鄭言

【摘要】討論和比較了兩種一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法，并輔以實(shí)例重點(diǎn)介紹了其中的“直接法”.教學(xué)實(shí)踐表明，這種方法可以顯著地突出教學(xué)重點(diǎn)，提升教學(xué)效率.

【關(guān)鍵詞】概率論;函數(shù)的分布;一維隨機(jī)變量;連續(xù)型隨機(jī)變量;教學(xué)方法

一、引 言

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過(guò)程中，一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布是一個(gè)重要的教學(xué)難點(diǎn)，這部分內(nèi)容既需要學(xué)生融會(huì)貫通分布函數(shù)和密度函數(shù)的求法，也為他們將來(lái)學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布打下必要的基礎(chǔ).我們通過(guò)總結(jié)多年的課堂教學(xué)，認(rèn)識(shí)到如果在教學(xué)過(guò)程中貫穿一個(gè)清晰的求解思路，是指導(dǎo)學(xué)生盡快掌握解題技巧的關(guān)鍵.遺憾的是，很多教材在這部分內(nèi)容的撰寫(xiě)上，并沒(méi)有體現(xiàn)一個(gè)統(tǒng)一的思路，所列出的幾個(gè)例題往往會(huì)穿插使用不同的解題方法予以解決，而不同的方法之間既沒(méi)有很好地比較也沒(méi)有總結(jié).導(dǎo)致學(xué)生在初學(xué)書(shū)本的時(shí)候感覺(jué)無(wú)所適從，沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)的教師也會(huì)抓不到教學(xué)的重點(diǎn)，甚至?xí)ūP(pán)“灌輸”給學(xué)生.基于此，本文將討論和比較其中的兩種主要方法，并將“直接法”配以實(shí)例予以重點(diǎn)介紹.

二、方 法

問(wèn)題的一般形式：設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f（x），給定某個(gè)函數(shù)g（x）使得Y=g（X）為連續(xù)型隨機(jī)變量，那么如何求Y的概率密度？

對(duì)此類問(wèn)題，很多書(shū)上都會(huì)介紹兩個(gè)定理，并輔以例題“套公式”訓(xùn)練，茲列舉如下：

定理1 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f（x），而y=g（x）嚴(yán)格單調(diào)有反函數(shù)，且反函數(shù)x=g-1（y）h（y）有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則Y=g（X）是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為

fY（y）=f[h（y）]|h′（y）|，h（y）有意義，0，h（y）無(wú)意義.

定理2 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f（x），而y=g（x）在互不相交的區(qū)間I1，I2，…上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)分別為h1（y），h2（y），…，而且h′1（y），h′2（y），…均為連續(xù)函數(shù)，則Y=g（X）是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為

fY（y）=∑if[hi（y）]|h′i（y）|.

這兩個(gè)定理雖然一目了然，但是實(shí)際上難學(xué)難記且難用.難記就不必說(shuō)了，難學(xué)體現(xiàn)在這兩個(gè)定理的證明過(guò)程對(duì)初學(xué)者頗有難度，一般在課堂上至多只能講授定理1而放過(guò)定理2，難用是最讓人頭疼的，對(duì)定理1要小心地確定fY（y）的分段定義區(qū)間，對(duì)定理2要小心地合并不同的f[hi（y）]|h′i（y）|項(xiàng)，稍有遺漏就會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò).

其實(shí)，在筆者看來(lái)，除非是面對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，否則這兩個(gè)定理沒(méi)有深入學(xué)習(xí)的必要，或者說(shuō)，理工類的一般學(xué)生對(duì)此只是泛泛了解即可.因?yàn)槲覀冇懈?jiǎn)單實(shí)用的方法——“直接法”.此方法分為三步：

1.利用分布函數(shù)的定義，將FY（y）P（Y≤y）用X的分布函數(shù)F（x）表示;

2.兩邊求導(dǎo)，將Y的密度函數(shù)fY（y）用f（x）表示;

3.代入f（x）.

這個(gè)解題程序也適用于證明定理1和定理2.在實(shí)際的求解過(guò)程中，直接法最好輔以一種簡(jiǎn)單的解題技巧——“移花接木”，即應(yīng)用以下的簡(jiǎn)單事實(shí)：

引理 設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）為概率空間，A，B∈F.如果P（A）=1，則P（B）=P（A∩B）.

下面，我們以一道典型題目為例介紹直接法的具體實(shí)施過(guò)程.

問(wèn)題 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f（x）=2xπ2，0

因?yàn)間（x）=sinx，所以這道題目可以用定理2來(lái)求解.但是由于f（x）是一個(gè)間斷函數(shù)，而sinx又是一個(gè)周期函數(shù)，所以f[hi（y）]|h′i（y）|項(xiàng)并不易求，容易漏求或者多求，導(dǎo)致最終歸并得到的fY（y）有誤.相比之下，直接法顯得既簡(jiǎn)單又有條理.

解 第一步，F(xiàn)Y（y）P（Y≤y）=P（sinX≤y），則

FY（y）=0，y≤0，1，y≥1.

因此，只需考慮0

FY（y）=P（sinX≤y）=P（sinX≤y，0

=P（0

=F（arcsiny）-F（0）+F（π）-F（π-arcsiny）.

至此，第一步完成，我們轉(zhuǎn)入第二步，兩邊求導(dǎo)得

fY（y）=f（arcsiny）11-y2+f（π-arcsiny）11-y2.

最后一步是代入f（x）.這里需要注意的是，如果f（x）是定義在整個(gè)數(shù)軸上，那么將其表達(dá)式直接代入即可;如果f（x）是分段定義的，我們需要考慮此時(shí)f（·）內(nèi)的式子的容許范圍，以確定y的有效定義域.對(duì)本題目，由于0

fY（y）=2arcsinyπ211-y2+2（π-arcsiny）π211-y2=2π1-y2.

總結(jié)以上結(jié)果，我們有

fY（y）=2π1-y2，0

三、結(jié)束語(yǔ)

如果將上面的分析過(guò)程略去，此題的解算過(guò)程將十分簡(jiǎn)潔.感興趣的讀者也可以將此題用其他方法計(jì)算并比較，可以看出直接法具備好學(xué)又好用的特點(diǎn).在最近幾年的教學(xué)實(shí)踐中，我們的處理方式是重點(diǎn)講授直接法，而對(duì)圍繞定理1和定理2的套公式方法一帶而過(guò)，其他方法不予介紹.事實(shí)證明，學(xué)生在明確了教學(xué)重點(diǎn)后，教學(xué)效率有了顯著的提升.而且結(jié)合“移花接木”技巧的直接法，既對(duì)所有的類型題目游刃有余，也與后續(xù)學(xué)習(xí)形成了很好的關(guān)聯(lián).本文旨在推廣這一方法，也希望廣大師生積極探討并完善一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的教學(xué)方法.

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