■湖南省道縣第一中學 陳 珠

在圓錐曲線的學習中,同學們由于未從根本上理解曲線與方程之間的一一對應關系,故而在數(shù)形結合與轉化時常出現(xiàn)偏差和遺漏,在繁雜的運算中,忽視等價性,導致 “失根”或 “增根 “的現(xiàn)象。本文針對圓錐曲線中常見的易錯、易混、易忘的典型題進行錯解剖析和警示展示,希望引起同學們的高度重視。

一、忽略圓錐曲線定義中的隱含條件致錯

例1已知動點P(x,y)滿足則P點的軌跡是( )。

A.直線 B.拋物線

C.雙曲線 D.橢圓

錯解:將4y- 11| 變 形 為即動點P(x,y)到定點(1,2)的距離等于到定直線3x+4y-11=0 的距離,利用拋物線的定義,得點P(x,y)的軌跡是拋物線。故選B。

剖析:錯解中忽略了定點(1,2)就在直線3x+4y-11=0上這個隱含條件,應選A。

警示:平面內與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線。當定點在定直線上時,軌跡為過定點F與定直線l垂直的一條直線,而非拋物線。雙曲線的定義中易忽視2a＜|F1F2|這一條件。若2a=|F1F2|,則軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線;若2a＞|F1F2|,則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值,則軌跡僅表示雙曲線的一支。

二、忽略橢圓標準方程中的隱含條件a2≠b2 致錯

例2直線y-kx-1=0與橢圓恒有公共點,則m的取值范圍是____。

錯解:因為直線y-kx-1=0 過定點(0,1),根據(jù)橢圓方程可知m＞0,所以橢圓與y軸正半軸的交點為若直線與橢圓恒有公共點,只要點(0,1)在橢圓內部或橢圓上即可,所以解得m≥1。

剖析:錯解中忽略橢圓標準方程=1中的隱含條件 “a2≠b2”,應補充m≠5,所以實數(shù)m的取值范圍是[1,5)∪(5,+∞)。

警示:橢圓標準方程中的隱含條件為 “a,b∈R+,a2≠b2”,在求解參數(shù)范圍時更要注意,原因在于圓不是特殊的橢圓。

三、忽略橢圓或雙曲線的焦點所在位置的討論致錯

例3已知橢圓的離心率為則k=____。

錯解:由解得k=4。

剖析:忽略對焦點所在位置的討論,導致漏解。若k＞1,則解得k=4;若-8＜k＜1,則解得

警示:由橢圓標準方程求解參數(shù)值時,一定要注意焦點所在的位置,當位置不確定時要分兩類進行討論。

四、忽略直角三角形直角頂點位置的判斷致錯

例4已知橢圓的左焦點和右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,若F1,F2,P為一個直角三角形的三個頂點,則點P到x軸的距離為____。

錯解:因PF1⊥PF2,設|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n= 2a= 8。 又c=所以m2+n2=(2c)2=48,可得2mn=16。由等面積法知所以可求得點P到x軸的距離為

剖析:只考慮P為直角頂點的情形,忽略PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2的情形,當PF2⊥F1F2時,點P到x軸的距離為通徑的一半,即

綜上,點P到x軸的距離為或1。

警示:焦點三角形為直角三角形,要借助c2,b2的大小關系判斷解的情況,若c2＜b2時,直角頂點為兩焦點且有兩種情形;若c2=b2時,直角頂點為橢圓的上下兩頂點;若c2＞b2時,直角頂點為四種情形。注意橢圓的對稱性,借助等面積法和半通徑的長可求得直角頂點到x軸的距離。

五、忽略橢圓參數(shù)方程（三角換元）的應用致錯

例5設點P(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,求x+y的最大值和最小值。

錯解:因為4x2+y2=4,所以4x2≤4,得-1≤x≤1,同理-2≤y≤2,故-3≤x+y≤3,即x+y的最大值和最小值分別為3,-3。

剖析:本題中的x、y除了分別滿足條件-1≤x≤1和-2≤y≤2,還受條件4x2+y2=4的約束。當x=1時,y此時取不到最大值2,故x+y的最大值不為3。選用點參式(三角換元)代入,令x=cosθ,y=2sinθ,則,故其最大值為最小值為

警示:凡是動點在圓或橢圓上的有關最值問題,用圓或橢圓的參數(shù)方程,點參式代入構建目標函數(shù),利用三角變換化為三角函數(shù)的有界性求解,凸顯了參數(shù)方程的簡化功能。

六、橢圓或圓與曲線有交點時誤用判別式或漏用判別式致錯

例6已知橢圓3x2+2y2=6x與曲線x2+y2-k=0恒有交點,求k的取值范圍。

錯解:由消去y得x2-6x+2k=0,所以

剖析:Δ≥0 只能保證方程x2-6x+2k=0 有解,但不能保證原方程組有解。因為原方程組中有隱含條件0≤x≤2,消去y后得到的關于x的一元二次方程缺少這個限制條件。

警示:二次曲線與二次曲線的位置關系,隱含曲線的范圍,構建方程組消元后轉化為二次方程根的分布求解。橢圓與直線有交點時,構建方程組消元后轉化為二次方程有實數(shù)根,此時一定要驗證其判別式。

七、忽略直線與拋物線或雙曲線的位置關系研究中的特殊情形致錯

例7已知點M(-2,0),N(2,0),動點P滿足條件|PM|-|PN|=2 2,記動點P的軌跡為W。

(1)求W的方程;

(2)若A,B是W上的不同兩點,O是坐標原點,求的最小值。

錯解:(1)由|PM|-|PN|=2 2知,點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支,所以實半軸長又半焦距c=2,所以虛半軸長b= 2,所以W的方程為=x1x2+y1y2=x1x2+

(2)設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+m,聯(lián)立方程組消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,則

剖析:第(1)問的解答是正確的。第(2)問的解答中忽視了直線AB的斜率不存在的情況,從而導致了無最小值的錯誤。錯解中補上:當AB⊥x軸時,x1=x2,從而y1=-y2,所以則的最小值為2。

警示:直線與圓錐曲線的位置研究中,設直線方程,然后把直線方程和曲線方程組成方程組,消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程。利用根與系數(shù)的關系,并結合題設條件建立有關參變量的等量關系,凸顯 “設而不解,整體思維”的特點,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形的討論。

八、“點差法” 求解與弦中點有關問題時忽略相交的前提條件致錯

例8已知雙曲線過B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于M,N兩點,且B為MN的中點? 若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由。

錯解:設M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中點B(x,y),MN的斜率為k,由題設知,兩式相減得(x1+x2)·把x1+x2=2,y1+y2=2代入有這說明直線的斜率為2,即y=2x-1為直線l的方程,故存在。

剖析:把y=2x-1 代 入整理得2x2-4x+3=0,因為Δ=16-4×2×3＜0,所以此方程無實數(shù)根,即M,N根本不存在,故不存在這樣的直線l,上述錯誤的原因是忽視直線和雙曲線相交的前提。

正解1:在錯解的基礎上補充:將y=2x-1代入整理得2x2-4x+3=0,因為Δ=16-4×2×3＜0,只能說明y=2x-1不滿足,還得研究x=1 能否滿足,顯然過B點垂直x軸的直線也不符合題意,則不存在。綜上,這樣的直線不存在。

正解2:用通法,顯然過B點垂直x軸的直線不符合題意。 下面討論斜率存在的情況。設l的方程為y-1=k(x-1),代入雙曲線方程整理得(2-k2)x2-

設M(x1,y1),N(x2,y2),則有x1+解得k=2。

由于當2-k2=0 時,直線與漸近線平行,不符合題意。

由直線與雙曲線必須有兩不同交點,所以(※)式的Δ=4k2(1-k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)＞0。把k=2代入得Δ=-8＜0,故不存在滿足題意的直線l。

警示:“點差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中點的橫、縱坐標來表示。凡涉及弦的中點等有關問題都可選用“點差法”簡化求解。但用此法時必須以直線和圓錐曲線相交為前提,否則就會出錯。