),會(huì)使問(wèn)題的解答得以簡(jiǎn)化．當(dāng)然,并不是所有的問(wèn)題都必須借助方程關(guān)系來(lái)解答,而應(yīng)該是根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行方法選擇．正如莫爾斯所說(shuō):“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué),物理是物理,但物理可以通過(guò)數(shù)學(xué)的抽象而受益,而數(shù)學(xué)則可通過(guò)物理的見(jiàn)識(shí)而受益．”