王小南

【摘要】迭代方法是現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)的基本方法，迭代是重復(fù)反饋過(guò)程的活動(dòng)，其目的通常是為了逼近所需目標(biāo)或結(jié)果.借助用“牛頓切線(xiàn)法”和“二分法”求一元二次方程解的問(wèn)題，考查理解運(yùn)算對(duì)象、把握運(yùn)算規(guī)律、表達(dá)運(yùn)算結(jié)果、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序等一系列數(shù)學(xué)運(yùn)算的思維活動(dòng).

【關(guān)鍵詞】迭代;牛頓切線(xiàn)法;二分法

1.牛頓迭代法：設(shè)r是f（x）=0的根，選取x0作為r的初始近似值.過(guò)點(diǎn)（x0，f（x0））作曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)L，直線(xiàn)L的方程為y=f（x0）+f（x0）（x-x0），求出切線(xiàn)L與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=x0-f（x0）f（x0）稱(chēng)x1為r的一次近似值.過(guò)點(diǎn)（x1，f（x1））作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，并求出這條切線(xiàn)與x軸的焦點(diǎn)坐標(biāo)x2=x1-f（x1）f（x1）稱(chēng)x2為r的二次近似值.重復(fù)以上過(guò)程，得到r的近似值序列，其中x（n+1）=xn-f（xn）f（xn）稱(chēng)為r的n+1次近似值，上式稱(chēng)為牛頓迭代公式.

2.二分法：一般地，對(duì)函數(shù)f（x），如果存在實(shí)數(shù)c，當(dāng) x=c的時(shí)候，此時(shí)f（x）=0，那么就把x=c叫作函數(shù)f（x）的零點(diǎn).解方程即要求f（x）的所有零點(diǎn).假定f（x）在區(qū)間（x，y）上連續(xù)，先找到a，b屬于區(qū)間（x，y），使f（a），f（b）異號(hào)，說(shuō)明在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點(diǎn)存在，然后再求fa+b2，現(xiàn)在假設(shè)f（a）<0，f（b）>0，aa），從此開(kāi)始繼續(xù)使用中點(diǎn)函數(shù)值判斷;如果fa+b2>0，則在區(qū)間a，a+b2內(nèi)有零點(diǎn)，（注：a+b2

迭代法解方程的實(shí)質(zhì)是按照下列步驟構(gòu)造一個(gè)序列x0，x1，…，xn，來(lái)逐步逼近方程f（x）=0的解：

（1）選取適當(dāng)?shù)某踔祒0;

（2）確定迭代格式，即建立迭代關(guān)系，需要將方程f（x）=0改寫(xiě)為x=φ（x）的等價(jià)形式;

構(gòu)造序列x0，x1，…，xn，即先求得x1=φ（x0），再求x2=φ（x1），…，如此反復(fù)迭代，就得到一個(gè)數(shù)列x0，x1，…，xn，若這個(gè)數(shù)列收斂，即存在極限，且函數(shù)φ（x）連續(xù)，則很容易得到這個(gè)極限值x*=limk→∞xk，x*就是方程f（x）=0的根.

牛頓迭代法：牛頓迭代法又稱(chēng)為切線(xiàn)法，它比一般的迭代法有更高的收斂度，牛頓迭代法公式可化簡(jiǎn)為：xn+1=xn-f（xn）f′（xn）.

二分法：用二分法求解方程f（x）=0的根的前提條件是：f（x）在求解的區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，且已知f（a）與f（b）異號(hào)，即f（a）·f（b）<0.

【例】研究一元二次方程x2+x-1=0的求解問(wèn)題，這是經(jīng)典的求黃金分割的方程式.令f（x）=x2+x-1.可以對(duì)其持續(xù)實(shí)施“牛頓切線(xiàn)法”的步驟：

在點(diǎn)（1，1）處作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)交x軸于（x1，0）;

在點(diǎn)（x1，f（x1））處作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，交x軸于（x2，0）;

在點(diǎn)（x2，f（x2））處作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，交x軸于（x3，0）

……

得到一個(gè)數(shù)列{xn}.回答下列問(wèn)題：

（1）求x1的值;

（2）設(shè)xn+1=g（xn），求g（x）的解析式;

（3）用“二分法”求方程的近似解，給出前四步結(jié)果.比較“牛頓切線(xiàn)法”和“二分法”的求解速度.

解 （1）求出拋物線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）處切線(xiàn)方程y-1=f′（1）（x-1），得到y(tǒng)=3x-2.只需令y=0，即可以求得x1=23.

（2）求出拋物線(xiàn)在點(diǎn)（xn，f（xn））處的切線(xiàn)方程y=（2xn+1）（x-xn）+（x2n+xn-1）.然后令y=0，自然得到xn+1=x2n+12xn+1，進(jìn)而g（xn）=x2n+12xn+1.

（3）用求根公式可以得到一元二次方程的正根為5-12，近似解為0.618，就是著名的黃金分割數(shù).用“二分法”求方程近似解的前四步為：

因?yàn)閒（0）=-1，f（1）=1，所以f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);

因?yàn)閒（0.5）=-0.25，所以f（x）在區(qū)間（0.5，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);

因?yàn)閒（0.75）=0.3125，所以f（x）在區(qū)間（0.5，0.75）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);

因?yàn)閒（0.625）=0.015625，所以f（x）在區(qū)間（0.5，0625）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

不難看出，用“二分法”計(jì)算前四步得到近似解為0625.同樣從x=1出發(fā)，用“牛頓切線(xiàn)法”可求得第二步和第三步的近似解分別為x2≈0.619，x3≈0.618，比較“牛頓切線(xiàn)法”與“二分法”前幾步的結(jié)果，可以看到“牛頓切線(xiàn)法”比“二分法”快得多.

【參考文獻(xiàn)】

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