胡君亮 陳 怡

(浙江省永康市第二中學(xué),浙江 永康 321300)

浙江省2019年4月份高考物理試卷中,設(shè)計(jì)了一道以傳輸帶運(yùn)輸沙粒為情景的試題．

原題.某砂場(chǎng)為提高運(yùn)輸效率,研究沙粒下滑的高度與砂粒在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的關(guān)系,建立如圖1所示的物理模型．豎直平面內(nèi)有一傾角θ=37°的直軌道AB,其下方右側(cè)放置一水平傳送帶,直軌道末端B與傳送帶間距可近似為0,但允許砂粒通過(guò)．轉(zhuǎn)輪半徑R=0.4 m、轉(zhuǎn)軸間距L=2 m的傳送帶以恒定的線速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)輪最低點(diǎn)離地面的高度H=2.2 m．現(xiàn)將一小物塊放在距離傳送帶高h(yuǎn)處?kù)o止釋放,假設(shè)小物塊從直軌道B端運(yùn)動(dòng)到達(dá)傳送帶上C點(diǎn)時(shí),速度大小不變,方向變?yōu)樗较蛴遥阎∥飰K與直軌道和傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5．

圖1 傳輸帶模型

(1) 若h=2.1 m,求小物塊到達(dá)B端時(shí)速度的大小;

(2) 若小物塊落到傳送帶左側(cè)地面,求h需要滿足的條件;

(3) 改變小物塊釋放的高度h,小物塊從傳送帶的D點(diǎn)水平向右拋出,求小物塊落地點(diǎn)到D點(diǎn)的水平距離x與h的關(guān)系式及h需要滿足的條件．

其中,第二小題提供的參考答案如下.

沙粒要從傳輸帶的左側(cè)離開,則沙粒運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)速度為0．設(shè)沙粒從直軌道開始運(yùn)動(dòng)的高度為h,根據(jù)動(dòng)能定理,有

代入數(shù)據(jù)解得h=3.0 m,則起始高度應(yīng)小于3 m．

問(wèn)題是:沙粒運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度不為0,沿著皮帶再往下滑,到一定角度才減速為0,接著再在摩擦力的作用下運(yùn)動(dòng)上來(lái),這樣的情景可能發(fā)生嗎?如果可以發(fā)生,那么參考答案是錯(cuò)誤的,答案應(yīng)該大于3 m．

為此,我們進(jìn)行了一些研究．

1 實(shí)驗(yàn)探究

取一段直徑略大于自行車輪胎的塑料管,鋸開一個(gè)口子,讓塑料管能套在自行車的輪子上,可以滑動(dòng)．

如圖2所示，把自行車輪子朝上,轉(zhuǎn)到腳踏板,輪子逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．塑料管用細(xì)線拉著,把塑料管慢慢的從下往上拉．當(dāng)拉到某一位置時(shí),可以看到細(xì)線松弛．說(shuō)明此時(shí)重力、支持力和摩擦力達(dá)到平衡．再往上拉一點(diǎn)點(diǎn),塑料管就被自行車輪子帶上來(lái)了．

圖2 塑料管平衡位置

如圖3所示，去掉細(xì)線,自行車輪子依舊逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．手指在輪子的最高點(diǎn),擋住塑料管．給塑料管一個(gè)向右的速度,塑料管沿著輪子往下滑動(dòng),減速為0后有被輪子帶動(dòng)上來(lái)．稍微增大推動(dòng)塑料管的初速度,塑料管還是能上來(lái)．再增大初速度,直至塑料管滑下后不再上來(lái)．

以上實(shí)驗(yàn)表明,試題中沙粒運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度可以不為0．

圖3 塑料管最低點(diǎn)位置

2 初步研究

圖4 受力分析圖

沙粒從D到B做減速運(yùn)動(dòng),其逆過(guò)程是從B到D的加速過(guò)程．先不考慮由于圓周運(yùn)動(dòng)速度產(chǎn)生的向心力導(dǎo)致皮帶輪對(duì)沙粒彈力的影響,有Ff=μFN=μmgsinθ,以此來(lái)估算沙粒到達(dá)D點(diǎn)的速度大?。?/p>

根據(jù)動(dòng)能定律,有

得到

由于是圓周運(yùn)動(dòng),沙粒受到的彈力比上述假設(shè)的小,摩擦力也小,摩擦力做功也小,因此這樣解得的速度是偏大的．

3 定量研究

沙粒沿傳輸帶圓弧往上滑動(dòng)是一個(gè)變加速運(yùn)動(dòng),根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律,其切線方向的加速度為

在法線方向,根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)有

聯(lián)立兩式得

而

這樣可以得到

這個(gè)問(wèn)題難就難在沙粒的速度v是個(gè)角度θ的函數(shù),導(dǎo)致摩擦力既與角度有關(guān),又與速度有關(guān),必須用微分方程求解．

沙粒圓周運(yùn)動(dòng)的彈力FN滿足圓周運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)動(dòng)能定理可得,在角度為θ的時(shí)候,有

把FN=mg(sinθ-Θ)代入得

兩邊消去mgR得

部分積分得

對(duì)θ取微分,有

這是一階線性微分方程,它的特解為

其中C為常數(shù)．

當(dāng)θ=θ0時(shí),v=0,也就是Θ(θ)=0．即

沙粒的速度

4 正確答案

設(shè)沙粒從直軌道開始運(yùn)動(dòng)的高度為h,從A到D的過(guò)程,根據(jù)動(dòng)能定理,有

代入數(shù)據(jù)解得h=3.12 m,則起始高度應(yīng)小于3.12 m．

很顯然,這樣的結(jié)果不是學(xué)生在考試時(shí)能夠求解的．許多優(yōu)秀學(xué)生只能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,但無(wú)法得到正確的答案,白白浪費(fèi)了考試時(shí)間,影響考試情緒,這是命題者的失誤．