浙江省寧波市奉化區(qū)溪口中學(xué) (315501) 金 杰
在一些函數(shù)問(wèn)題中,雖然給出了函數(shù)表達(dá)式,但由于表達(dá)式比較復(fù)雜,不能直接通過(guò)函數(shù)式的代入解決問(wèn)題,而需要對(duì)函數(shù)式進(jìn)行代數(shù)變形,挖掘出函數(shù)的性質(zhì),再運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來(lái)解題,本文舉例介紹幾個(gè)常見(jiàn)模式,供讀者朋友參考.
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)解函數(shù)不等式問(wèn)題,由于給出的函數(shù)表達(dá)式比較復(fù)雜,所以通過(guò)直接表示出f(x+a)和f(2a-x)后解不等式是不可能實(shí)現(xiàn)的,找到函數(shù)的單調(diào)性才是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
(i)當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示,從而,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,故由a>0?x+a>x?f(x+a)>f(x),故不符合題意.
圖1 圖2
點(diǎn)評(píng):本題通過(guò)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分段討論,化解了問(wèn)題的難點(diǎn),同時(shí)也顯示此時(shí)有針對(duì)性的畫圖更能清晰地反映函數(shù)的性質(zhì),找到問(wèn)題的實(shí)質(zhì).
點(diǎn)評(píng):本題的解決是從探求給出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性入手,將一個(gè)隱含關(guān)系變成一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式,避免了分類討論和復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.
點(diǎn)評(píng):通過(guò)對(duì)已給的函數(shù)化簡(jiǎn)分析,再構(gòu)造了一個(gè)奇函數(shù),這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可利用奇函數(shù)性質(zhì)解決的問(wèn)題.由于最值是相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題,具體問(wèn)題具體分析,抓住特點(diǎn),順勢(shì)而為.
解析:考察所給的分段函數(shù),當(dāng)x>0時(shí)是一個(gè)周期函數(shù),由于方程f(x)=x+a有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,分別畫出函數(shù)y=f(x)和y=x+a如圖3,可看出實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,4).
圖3
點(diǎn)評(píng):利用函數(shù)圖象可直觀地得到一些參數(shù)范圍問(wèn)題,但對(duì)畫函數(shù)圖象的要求比較高,特別需弄清楚函數(shù)的性質(zhì)及基本走向、經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn)及循環(huán)往復(fù)的周期情況等.
例6 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)一個(gè)周期圖像的最高點(diǎn)是(2,2),與它相鄰的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)的值.
點(diǎn)評(píng):欲求一些函數(shù)式若干項(xiàng)的和的問(wèn)題,找出其式子規(guī)律性(如周期性)是非常重要的思維走向,解題時(shí)有如此的意識(shí)就能抓住機(jī)會(huì),機(jī)智破題.
解析:由于y=f(x)+f(2-x)是關(guān)于x=1對(duì)稱,所以只要了解函數(shù)在[1,+∞)上的變化情況就能解決問(wèn)題.由于f(x)+f(2-x)=
圖4
點(diǎn)評(píng):通過(guò)利用函數(shù)的對(duì)稱性,求出函數(shù)解析式并畫出函數(shù)圖像,再由數(shù)形結(jié)合分析題意,轉(zhuǎn)化求解,就使問(wèn)題獲得了圓滿的解決,此處分段去絕對(duì)值符號(hào)很重要.
點(diǎn)評(píng):由于x與2a-x關(guān)于x=a對(duì)稱,所以f(x)與f(2a-x)在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),抓住這個(gè)特殊條件將兩個(gè)函數(shù)式配湊在一起是一個(gè)很好的選擇.