楊超 陳澍

1) (中國(guó)科學(xué)院物理研究所,北京凝聚態(tài)物理國(guó)家研究中心,北京 100190)

2) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué),物理科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

3) (長(zhǎng)三角物理研究中心,溧陽(yáng) 213300)

本文主要介紹了近期關(guān)于一維拓?fù)淠軒到y(tǒng)中淬火動(dòng)力學(xué)的研究.從兩能帶模型入手介紹了動(dòng)力學(xué)陳數(shù),并給出它與初末態(tài)拓?fù)洳蛔兞恐g的關(guān)系.進(jìn)而通過(guò)將一維含時(shí)波函數(shù)看作為1+1維母哈密頓量的基態(tài),給出了Altland-Zirnbauer分類對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)浞诸?并簡(jiǎn)要介紹了動(dòng)力學(xué)的體邊對(duì)應(yīng)以及空間無(wú)序和能帶色散對(duì)糾纏譜交叉的影響.最后還介紹了利用超導(dǎo)量子比特模擬觀測(cè)到動(dòng)力學(xué)陳數(shù).

1 引 言

1980年整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)開(kāi)啟了拓?fù)淞孔游飸B(tài)研究的大門(mén)[1,2].不同于傳統(tǒng)的量子物態(tài),拓?fù)湮飸B(tài)不存在局域的序參量,而是由波函數(shù)的幾何或拓?fù)湫再|(zhì)決定,且可以用拓?fù)洳蛔兞縼?lái)描述.在有能隙的系統(tǒng)中,人們對(duì)于拓?fù)淠軒到y(tǒng)的分類和性質(zhì)的研究已經(jīng)有了系統(tǒng)的方法和深刻的認(rèn)識(shí)[3,4,5].然而目前關(guān)于拓?fù)湮飸B(tài)的研究大都集中在研究系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)的性質(zhì),對(duì)于遠(yuǎn)離平衡態(tài)過(guò)程的拓?fù)湫再|(zhì)的認(rèn)識(shí)還非常不足.近年來(lái),由于冷原子技術(shù)的迅速發(fā)展,已經(jīng)能夠模擬許多重要的拓?fù)淠Ｐ?如一維Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型[6-11],這為進(jìn)一步探索它們的非平衡性質(zhì)提供了有力的工具.

一類典型的遠(yuǎn)離平衡態(tài)的過(guò)程就是淬火動(dòng)力學(xué).在 t ≤ 0 時(shí) 系統(tǒng)的波函數(shù) | Ψi〉 處 于哈密頓量Hi的基態(tài),在 t=0 時(shí)刻突然改變哈密頓量的某些參數(shù),即淬火,這樣初態(tài)波函數(shù)按照新哈密頓量 Hf做幺正演化.這里有兩點(diǎn)需要特別指出: 首先,淬火過(guò)程分為局域的淬火和全局的淬火,對(duì)局域的淬火,系統(tǒng)參數(shù)的改變局限在有限的尺度內(nèi),而對(duì)全局的淬火,哈密頓量的參數(shù)在整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)都發(fā)生了改變,本文中僅研究全局淬火;其次,淬火前后哈密頓量的性質(zhì)原則上沒(méi)有任何約束,作為一種最簡(jiǎn)單的特例,我們要求初末態(tài)哈密頓量具有相同的對(duì)稱性.在這些限制下,我們關(guān)心在波函數(shù) | Ψ (t)〉 中是否有拓?fù)湫再|(zhì)的體現(xiàn).

對(duì)波函數(shù) | Ψ (t)〉 拓?fù)湫再|(zhì)的研究仍然有三種不同的方法.第一種直觀的思路是研究在每一個(gè)固定時(shí)刻t波函數(shù)本身的拓?fù)湫再|(zhì).這也是到目前為止最常用的方法.例如,在陳絕緣體中,系統(tǒng)的陳數(shù)在淬火后會(huì)保持不變,這也被稱為NO-GO定理[12,13].從一個(gè)平庸的態(tài)出發(fā),可以制備出的量子態(tài)能多接近于拓?fù)浞瞧接沟膽B(tài)[14,15].最近Cooper等還證明了在淬火動(dòng)力學(xué)過(guò)程中只有幺正對(duì)稱性會(huì)被保持,反幺正的對(duì)稱性會(huì)在含時(shí)演化中被破壞,這被稱作動(dòng)力學(xué)誘導(dǎo)的對(duì)稱性破缺[16].進(jìn)一步,當(dāng)只考慮幺正對(duì)稱性時(shí),我們可以研究系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)刻t的拓?fù)湫再|(zhì)并可以給出拓?fù)浞诸怺16,17].第二種方法是將時(shí)間和空間放在一起研究 (D+1) 維波函數(shù)的拓?fù)湫再|(zhì).在研究二維陳絕緣體中的淬火動(dòng)力學(xué)時(shí),翟薈研究組首先注意到這個(gè)動(dòng)力學(xué)過(guò)程可以看作(kx,ky,t)到Bloch球上的映射,它可以由Hopf不變量或連環(huán)數(shù)描述,并且若初態(tài)為拓?fù)淦接箲B(tài),Hopf不變量就等于演化哈密頓量 Hf的陳數(shù)[18,19],緊接著Weitenberg等通過(guò)在實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到了動(dòng)力學(xué)渦旋與靜態(tài)渦旋的連環(huán)數(shù)[20].我們研究組系統(tǒng)地研究了一維拓?fù)湎到y(tǒng)的淬火動(dòng)力學(xué),定義了動(dòng)力學(xué)陳數(shù),并指出動(dòng)力學(xué)陳數(shù)與初末態(tài)哈密頓量拓?fù)洳蛔兞恐g的關(guān)系[21],隨后同實(shí)驗(yàn)組合作在超導(dǎo)量子比特模擬實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到了動(dòng)力學(xué)陳數(shù)和動(dòng)力學(xué)量子相變的特征[22].另外,Ueda研究組利用K理論也給出了 (1+1) 維系統(tǒng)的拓?fù)浞诸惡蛣?dòng)力學(xué)實(shí)現(xiàn).并且指出當(dāng)初態(tài)為拓?fù)淦接箲B(tài)時(shí),這個(gè)動(dòng)力學(xué)拓?fù)洳蛔兞恳馕吨m纏譜的演化在某些時(shí)刻會(huì)有交叉,這可以看作動(dòng)力學(xué)的體邊對(duì)應(yīng)[23].第三種方法是研究布里淵區(qū)中的能帶反轉(zhuǎn)面(BIS),通常它為 (D-1) 維,劉雄軍研究組注意到初態(tài)為拓?fù)淦接箲B(tài)時(shí),演化哈密頓量 Hf的拓?fù)湫再|(zhì)由在能帶反轉(zhuǎn)面上定義的纏繞數(shù)得到[24-26],并在冷原子實(shí)驗(yàn)中被觀測(cè)到[27].

這三種方法從不同的角度給出了初態(tài)波函數(shù)|Ψi〉在含時(shí)演化時(shí)的性質(zhì),盡管它們之間存在一些關(guān)聯(lián),但它們并不等價(jià).另外需要指出,在研究系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)時(shí)需要要求哈密頓量是局域的,但在時(shí)間演化過(guò)程中,系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)不斷傳播,等效哈密頓量將不再局域,因此我們要求時(shí)間尺度小于 L/vLR,其中 vLR是 Lieb-Robinson 速度[28,29].在這篇綜述中,我們主要利用第二種方法討論 (1+1) 維系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì).

本文首先從兩能帶模型入手,介紹淬火動(dòng)力學(xué)過(guò)程中動(dòng)量時(shí)間流形的結(jié)構(gòu),定義了動(dòng)力學(xué)陳數(shù),并指出動(dòng)力學(xué)陳數(shù)與初末態(tài)拓?fù)鋽?shù)之間的關(guān)系.接著給出更普遍情況下(1+1)維系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)浞诸惡腕w邊對(duì)應(yīng),即糾纏譜演化過(guò)程中出現(xiàn)的交叉,接著簡(jiǎn)要分析糾纏譜交叉受空間無(wú)序和能帶色散的影響.最后介紹利用單量子比特模擬淬火動(dòng)力過(guò)程,直觀看到動(dòng)力學(xué)陳數(shù)的幾何意義.

2 一維二能帶系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)拓?fù)洳蛔兞?/h2>

我們首先以一維二能帶系統(tǒng)為例,討論它的動(dòng)力學(xué)拓?fù)洳蛔兞?動(dòng)量空間中的哈密頓量可寫(xiě)為

其中泡利矩陣 σ 作用在 (贗) 自旋 1/2 的空間,其本征值為 E±(k)=d0(k)±|d(k)|,對(duì)應(yīng)的本征態(tài)記為|ψ±(k)〉,因此密度矩陣可表示為

如果將t時(shí)刻的密度矩陣寫(xiě)為

對(duì)于平帶化的哈密頓量,不同的動(dòng)量模式具有相同的周期 π/|df|,動(dòng)量時(shí)間流形為 T2=S1×S1,如圖1(a)所示.更進(jìn)一步,如果動(dòng)量空間中存在一些不動(dòng)點(diǎn)滿足di(kc)和df(kc)共線,對(duì)于這些kc,Bloch矢量除了一個(gè)整體的相位將不會(huì)演化,因此將這些kc稱為不動(dòng)點(diǎn).如圖1(b)所示的k1和k2.在這些不動(dòng)點(diǎn)上,時(shí)間軸可以連續(xù)的收縮為一點(diǎn),將動(dòng)量時(shí)間流形約化為了一系列的球面 S2.如果布里淵區(qū)內(nèi)有N個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則動(dòng)量時(shí)間流形將約化為N個(gè)球面.在每一個(gè)球面上,密度矩陣可以看作從動(dòng)量空間子流形 S2到Bloch球的映射,因此我們可以定義動(dòng)力學(xué)陳數(shù)

圖1 (a) 每個(gè)截面對(duì)應(yīng)固定動(dòng)量,截面內(nèi)的極角對(duì)應(yīng)于時(shí)間.橘黃色的環(huán)代表 k=0 和 2π,它們粘合起來(lái)組成了T2;(b) 如果動(dòng)量空間中存在一些不動(dòng)點(diǎn) k1,k2,截面的時(shí)間可連續(xù)收縮為一個(gè)點(diǎn),動(dòng)量時(shí)間流形約化成一系列球面[21]Fig.1.(a) For any fixed momentum k,the cross section can be viewed as a circle S1 where the azimuthal angle represents the time t.After gluing k=0 and k=2π (saffron circles),the topology of the momentum-time manifold becomes T2 ;(b) if there are two fixed points k=k1 and k2,the corresponding circle contracts to a point,then the momentum-time manifold reduces to a series of spheres S2[21].

其中 km表 示第m個(gè)不動(dòng)點(diǎn)而 m=1,2,···,N,直接計(jì)算得到

根據(jù)Altland-Zirnbauer分類,一維二能帶系統(tǒng)拓?fù)浞瞧接诡愑?BDI,AIII和 D.其中 BDI和AIII類具有手征對(duì)稱性,對(duì)于 BDI和 AIII類,不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)存在下限 2 |ni-nf|,相應(yīng)的非平庸陳數(shù)的個(gè)數(shù) M也存在下限 2 |ni-nf|,其中 ni和nf分別是初末態(tài)哈密頓量 hi和hf的纏繞數(shù),由于靜態(tài)哈密頓量的拓?fù)浞诸悶?Z,因此由 2 |ni-nf| 決定的動(dòng)力學(xué)拓?fù)浞诸愐彩?Z.而D類的具有粒子空穴對(duì)稱性系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)為 k=0 和k=π[33],因此對(duì)稱性保

護(hù)的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2 |ni-nf|,此時(shí) ni,nf∈{0,1} 是系統(tǒng)的 Z2不變量,因此由 2 |ni-nf| 決定的動(dòng)力學(xué)拓?fù)浞诸愐彩?Z2.特別的,由于系統(tǒng)所有動(dòng)力學(xué)陳數(shù)之和為 0,我們僅需考慮子流形(k,t)∈(0,π)× (0,π/|df|)對(duì) 應(yīng)的動(dòng)力學(xué)陳數(shù)則可以證明若 hi和hf位 于同一個(gè)相,動(dòng)力學(xué)陳數(shù)若位 于不同 的相,動(dòng)力學(xué)陳數(shù)綜上所述,對(duì) BDI、AIII和 D 類,非平庸動(dòng)力學(xué)陳數(shù)的個(gè)數(shù)均只依賴于初末態(tài)哈密頓量拓?fù)鋽?shù)之差.

現(xiàn)在,我們以兩個(gè)例子展示動(dòng)力學(xué)陳數(shù).首先我們考慮SSH模型[34],dx=(1+δ)+(1- δ)cosk,dy=(1-δ)sink,其中 δ ＜0 時(shí)系統(tǒng)的基態(tài)是拓?fù)浞瞧接沟?而 δ ＞0 時(shí)基態(tài)是拓?fù)淦接沟?哈密頓量具有時(shí)間反演對(duì)稱性 K h(k)K=h(-k) 和手征對(duì)稱性 σzh(k)σ=-h(k),屬于 BDI類.容易看出對(duì)于任意的初末態(tài) δi和δf,系統(tǒng)只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)k=0和k=π.布里淵區(qū)被分為 k ∈ (0,π) 和k ∈ (π,2π).若 δi和δf同號(hào),Bloch矢量滿足和跟據(jù) (7)式有動(dòng)力學(xué) Chern數(shù)為非平庸的 Chern數(shù)個(gè)數(shù)為0=2|ni-nf|.另一方面,若 δi和δf異號(hào),Bloch 矢量滿足動(dòng)力學(xué) Chern 數(shù)為非平庸Chern數(shù)的個(gè)數(shù)為2=2|ni-nf|.我們?cè)诳紤]推廣的p波超導(dǎo)模型[33,35],dx=Δ2sinφsin2k,dy=Δ1sink+Δ2cosφsin2k,dz=-t1cosk-t2cos2k+μ,此處 t1(t2)和Δ1(Δ2eiφ)分別是最(次)近鄰格點(diǎn)的躍遷強(qiáng)度和p波配對(duì)強(qiáng)度,μ 是化學(xué)勢(shì),次近鄰躍遷帶有的相位破壞了系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性.為了方便我們?nèi)?Δ1=t1=0.5,Δ2=t2≡ Δ,φ=π/2以及μ=1.此時(shí)若0.5＜Δ＜1.5 時(shí),基態(tài)是拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài);若 Δ ＜0.5 或Δ＞1.5時(shí),基態(tài)是普通超導(dǎo)態(tài).容易看出Bloch矢量在不動(dòng)點(diǎn)滿足和利用 (7)式容易驗(yàn)證當(dāng)初末態(tài)在同一個(gè)相時(shí)而初末態(tài)處在不同相時(shí)

3 (1+1)維系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)浞诸?/h2>

在第2節(jié)中我們直觀的討論了一維二能帶系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)洳蛔兞?這一節(jié)中,我們用更一般的方法計(jì)算 (1+1) 維系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)浞诸?我們記初末態(tài)平帶化的哈密頓量為滿足hi2(k)=hf2(k)=1,于是可以定義母哈密頓量

系統(tǒng)的波函數(shù) | ψ (k,t)〉 是母哈密頓量的瞬時(shí)本征態(tài),化學(xué)勢(shì)位于 μ=0.由矩陣指數(shù)公式直接計(jì)算得到[23]可以看出平帶化的母哈密頓量滿足特別的,對(duì)二能帶系統(tǒng),母哈密頓量為即 (5) 式.

進(jìn)一步利用(9)式,我們從平衡態(tài)哈密頓量的對(duì)稱性得到 (1+1) 維母哈密頓量的對(duì)稱性

這里我們直接將對(duì)稱性算符記號(hào)T,C和Γ 用在了母哈密頓量中,而將時(shí)間看作額外維度的準(zhǔn)動(dòng)量,然而它們并不是真正的時(shí)間反演對(duì)稱性,粒子空穴對(duì)稱性和手征對(duì)稱性的.根據(jù)文獻(xiàn)[16]中可知只有粒子空穴對(duì)稱性在含時(shí)演化中會(huì)保持,時(shí)間反演對(duì)稱性和手征對(duì)稱性都將被破壞.根據(jù)文獻(xiàn)[36,37,23]中的方法,母哈密頓量的拓?fù)浞诸惪衫肒群得到,如表1所示.可以看出 A、AI和AII類中母哈密頓量的對(duì)稱性與AZ分類相同,具有相同的拓?fù)洳蛔兞?

盡管我們得到了母哈密頓量的拓?fù)浞诸?但對(duì)于淬火動(dòng)力學(xué)過(guò)程,只有部分拓?fù)涞葍r(jià)類能夠?qū)崿F(xiàn).對(duì)于 A類,系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞繛殛悢?shù),利用(9)式可得系統(tǒng)的陳數(shù)為 0,因此動(dòng)力學(xué)分類為Z→0.對(duì)于 AIII類,系統(tǒng)在高對(duì)稱點(diǎn) ts=0,π 滿足因此可以定義纏繞數(shù) n=根據(jù)文獻(xiàn) [38],系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞糠謩e為陳數(shù)和高對(duì)稱點(diǎn)處纏繞數(shù)之差,因此動(dòng)力學(xué)分類為利用(9)式可得

其中 ni和nf是初末態(tài)哈密頓量的纏繞數(shù).特別的,若系統(tǒng)只有兩個(gè)能帶,這里的兩個(gè)獨(dú)立的拓?fù)鋽?shù)分別分別對(duì)應(yīng)上一節(jié)中的動(dòng)力學(xué)陳數(shù)之和與非平庸動(dòng)力學(xué)陳數(shù)個(gè)數(shù)的下限.類似的,對(duì)于BDI和CII類,時(shí)間反演對(duì)稱性保證系統(tǒng)陳數(shù)為0[23],動(dòng)力學(xué)分類即K群 Z →Z,系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞繛楦邔?duì)稱點(diǎn)處纏繞數(shù)之差,即 (11)式.對(duì)于 AII類,系統(tǒng)拓?fù)洳蛔兞繛?Fu-Kane不 變量[39],Moore和Balents提出它等價(jià)于三部分陳數(shù)之和是半布里淵區(qū)上的陳數(shù),而 CL和CR分 別是將的兩個(gè)邊界收縮為一點(diǎn)時(shí)補(bǔ)上的陳數(shù).利用(9)式可直接求得系統(tǒng)總的動(dòng)力學(xué)陳數(shù)是拓?fù)淦接沟?即動(dòng)力學(xué)分類為 Z2→0.類似地,對(duì)于D類可以得到總的陳數(shù)

表1 母哈密頓量 的拓?fù)浞诸?TRS、PHS、CS 分別是時(shí)間反演對(duì)稱性,粒子空穴對(duì)稱性和手征對(duì)稱性.s,t,d,d,額外對(duì)稱性P參見(jiàn)文獻(xiàn)[37];original class是沒(méi)有額外對(duì)稱性時(shí)系統(tǒng)的拓?fù)浞诸?是系統(tǒng)的K群.//Dynamical realization表示在淬火動(dòng)力學(xué)中存在的拓?fù)浞诸?Stable against dispersion指能帶存在色散時(shí)糾纏譜交叉能夠穩(wěn)定存在的拓?fù)浞诸怲able 1.Topological classification of parent Hamiltonian.TRS,PHS and CS represent the time reversal symmetry,particle hole symmetry and chorial symmetry,respectively.The definition of s,t,d,d//and additional symmetry P can be found in Ref.[37].Original class represents the topological classification without additional symmetry. is the K group.Dynamical realization means the topological classes which can be realized in quench dynamics.Stable against dispersion means entanglement spectrum crossing which is stable against band dispersion.

表1 母哈密頓量 的拓?fù)浞诸?TRS、PHS、CS 分別是時(shí)間反演對(duì)稱性,粒子空穴對(duì)稱性和手征對(duì)稱性.s,t,d,d,額外對(duì)稱性P參見(jiàn)文獻(xiàn)[37];original class是沒(méi)有額外對(duì)稱性時(shí)系統(tǒng)的拓?fù)浞诸?是系統(tǒng)的K群.//Dynamical realization表示在淬火動(dòng)力學(xué)中存在的拓?fù)浞诸?Stable against dispersion指能帶存在色散時(shí)糾纏譜交叉能夠穩(wěn)定存在的拓?fù)浞诸怲able 1.Topological classification of parent Hamiltonian.TRS,PHS and CS represent the time reversal symmetry,particle hole symmetry and chorial symmetry,respectively.The definition of s,t,d,d//and additional symmetry P can be found in Ref.[37].Original class represents the topological classification without additional symmetry. is the K group.Dynamical realization means the topological classes which can be realized in quench dynamics.Stable against dispersion means entanglement spectrum crossing which is stable against band dispersion.

AZ classTRSPHSCS (s,t,d,d//,originalclass,P)Dynamical realization Stable against dispersion A 0 0 0 (～,～,2,～,A,～)KU/A C (KU/AR )Z⊕Z Z 0 0 AIII001(0,1,2,1,A,ˉU)Z 0 AI 1 0 0 (～,～,2,～,AI,～)000 BDI111(0,3,2,1,AI,ˉA++)Z2 D010(2,～,2,1,A,ˉA+)Z Z Z2Z2Z2 DIII—111(4,1,2,1,AII,ˉA++)Z2⊕Z2Z20 AII —1 0 0 (～,～,2,～,AII,～)Z200 CII—1—11(4,3,2,1,AII,ˉA-+)Z Z 0 C0—10(6,～,2,1,A,ˉA-)000 CI1—11(0,1,2,～,AI,ˉA-+)000

4 動(dòng)力學(xué)體邊對(duì)應(yīng)與無(wú)序

平衡態(tài)哈密頓量存在體邊對(duì)應(yīng),體態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)在開(kāi)邊界下等于邊界態(tài)的個(gè)數(shù)[41].對(duì)于平帶化的哈密頓量,開(kāi)邊界下系統(tǒng)的能譜也是基態(tài)的單粒子糾纏譜[42],因此我們通過(guò)系統(tǒng)糾纏譜的演化來(lái)研究動(dòng)力學(xué)體邊對(duì)應(yīng).對(duì)于費(fèi)米子二次型 H=其中 i,j 是格點(diǎn)指標(biāo),系統(tǒng)的基態(tài)記為我們將系統(tǒng)分為子系統(tǒng)A和環(huán)境B,則子系統(tǒng)的約化密度矩陣為其中糾纏哈密頓量 HA仍為費(fèi)米子二次型,它的本征值記作 εn.此外我們將子系統(tǒng)關(guān)聯(lián)矩陣的 本征值 ξn定義為單粒子糾纏譜,則有

在淬火動(dòng)力學(xué)演化的過(guò)程中,系統(tǒng)波函數(shù)仍然是高斯態(tài),因此瞬時(shí)波函數(shù)的單粒子糾纏譜可以寫(xiě)為:

其中糾纏譜ξn(t)是瞬時(shí)關(guān)聯(lián)矩陣Cij(t)=的本征值,εn(t)是瞬時(shí)糾纏哈密頓量的本征值.容易看出糾纏哈密頓量若存在零模εn(t)=0,則糾纏譜存在模ξn(t)=1/2.有了單粒子糾纏譜進(jìn)而可以得到多體糾纏譜為[42]

從此式可以看出糾纏哈密頓量的零模意味著多體糾纏譜的簡(jiǎn)并.

下面我們以SSH模型為例,初態(tài) δi=1 為拓?fù)淦接沟?δf取不同值時(shí)糾纏譜的演化見(jiàn)圖2(a).從圖中看出,若末態(tài)也是拓?fù)淦接沟?糾纏譜在含時(shí)演化過(guò)程中能隙始終打開(kāi),然而若末態(tài)哈密頓量是拓?fù)浞瞧接沟?則糾纏譜會(huì)在某時(shí)刻發(fā)生交叉,此時(shí)在系統(tǒng)虛擬的邊界會(huì)存在糾纏哈密頓量的邊界態(tài).對(duì)于拓?fù)涑瑢?dǎo)系統(tǒng),糾纏譜的交叉意味著子系統(tǒng)宇稱發(fā)生了改變,整個(gè)周期內(nèi)有奇數(shù)個(gè)電子從子系統(tǒng)流向外部[45,46].為了確定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)浞诸?我們可以考慮多條鏈的耦合.我們用平帶化的末態(tài)哈密頓量進(jìn)行時(shí)間演化,對(duì)于 Z 類系統(tǒng),糾纏譜交叉時(shí)刻的簡(jiǎn)并度正比于鏈數(shù),而對(duì)于 Z2類系統(tǒng),糾纏譜是否會(huì)出現(xiàn)交叉僅僅依賴與鏈數(shù)目的奇偶性[23].

我們知道對(duì)于平衡態(tài)拓?fù)湎到y(tǒng),若在實(shí)空間中加入弱的無(wú)序時(shí),只要不破壞系統(tǒng)的對(duì)稱性則其邊緣模依舊存在.在淬火動(dòng)力學(xué)中,無(wú)序既可以出現(xiàn)在實(shí)空間,也可以出現(xiàn)在頻率空間,末態(tài)哈密頓量的色散即可看成一種頻率空間的無(wú)序[23].特別地,如果系統(tǒng)的能帶具有色散,對(duì)稱性關(guān)系(10)式不再成立,根據(jù)文獻(xiàn)[16],只有反幺正對(duì)稱性才能在含時(shí)演化中繼續(xù)存在,幺正對(duì)稱性在含時(shí)演化中將被破壞,這也被稱作動(dòng)力學(xué)誘導(dǎo)的對(duì)稱性破缺,因此只有粒子空穴對(duì)稱性在含時(shí)演化中能夠保持.進(jìn)一步由于我們考慮的是糾纏的邊界態(tài),能帶色散使得時(shí)間反演對(duì)稱性和手征對(duì)稱性在邊界處無(wú)法保持對(duì)稱性,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性被破壞.這類似于空間群對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)鋺B(tài)中體邊對(duì)應(yīng)的破缺[5,47,48].于是AIII類和CII類的動(dòng)力學(xué)拓?fù)湫再|(zhì)不能在能帶有色散時(shí)穩(wěn)定存在;D類的拓?fù)湫再|(zhì)不受能帶色散影響;對(duì)于BDI類,能譜的色散使得高對(duì)稱線t=0 和t=π 變得動(dòng)量依賴,兩條高對(duì)稱線可以連續(xù)形變,這使得高對(duì)稱線上纏繞數(shù)之差允許模2改變,從而系統(tǒng)穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)分類為 Z →Z2;最后DIII類通過(guò)數(shù)值驗(yàn)證能帶色散會(huì)導(dǎo)致糾纏譜能隙打開(kāi),穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)分類為 Z2→0.最后我們以AIII類為例展示了能帶色散對(duì)糾纏譜能隙的影響.我們將SSH模型加上次次近鄰躍遷[46],哈密頓量 為 dx=(t0+δ)+(t0- δ)cosk+Jcos(2k+φ),dy=(t0- δ)sink+Jsin(2k+φ).為了方便我們固定 t0=0.75,J=0.2 和φ=0.5π,初態(tài)取為δi=0.25,基態(tài)是拓?fù)淦接沟?末態(tài)取 δf=-0.25,基態(tài)是拓?fù)浞瞧接沟?糾纏譜的演化如圖2(b)所示,可以看出能帶的色散打開(kāi)了糾纏譜的能隙,動(dòng)力學(xué)拓?fù)湫再|(zhì)不再存在.

圖2 (a) SSH 模型,初態(tài) δi=1 為 拓?fù)淦接沟?末態(tài) δf 取不同的值.僅當(dāng)末態(tài)為拓?fù)浞瞧接箷r(shí),糾纏譜在 1/2 處有交叉;(b) 擴(kuò)展的SSH模型,次次次近鄰躍遷具有相位,系統(tǒng)屬于AIII類.藍(lán)色的線代表用平帶化的哈密頓量進(jìn)行動(dòng)力學(xué)演化,紅色的線代表由真實(shí)末態(tài)哈密頓量進(jìn)行演化.可以看出能帶的色散打開(kāi)了糾纏譜的能隙Fig.2.(a) In SSH model,the initial state of δi=1 is topologically trivial,evolution of entanglement spectrum for different postquenched δfs are shown with different colors.If and only if the post-quenched Hamiltonian is topologically nontrivial,the entanglement spectrum can cross at 1/2 ;(b) in Extended SSH model,the third-nearest-neighbor hopping carries a phase factor,and the Hamiltonian belongs to class AIII.The blue curve shows the dynamics of entanglement spectrum evolved by flattened Hamiltonian,and the red curve shows the dynamics evolved by entanglement spectrum of real Hamiltonian.It can be seen that the band dispersion opens the gap of entanglement spectrum.

5 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

超導(dǎo)Xmon量子比特是研究量子模擬和量子計(jì)算的一個(gè)非常有前景的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)[49-51],這一小節(jié)簡(jiǎn)要介紹由單量子比特模擬淬火動(dòng)力學(xué)的過(guò)程[22].對(duì)于每個(gè)固定的動(dòng)量k,通過(guò)外加脈沖制備出初態(tài)哈密頓量的基態(tài),在時(shí)間t改變外加脈沖實(shí)現(xiàn)淬火過(guò)程,如圖3(a)所示,通過(guò)態(tài)層析測(cè)量可以得到Bloch矢量的演化[52].實(shí)驗(yàn)中布里淵區(qū)取了 30 個(gè)點(diǎn),相當(dāng)于系統(tǒng)尺寸 L=30,一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)有70離散的步長(zhǎng),每個(gè)步長(zhǎng)為 15 ns,因此整個(gè)周期的演化時(shí)間為 1 .05 μs,每一次態(tài)層析測(cè)量是 5 000 次測(cè)量的平均.系統(tǒng)能量的弛豫時(shí)間為 T1=8.3 μs,失相時(shí)間為 T2?=6.8 μs,spin echo 的失相時(shí)間為T(mén)2se=11.7μs.

圖3 (a) 實(shí)驗(yàn)過(guò)程序列示意圖.對(duì)每一個(gè)動(dòng)量 k,初始時(shí)刻通過(guò)脈沖 A0cos(ωt+φ0) 制備初態(tài),而后通過(guò)改變外加的脈沖的 A k和φk 實(shí)現(xiàn)淬火動(dòng)力學(xué).(b),(c) 不同動(dòng)量 k 對(duì)應(yīng)的Bloch矢量的演化.紅色的星為實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù),黃色的環(huán)為數(shù)值計(jì)算的數(shù)據(jù).(b)初 態(tài) hi=0.2,末 態(tài) hf=1.5.(c)初態(tài) hi=0.2,末態(tài) hf=0.5[22]Fig.3.The scheme of experiment control sequence.The initial state is prepared at the state-initialization period by control quantity A0cos(ωt+φ0) for a fixed momentum k.Then for a quantum quench,by controlling A k and φk,we adjust the direction of the rotation axis.(b),(c) the evolution of Bloch vectors for different momenta.The red points and yellow rings are experimental and numerical datas.(b)pre-quenched parameter hi=0.2,post-quench parameter hf=1.5.(c) pre-quenched parameter hi=0.2,postquench parameter hf=0.5.

實(shí)驗(yàn)?zāi)M的為橫場(chǎng)伊辛模型,通過(guò)Jordan-Wigner變換后它等效于Kitaev提出的p波超導(dǎo)鏈,哈密頓量為 dx=0,dy=sink,dz=Jz-cosk[53],其中若 Jz＜1 基態(tài)為鐵磁相或拓?fù)涑瑢?dǎo)相,若Jz＞1基態(tài)為順磁相或普通超導(dǎo)相.通過(guò)Jordan-Wigner變換,我們將伊辛模型映射為一系列二能級(jí)系統(tǒng),而對(duì)于每個(gè)由動(dòng)量k標(biāo)記的二能級(jí)系統(tǒng)我們可以利用單量子比特模擬其動(dòng)力學(xué)演化.容易看出系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)為 k=0 和k=π.我們始終取初態(tài)圖3(b)和圖3(c)分別展示了在半布里淵區(qū)中Bloch矢量的演化.可以看出當(dāng)初末態(tài)哈密頓量在同一個(gè)相時(shí),Bloch球被完整覆蓋,動(dòng)力學(xué)陳數(shù)而初末態(tài)哈密頓量在同一個(gè)相時(shí),Bloch球上的軌跡互相抵消,動(dòng)力學(xué)陳數(shù)

6 總結(jié)與展望

本文主要介紹了一維對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)鋺B(tài)的淬火動(dòng)力學(xué).首先以兩帶系統(tǒng)為例,從直觀上定義了動(dòng)力學(xué)陳數(shù),并給出了動(dòng)力學(xué)陳數(shù)與初末態(tài)哈密頓量拓?fù)鋽?shù)之間的關(guān)系.然后通過(guò)分析 (1+1)-維母哈密頓量的拓?fù)湫再|(zhì)給出了一般情況下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)拓?fù)浞诸惡屯負(fù)洳蛔兞?此外利用糾纏譜的動(dòng)力學(xué)演化介紹了動(dòng)力學(xué)的體邊對(duì)應(yīng),并分析了實(shí)空間和頻率空間無(wú)序?qū)m纏譜交叉的影響.最后介紹了利用了單量子比特模擬系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化,通過(guò)測(cè)量Bloch矢量的演化直觀的展示了平庸和非平庸的動(dòng)力學(xué)陳數(shù).

此外,除了在一維系統(tǒng),淬火動(dòng)力學(xué)中的拓?fù)洳蛔兞吭诙S和高維系統(tǒng)[18,19,54,55],非厄米系統(tǒng)[56-58]等也有許多研究,但尚沒(méi)有完整成熟的理論.并且,如何在相互作用系統(tǒng)中定義動(dòng)力學(xué)的拓?fù)洳蛔兞恳采形纯芍?在相互作用系統(tǒng)中單粒子關(guān)聯(lián)矩陣和糾纏哈密頓量并沒(méi)有這簡(jiǎn)單的關(guān)系,只能直接求解系統(tǒng)的多體糾纏譜的演化.得益于冷原子,原子模擬,超導(dǎo)量子比特模擬等技術(shù)的迅速發(fā)展,淬火動(dòng)力學(xué)的研究有了更好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái),使得我們能更加深刻的理解拓?fù)湎到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).